2022届北京市西城区第五十六中学高三数学零模试题含解析

这是一份2022届北京市西城区第五十六中学高三数学零模试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届北京市西城区第五十六中学高三数学零模试题一、单选题1．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得函数不是偶函数，图象不关于轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．【详解】解：，所以的图象不关于轴对称，排除选项B，C，又因为，排除A.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.2．已知集合，则元素个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.3．函数在上的最大值和最小值分别为（    ）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-2【答案】B【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意，，作出函数的图象如下所示；由函数图像可知，当时，有最大值，当时，有最小值.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.4．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（    ）A．9 B．7 C． D．【答案】C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设，，则.因为平面，平面，所以.又，，所以平面，则.易知，.在中，，即，化简得.在中，，.所以.因为，当且仅当，时等号成立，所以.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.5．的展开式中的一次项系数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中的一次项系数为．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．6．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（    ）.A． B． C． D．【答案】C【解析】易得，，又，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，，，所以，即，故离心率为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.7．抛物线的焦点为，点是上一点，，则A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.8．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题9．如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值 ，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。10．已知函数，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式．再解不等式即可.【详解】由得，即函数的定义域为．因为，所以为上的偶函数，当时，，因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，又都是在上单调递减，根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集为.故选：D11．已知，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．【详解】已知，，，则，当且仅当 时，即当，且，等号成立，故的最小值为，故选：．【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．12．已知集合，则为（    ）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]【答案】B【分析】先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，所以，则，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 二、填空题13．已知复数，其中为虚数单位，则的模为_______________.【答案】【解析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由，得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.14．命题“对任意，”的否定是________．【答案】存在，使得【详解】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意，”的否定是“存在，使得”．【解析】命题的否定．15．在的展开式中，的系数为________．【答案】【分析】根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.16．已知，如果函数有三个零点，则实数的取值范围是____________【答案】【解析】首先把零点问题转化为方程问题，等价于有三个零点，两侧开方，可得，即有三个零点，再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.【详解】若函数有三个零点，即零点有，显然，则有，可得，即有三个零点，不妨令，对于，函数单调递增，，，所以函数在区间上只有一解，对于函数，，解得，，解得，，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，当时，，当时，，此时函数若有两个零点，则有，综上可知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题. 三、解答题17．如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点.（1）求证： 平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【详解】（1）连接，，则且为的中点，又∵为的中点，∴，又平面，平面，故平面． （2）由平面，得，．以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，．取平面的一个法向量为，由，得：，令，得同理可得平面的一个法向量为∵平面平面，∴解得，得，又，设直线与平面所成角为，则.所以，直线与平面所成角的正弦值是．18．已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.【答案】特征值为1，特征向量为．【解析】设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.【详解】设矩阵M＝，则AM＝，所以，解得，所以M＝，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.19．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面平面ABCD.（1）证明：平面PNB；（2）问棱PA上是否存在一点E，使平面DEM，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）根据题意证出，，再由线面垂直的判定定理即可证出.（2）连接AC交DM于点Q，连接EQ，利用线面平行的性质定理可得，从而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，M，N分别是AB，AD的中点，∴，，.∴.∴.又，∴，∴.∵为等边三角形，N是AD的中点，∴.又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵平面PNB，，∴平面PNB.（2）解：存在.如图，连接AC交DM于点Q，连接EQ.∵平面DEM，平面PAC，平面平面，∴.∴.在正方形ABCD中，，且.∴，∴.故.所以棱PA上存在点E，使平面DEM，此时，E是棱A的靠近点A的三等分点.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，考查了学生的推理能力以及空间想象能力，属于空间几何中的基础题.20．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成，如图2.已知圆O的半径为，设，，圆锥的侧面积为（S圆锥的侧面积（R-底面圆半径，I-母线长））（1）求S关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰的长度【答案】（1），（）；（2）【分析】（1）根据题意，设交于点，过作，垂足为，分析可得，，由圆锥的侧面积公式可得的表达式，即可得答案；（2）由（1）可得的表达式可得，设，，求导求出其在区间上的最大值，求出的值，即可得当，即时，侧面积取得最大值，计算即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，设交于点D，过O作，垂足为E，在中，，，在中，，所以，（）.（2）由（1）得：，设，（），则，令，可得，当时，，函数在区间上单调递增，当时，，函数在区间上单调递减，所以在时取得极大值，也是最大值；所以当，即时，侧面积S取得最大值，此时等腰三角形的腰长；答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为.【点睛】本题考查导数的实际应用，利用导数求函数的单调性、极值和最值，还涉及圆锥的侧面积公式和三角函数的恒等变形，关键是求出的表达式．21．已知数列和满足，，，，.（Ⅰ）求与；（Ⅱ）记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求正整数的值.【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）1【分析】（Ⅰ）易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可.（Ⅱ）由题可知要求的最小值,再分析的正负即可得随的增大而增大再判定可知即可.【详解】（Ⅰ）因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故.又当时, ,解得.当时, …①…②①-②有,即.当时也满足.故为常数列,所以.即.故,（Ⅱ）因为对,恒成立.故只需求的最小值即可.设,则,又,又当时,时.当时,因为.故.综上可知.故随着的增大而增大,故,故【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据题意求解的通项,并根据二项式定理分析其正负,从而得到最小项.属于难题.22．如图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)；(3)． 【分析】（1）由题知，以点为原点，直线、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，计算，证明，从而平面，即可得证；（2）求解平面的一个法向量，计算，即可得直线与平面所成角的正弦值；（3）求解平面的一个法向量，计算，即可得二面角的余弦值．【详解】（1）底面，平面，，如图，以点为原点，直线、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，又，平面，平面，∵平面，∴平面平面；（2）设为平面的一个法向量，又，则，取，得，，∴直线与平面PDE所成角的正弦值；（3）设为平面的一个法向量．又，，则，取，得．∴，又二面角为钝角， ∴二面角的余弦值．