2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设全集，若集合，则集合　　

A． B． C． D．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

5．（5分）若，则　　

A．125 B．9 C．8 D．6

6．（5分）若命题，是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，均为正数，且，的最小值为　　

A．4 B． C． D．1

8．（5分）已知，则2，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．

9．（5分）下列四个选项中，能推出的有　　

A． B． C． D．

10．（5分）设集合，，，则的子集个数可能为　　

A．2 B．4 C．8 D．16

11．（5分）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，，则下列函数中，与是“同象函数”的有　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

12．（5分）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有　　

A．0点到3点只打开了两个进水口 

B．3点到4点三个水口都打开 

C．4点到6点只打开了一个出水口 

D．0点到6点至少打开了一个进水口

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）命题“，”的否定是 　　．

14．（5分）函数的定义域为 　　．

15．（5分）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级计算公式为，其中是地震仪接收到的级地震的地震波的最大振幅（单位：米），（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 　　倍．

16．（5分）设，为实数，若对于满足的全体，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）计算：

（1）；

（2）．

18．（12分）设为实数，已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

19．（12分）设，为实数，已知关于的不等式的解集．

（1）求，的值；

（2）若，且，求实数的取值范围．

20．（12分）已知函数，且．

（1）求（2）的值；

（2）当，时，求的值域；

（3）解不等式：．

21．（12分）如图，某社团需要在一张矩形白纸（记为矩形上刊登两篇招新文章．这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形，每个直角梯形的面积为．这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有的空白，且这两个梯形之间也留有的空白．为了美观，要求纸张所在矩形的边的长度大于边的长度．设直角梯形的高为．

（1）求的取值范围；

（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？

22．（12分）设为实数，已知函数．

（1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围；

（2）设集合．

①若中恰有一个整数，求的取值范围；

②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设全集，若集合，则集合　　

A． B． C． D．

【解答】解：或，

则集合．

故选：．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：

，，

充分性满足．

，，或，

必要性不满足，

故选：．

3．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

的图象是将的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，

故选：．

4．（5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：对于，，不是同一函数，

对于，，定义域不同，不是同一函数，

对于的定义域是，的定义域是，不是同一函数，

对于，是同一函数，

故选：．

5．（5分）若，则　　

A．125 B．9 C．8 D．6

【解答】解：，，

，

故选：．

6．（5分）若命题，是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：命题，是真命题，则，，

．

实数的取值范围是．

故选：．

7．（5分）已知，均为正数，且，的最小值为　　

A．4 B． C． D．1

【解答】解：，即，

所以

，当且仅当时取等号．

故选：．

8．（5分）已知，则2，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，，

，，

，

，

故，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．

9．（5分）下列四个选项中，能推出的有　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

由，可得，，即有，故能推出；

由，可得，，即有，故不能推出；

由，可得，，即有，故能推出；

由，可得，，即有，故不能推出．

故选：．

10．（5分）设集合，，，则的子集个数可能为　　

A．2 B．4 C．8 D．16

【解答】解：集合，，，

当时，，，的子集个数为，

当时，，，的子集个数为，

当，且时，，1，，的子集个数为，

故选：．

11．（5分）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，，则下列函数中，与是“同象函数”的有　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：函数，，，值域是，，

对于的值域是，，是同象函数，

对于，值域不同，不是同象函数，

对于的值域是，，是同象函数，

对于的值域是，，是同象函数，

故选：．

12．（5分）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有　　

A．0点到3点只打开了两个进水口 

B．3点到4点三个水口都打开 

C．4点到6点只打开了一个出水口 

D．0点到6点至少打开了一个进水口

【解答】解：设一个进水口的进水量为，出水量为，时间为，

由图可知，，，

从时蓄水量由0变为6，说明时2个进水口均打开，出水口关闭，故正确，

时蓄水量为水平线，说明水量不发生变化，

又由于水池至少打开一个水口，故时所有水口均打开，故正确，

时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，故该时段应为同时打开一个出水口，一个进水口，故错误，

时2个进水口均打开，时所有水口均打开，时同时打开一个出水口，一个进水口，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）命题“，”的否定是 　，　．

【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，

命题“， “的否定是：“，”．

故答案为：“，”．

14．（5分）函数的定义域为 　且　．

【解答】解：

解得且

即函数的定义域为且

故答案为：且

15．（5分）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级计算公式为，其中是地震仪接收到的级地震的地震波的最大振幅（单位：米），（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 　10000　倍．

【解答】解：，

，即，

．

故答案为：10000．

16．（5分）设，为实数，若对于满足的全体，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　或　．

【解答】解：，，

即，

，，

，

解得，，

故，

当且仅当，或，时，等号成立，

故不等式恒成立化为，

解得，或；

故实数的取值范围是或，

故答案为：或．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）

；

（2）

．

18．（12分）设为实数，已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

【解答】解：（1），

因为，所以，

所以．

（2）因为，

所以，

故的取值范围为，．

19．（12分）设，为实数，已知关于的不等式的解集．

（1）求，的值；

（2）若，且，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意知，1和是方程的两根，

所以，解得，．

（2）由（1）知，，

，

因为，所以，

当时，，

当时，，且，

综上所述，实数的取值范围为，．

20．（12分）已知函数，且．

（1）求（2）的值；

（2）当，时，求的值域；

（3）解不等式：．

【解答】解：（1）函数，且，，

（2），（2）．

（2）当，时，根据，

可得当，时，，，；

当，时，，，1 ．

综上可得，，．

（3）由不等式，可得

①，或②，或③，

解①求得，解②求得，解③求得．

综上，不等式的解集为 或．

21．（12分）如图，某社团需要在一张矩形白纸（记为矩形上刊登两篇招新文章．这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形，每个直角梯形的面积为．这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有的空白，且这两个梯形之间也留有的空白．为了美观，要求纸张所在矩形的边的长度大于边的长度．设直角梯形的高为．

（1）求的取值范围；

（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？

【解答】解：（1）设，，

梯形上底和下底的和为，

所以直角梯形的面积为，解得，

又因为，

所以，

因为，

则，即，

解得，

又，

所以的取值范围为；

（2）矩形的面积为，

当且仅当，即时取等号，

所以当矩形的长为，宽为时，纸的用量最少．

22．（12分）设为实数，已知函数．

（1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围；

（2）设集合．

①若中恰有一个整数，求的取值范围；

②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，

则，

且△，

，

所以；

（2）①由的开口向上，对称轴为，且判别式恒大于等于0，

要使的解集中恰有一个整数，则，

解得；

②由题意，又，

，

，

则，

．

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