北京市海淀区、石景山区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-三角函数与解三角形

这是一份北京市海淀区、石景山区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-三角函数与解三角形，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市海淀区、石景山区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-三角函数与解三角形

一、单选题
1．（2023·北京石景山·统考一模）若函数的部分图象如图所示，则的值是（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·北京石景山·统考一模）在中，，若，则的大小是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京海淀·统考二模）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（    ）

A．、 B．、 C．、、 D．、、
4．（2022·北京海淀·统考二模）已知，且，则（    ）
A． B．
C． D．
5．（2022·北京海淀·统考一模）已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（    ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京海淀·统考模拟预测）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（    ）
A． B． C． D．
7．（2021·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期的是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
8．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________．
9．（2023·北京石景山·统考一模）向量，，若，则_________.
10．（2021·北京海淀·统考模拟预测）若直线为函数的一个对称轴，则常数的一个取值为________．
11．（2021·北京石景山·统考一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________.
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大.

三、双空题
12．（2022·北京海淀·统考二模）已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________．
13．（2021·北京石景山·统考一模）在锐角中，，则__________，________.

四、解答题
14．（2023·北京海淀·统考一模）在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
15．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在中，，，点在边上，.

(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长.
16．（2022·北京石景山·统考一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数的最大值为2；
②函数的图象可由的图象平移得到；
③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值．
17．（2022·北京海淀·统考二模）在中，．
(1)若，求；
(2)若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积
条件①：；    条件②：
18．（2022·北京海淀·统考一模）设函数.已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：条件①：；条件②：的最大值为；条件③：是图象的一条对称轴.
(1)请写出满足的两个条件，并说明理由；
(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
19．（2021·北京海淀·统考模拟预测）已知三角形ABC，A、B、C所对的边为a、b、c．，， ．从下列所给的三个条件中选择一个补在条件中，完成解答
①     
②
③
(1)求的值
(2)求三角形ABC的面积
20．（2021·北京海淀·统考模拟预测）在中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）和面积 的值．
条件①：，；条件②：，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．（2021·北京海淀·统考模拟预测）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）边上的高．
条件①：，；
条件②：，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
22．（2021·北京海淀·统考模拟预测）在四边形中，，．
（1）连接，从下列三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，要求构成一个真命题，并给出证明；
①；②；③
备选：连接，从上述三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个命题，判断该命题的真假并给出证明；
（2）在（1）中真命题的条件下，求的周长的最大值；
（3）在（1）中真命题的条件下，连接，求的面积的最大值．
23．（2021·北京海淀·统考二模）已知函数的部分图象如图所示.

（1）直接写出的值；
（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间上的最小值.条件①：直线为函数的图象的一条对称轴；条件②：为函数的图象的一个对称中心

参考答案：
1．A
【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心，即可求得最小正周期，从而可求的值，结合图象代入已知点坐标即可得的值.
【详解】由图可知，所以是的一个对称中心，
由图象可得最小正周期满足：，则，又，所以，
则由图象可得，，所以，，又，所以.
故选：A.
2．C
【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断的形状，即可判断选项.
【详解】因为，所以，
由余弦定理可知，
即，得，
所以是等边三角形，.
故选：C
3．D
【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果.
【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，
则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，
所以，，
由题意可得，
所以，，即，
所以，，则，则，
令可得，所以，，
令，则，由可得，
因为，则，
当时，，对应第张照片，
当时，，对应第张照片，
当时，，对应第张照片.
故选：D.
4．B
【分析】取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.
5．C
【分析】由题意易得，列出余弦函数方程解出即可.
【详解】由于角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，
所以，
所以，即，解得，
当时，，
故选：C.
6．B
【分析】求出平移后的函数解析式，根据已知条件可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为，
由题意可知，函数为奇函数，则，
所以，，，因此，.
故选：B.
7．C
【分析】画出函数，的图象，由图象判断AB；利用定义证明为奇函数，再求周期，从而判断CD.
【详解】由下图可知，函数，都不是周期函数，故AB错误；

，
即函数为奇函数，且周期，故C正确；
对于D项，周期，故D错误；
故选：C
8．（不唯一）
【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由，
因为在区间上单调递减，且，
所以有，
因此的一个取值可以为，
故答案为：
9．/0.5
【分析】根据平面向量的坐标平行运算得，利用同角三角函数的商数关系式即可得的值.
【详解】向量，，若，则，所以
则.
故答案为：.
10．（均可）
【分析】由对称性的概念可得，化简即可得结果.
【详解】由于的一个对称轴为，
所以，
即，即对任意均成立，
所以，故的一个取值为（均可）
故答案为：（均可）.
11．①④
【分析】根据船离海底距离为，解三角不等式可判断①；由船离海底距离，利用导数判断单调性即可判断②；船离海底距离，利用导数求出最值即可判断③、④
【详解】①不卸货，则吃水恒为2米，
船离海底为，
当时，，则，
解得，所以最多停留时间为小时，故①正确；
②立即卸货，吃水深度，且，
解得，
此时船离海底，
，
所以在上单调递增，且当时，，
由，，
此段时间都可以停靠，
又，，故②错误；
③与④，，，
，，解得，
当时，；当时，，
所以当时，船底离海底的距离最大.
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力.
12． ；
【分析】第一空：先由辅助角公式写出，再结合平移变换写出，即可求得最大值；第二空：由值域为得恒成立，结合诱导公式可得，结合求出a的最小值即可.
【详解】第一空：由可得，易得的最大值为；
第二空：若的值域为，则恒成立，
即，又，故，
解得，又，故当时，a的最小值为.
故答案为：；.
13．
【分析】由，利用正弦定理可得，然后使用余弦定理可得
【详解】由题可知：在锐角中，
所以，因为，所以
又，所以
又，
所以，则
故答案为：，
14．(1)
(2)选②或③，

【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；
（2）条件①，由，角可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，
所以.
（2）选条件①：
由（1）知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.
选条件②：
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以.
选条件③：
因为，所以，
由，得到，
又，由(1)知，
所以
又由正弦定理得，，得到，
代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以.
15．(1)
(2)

【分析】（1）根据三角形中邻补角互补，，由平方关系得，再结合正弦定理即可求得的长；
（2）由得面积可得，再结合余弦定理即可求得的长.
【详解】（1）因为，所以
在中，因为
所以
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）的面积为，得
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得
所以.
16．(1)满足①③，
(2)

【分析】（1）分析条件中的矛盾之处，判断后求解
（2）先求出的值，再由余弦定理与面积公式，利用基本不等式求最值
(1)
（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③，
由③知，则
故
(2)
，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立
又，故面积最大值为
17．(1)；
(2)

【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；
（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得，不存在；若选②：先判断，再由求出，由及余弦定理求得，再计算面积即可.
(1)
由正弦定理得：，又，故，又，故，；
(2)
若选①：由正弦定理得：，又，故，此时不存在；
若选②：由，又，则，，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），故的面积为.
18．(1)②③，理由见解析
(2)

【分析】（1）首先分析①②可得，逐个验证条件③即可得结果；
（2）由（1）得函数的解析式，通过的范围求出的范围，结合正弦函数的性质列出关于的不等式即可得解.
【详解】（1）函数，
其中，
对于条件①：若，则，
对于条件②：的最大值为，则，得，①②不能同时成立，
当时，，即不满足条件③；
当时，，，即满足条件③；
当时，，，即不满足条件③；
综上可得，存在满足条件②③.
（2）由（1）得，
当时，，
由于在区间上有且只有一个零点，
则，解得，
即的取值范围是.
19．(1)若选择①；若选择②；若选择③见解析.
(2)若选择①；若选择②；若选③.

【分析】若选择①根据余弦定理求出，根据可求出，再根据正弦定理求出，再根据求面积；
若选择②求出，根据正弦定理求出，再根据求面积；
若选③，根据，求出的值，根据余弦定理
求出边长的值，再根据正弦定理求出求出，再根据求面积；
【详解】（1）若选择①：余弦定理得：，又，
即，又，；
若选择②：，，，又，
，由正弦定理得：，即，
；
若选择③：，，，
当时，余弦定理得：，
根据正弦定理：，即
即，又，则，
当时，余弦定理得：，
根据正弦定理：，即
即，又，则.
（2）若选①根据第（1）问可得：
若选②根据第（1）问可得：，
则，故，
此时
若选③根据第（1）问可得：
20．答案不唯一，具体见解析．
【分析】选择条件①，（1）由得或，再根据得，故；
（2）由正弦定理得，再根据得，进而，，，故.
若选择条件②：
（1）由得或，再根据，得，且，故，所以；
（2）结合（1）和正弦定理及得，进而得，，再根据得，故．
【详解】若选择条件①：
因为，
所以，即．
又，所以，
所以或，
得或．
因为，，
所以，不是最大角，得，
所以．
（2）由正弦定理，可得．
所以
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以，．
若选择条件②：
（1）因为，
所以，即．
又，所以，
所以或，
得或．
因为，，
所以，且，
所以是最大角，得，
所以．
（2）由正弦定理（或直接利用），及，，
可得，
因为，
所以，
又，所以，．
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，求三角形的面积，三角恒等变换求角，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据三角恒等变换得或，再根据所选条件依次讨论求解.
21．答案不唯一，具体见解析
【分析】选择条件①：
（1）根据余弦定理及题干条件，即可求得b值.
（2）设边上的高为，则可求得的面积，又，利用等面积法即可求得答案.
选择条件②：
（1）根据条件，可求得、，根据正弦定理，可得，即可求得b值.
（2）根据（1）可求得，设边上的高为，则可求得的面积，又，利用等面积法即可求得答案.
【详解】选择条件①：
（1）因为，，
由余弦定理，及得，
得，即，
解得．
（2）设边上的高为，则，
又因为，
所以，
所以．
选择条件②：
（1）因为，，
所以，且．
因为，，
所以，且．
由正弦定理，得，即，
又因为，所以，．
（2），
设边上的高为，则，
又因为，
所以，
所以．
22．（1）答案见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）若①②为条件，利用正弦定理可求得，得到或；当时，可求得，，知③不成立，则①②③为假命题；
若②③为条件，由正弦定理可求得，进一步可求得或，当时，可求得，知①不成立，则②③①为假命题；
若①③为条件，由正弦定理可求得，由此得到，知，从而证得②整理，则①③②为真命题；
（2）由（1）知：为直角三角形；在中利用余弦定理，结合基本不等式可求得的最大值，由此得到周长的最大值；
（3）设，，在中，根据正弦定理可利用表示出，将代入三角形面积公式，整理得到，由的范围可确定的最大值，由此确定三角形面积的最大值.
【详解】（1）①②③为假命题，证明如下：
在中，，，
由正弦定理知：，
，或．
当时，，，
又，，，此时，
成立．
当时，，，
又，，此时，．
综上：①②③为假命题．
②③①为假命题，证明如下：
，，由正弦定理得：，
，．
，．
，或．
当时，，此时，．
当时，，此时，．
综上：②③①为假命题．
①③②为真命题，证明如下：
由正弦定理得：，
，
，，，
，证毕．
（2）由（1）知：为直角三角形，且，，，
在中，由余弦定理：得：，
整理得：，
，的最大值为，当且仅当时取等号．
的周长最大值为．
（3）在（1）中真命题的条件下，，，．
设，；，．
在中，，即，
可得，
的面积
，．
当，即时，的面积取得最大值．
【点睛】方法点睛：求解三角形周长、面积的最值问题通常有两种方法：
①利用正弦定理边化角，将周长和面积表示为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；
②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；将所求式子化为符合基本不等式的形式或配凑成函数的形式来进行求解；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.
23．（1）；（2）条件选择见解析，在区间上的最小值为.
【分析】（1）求出函数的最小正周期，由此可求得的值；
（2）根据所选条件求得的表达式，结合的取值范围可求得的值，再由求得的值，由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，，则；
（2）选择条件①：因为直线为函数的图象的一条对称轴，
所以，，即，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即；
选择条件②：因为是函数图象的一个对称中心，
则，解得，
，，则，，，
当时，，
所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上最值的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.