2021-2022学年江苏省南京航空航天大学附高级中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京航空航天大学附高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．

1．（5分）复数的虚部为　　

A． B． C．2 D．

2．（5分）已知向量，，若，则　　

A． B．1 C． D．

3．（5分）在中，“”是“”的　　

A．充要条件 B．必要不充分条件 

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）设为所在平面内一点，，则　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）　　

A．1 B． C． D．2

7．（5分）在锐角中，为最大角，且，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

8．（5分）在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．

9．（5分）对于任意的非零平面向，，，下列结论正确的是　　

A． B．若，则 

C． D．

10．（5分）为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，，，，，，，规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是　　

A．的值为0.015 

B．该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 

C．被抽取的1000名小学生的均分大约是85分 

D．学生成绩的中位数大约为75分

11．（5分）三角形中，角，，的对边分别为，，，下列条件能判断是钝角三角形的有　　

A．，， 

B． 

C． 

D．

12．（5分）相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知点是直径为的圆内的定点，且，弦、均过点．则下列说法正确的是　　

A． 

B． 

C．当时， 

D．当过点且时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．

13．（5分）已知，，若与为共线向量，则实数　　．

14．（5分）已知样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为 　　．

15．（5分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，若有两解，则的取值范围为 　　．

16．（5分）若，，且，，则　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，，的夹角是，计算：

（1）计算，；

（2）求和的夹角的余弦值．

18．（12分）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小完全相同的小球．

（1）从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于6的概率；

（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，列出所有的基本事件，并求的概率．

19．（12分）已知向量，，，，．

（1）若，求的值；

（2）记，若对于任意，，，恒成立，求实数的最小值．

20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，为边上的一点，，，．

（1）求；

（2）求的长．

21．（12分）在中，，，，是的外接圆圆心，若．

（1）求及；

（2）求，．

22．（12分）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区，它们的面积分别记为，；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记．

（1）求的最大值，并指出相应的值；

（2）为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省南京航空航天大学附高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．

1．（5分）复数的虚部为　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：复数的虚部为2，

故选：．

2．（5分）已知向量，，若，则　　

A． B．1 C． D．

【解答】解：根据题意，向量，，

若，则，解得，

故选：．

3．（5分）在中，“”是“”的　　

A．充要条件 B．必要不充分条件 

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：由正弦定理知，

，

，

．

反之，，，

，，

故选：．

4．（5分）已知，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，

所以．

故选：．

5．（5分）设为所在平面内一点，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．

故选：．

6．（5分）　　

A．1 B． C． D．2

【解答】解：原式．

故选：．

7．（5分）在锐角中，为最大角，且，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

【解答】解：在锐角中，为最大角，且，，

由正弦定理化简得：，，

由题意可设，，，，

为最大角，可得，，，

解得：，

又由余弦定理可得，可得，，

可得，解得，

综上，可得的取值范围为．

故选：．

8．（5分）在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由余弦定理，代入，得，

整理得，

则，

当仅当时取“”，

由因为，所以，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．

9．（5分）对于任意的非零平面向，，，下列结论正确的是　　

A． B．若，则 

C． D．

【解答】解：对于，平面向量的数量积满足交换律，所以，为、的夹角，选项正确；

对于，平面向量的数量积不满足消去律，所以时不能得出，选项错误；

对于，平面向量的数量积满足分配律，所以，选项正确；

对于，平面向量的数量积不满足结合律，所以，选项错误；

故选：．

10．（5分）为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，，，，，，，规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是　　

A．的值为0.015 

B．该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 

C．被抽取的1000名小学生的均分大约是85分 

D．学生成绩的中位数大约为75分

【解答】解：由题意知，

，

解得，

故选项正确；

该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，

故选项错误；

，

被抽取的1000名小学生的均分大约是76分，

故选项错误；

，，

学生成绩的中位数在区间，之间，

中位数为，

故选项正确；

故选：．

11．（5分）三角形中，角，，的对边分别为，，，下列条件能判断是钝角三角形的有　　

A．，， 

B． 

C． 

D．

【解答】解：因为，

故，即为钝角，符合题意；

因为，

故，

所以为锐角，其他角无法确定，不符合题意；

，

整理得，

由余弦定理得，

故为钝角，符合题意；

因为，

由正弦定理得，

所以，

所以，

所以，，故为直角三角形．

故选：．

12．（5分）相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知点是直径为的圆内的定点，且，弦、均过点．则下列说法正确的是　　

A． 

B． 

C．当时， 

D．当过点且时，

【解答】解：由已知可知该圆的半径为，

：设弦的中点为，

，

由相交弦定理可知：

，

所以，

因为，

所以，

因此，所以本选项说法不正确；

：由平面向量数量积的定义和相交弦定理可知：

，所以本选项结论正确；

：由，相交弦定理可知：

，所以本选项结论正确；

：当过点且时，如图所示：

显然是直径，，，

．

由相交弦定理可知：．

解得，

，

，

，

所以本选项结论不正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．

13．（5分）已知，，若与为共线向量，则实数　　．

【解答】解：，

，

与为共线向量，

，

解得．

故答案为：．

14．（5分）已知样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为 　18　．

【解答】解：样本数据，，，的方差为2，

数据，，，的方差为，

故答案为：18．

15．（5分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，若有两解，则的取值范围为 　　．

【解答】解：有两解，，

，

，

故答案为：，

16．（5分）若，，且，，则　　．

【解答】解：，且，，

．

由，，，可得，，

．

，，

，

，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，，的夹角是，计算：

（1）计算，；

（2）求和的夹角的余弦值．

【解答】解：（1）由题可得，

，所以；

（2），

设和的夹角为，

所以．

18．（12分）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小完全相同的小球．

（1）从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于6的概率；

（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，列出所有的基本事件，并求的概率．

【解答】解：（1）记“从盒中任取两球，取出的球的编号之和大于6”为事件，

样本点表示“从盒中取出1，2号球”，且和表示相同的样本点（其它类推），

则样本空间为，，，，，，共有6种，

事件，共有1种，

故取出的球的编号之和大于6的概率为（A）；

（2）记“”为事件，

样本点表示第一次取出1号球，将球放回，从盒中取出2号球（其它类推），

则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，共16个，

事件，，，，，，，，，，共有10个，

故的概率为．

19．（12分）已知向量，，，，．

（1）若，求的值；

（2）记，若对于任意，，，恒成立，求实数的最小值．

【解答】解：（1）由，

则，

即，

即，

又，，

则；

（2），

又，，

则，，

则，，

又对于任意，，，而恒成立，

则，

故实数的最小值为．

20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，为边上的一点，，，．

（1）求；

（2）求的长．

【解答】解：（1）因为，

由正弦定理得，

所以，

所以，

因为，

所以，即，

由为三角形内角得；

（2）因为，，，

由余弦定理得，

，

故，，

所以，

由正弦定理得，

所以，

所以．

21．（12分）在中，，，，是的外接圆圆心，若．

（1）求及；

（2）求，．

【解答】解：建立如右图的平面直角左边系，则，

，，，又，，

，中点坐标为，，又，

的垂直平分线方程为：，

又的垂直平分线方程为：，代入方程中可得，，

，，，

（1），；

（2），

，

，，．

22．（12分）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区，它们的面积分别记为，；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记．

（1）求的最大值，并指出相应的值；

（2）为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围．

【解答】解：（1）在中，，，

则，其中，

在中，，，，

则，

所以，

，

因为，则，

故当时，即当时，取得最大值．

（2）因为，，则，

因为，则，，

所以，，

所以，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:05:32；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367