2023届河南省叶县高级中学等2校高三下学期2月模拟考试（一）数学（理）试题含解析

这是一份2023届河南省叶县高级中学等2校高三下学期2月模拟考试（一）数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省叶县高级中学等2校高三下学期2月模拟考试（一）数学（理）试题 一、单选题1．若复数z满足，则（    ）A． B． C．或4 D．或【答案】D【分析】解方程求出，即可求出的值.【详解】由题意，在中，解得：或，∴或，故选：D.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式可求得集合，由并集定义可得结果.【详解】由得：或，即；由得：，即；.故选：D.3．已知函数，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用可直接构造方程求解.【详解】，，，解得：.故选：A.4．已知双曲线，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】，由此可得.【详解】由，得，则，，故．故选：B5．年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）：下列说法错误的是（    ）A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录D．年月该市星级酒店平均房价约为元【答案】D【分析】根据折线统计图和条形统计图逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由图可知，仅有月同比增速为，其余个月同比增速均为正数，故A正确；对于B选项，由图可知个数据的平均数为，故B正确；对于C选项，由图可知这个月的数据中，第个月的最大，故C正确；对于D选项，由，得年月该市星级酒店平均房价大于元，故D错误．故选：D.6．已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（    ）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】B【分析】根据等差数列的等差中项性质解决即可.【详解】由题知，均为等差数列，且，，，所以，得，所以数列的前5项和为．故选：B7．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的范围和，得到和的值，即可求出的值【详解】由题意，，，∴，，∴，，∴，故选：D.8．已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用长方体、圆柱体积公式及基本不等式求解即可.【详解】不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则，轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，体积为，则，又因为，所以，故．故选：C.9．在的展开式中，的系数为（    ）A．60 B．15 C．120 D．30【答案】A【分析】方法1：运用分步乘法原理计算可得结果.方法2：运用二项式定理的通项公式计算可得结果.【详解】方法1：可以看作6个相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的4个括号中选出3个x，最后一个括号选出，有种选法；所以的系数为．方法2：因为，所以其展开式的通项公式为，令，得展开式的通项公式为，再令，得，所以的系数为．故选：A.10．的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】可看成动点到距离与到y轴距离之和，又动点轨迹为抛物线，后由抛物线定义结合图像可得答案.【详解】易知动点的轨迹为抛物线，C的焦点为，则可看成动点到距离与到y轴距离之和.如图，设，为点P到准线距离，则.则，当且仅当P在线段AF上时取等号.故的最小值为．故选：B.11．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，再比较大小即可.【详解】设函数，则，则在上是减函数，又，则，又因为，，，所以，即．故选：C.12．若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列．在，，，这4个数列中，局部等比数列的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据局部等比数列的定义逐项进行检验即可求解.【详解】若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．若，则，则是等比数列，所以不是局部等比数列．若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．所以局部等比数列的个数是，故选：. 二、填空题13．若，，且，则______．【答案】【分析】由题得，根据解决即可.【详解】因为，所以，因为，，所以，所以．故答案为：14．写出一个最小正周期不小于，且其图象关于直线对称的函数： ______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据正余弦函数性质可直接得到结果.【详解】根据正余弦函数性质可知满足题意的函数不唯一，如，，等.故答案为：（答案不唯一）.15．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可.【详解】令，则在为减函数，所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，即的取值范围为．故答案为：16．如图，在四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为______．【答案】##【分析】通过做图，做出，的外心，则外接球球心为过外心的两平面垂线的交点，后利用正余弦定理可得外接球半径.【详解】如图1，取BD的中点E，由，可得，又，可得，又，所以为等边三角形．因为，，平面AEC，平面AEC，，则平面ACE．如图2，延长AE至Q，使得，延长CE至P，使得，由正弦定理，可得，外接圆半径为，又，，，则P为的外心，Q为的外心，过点P作平面BCD的垂线，过点Q作平面ABD的垂线，两垂线的交点O就是四面体ABCD外接球的球心．连接OE，因，则，由，，可得，则在中，，由余弦定理，故四面体ABCD外接球的表面积为．故答案为：..【点睛】方法点睛：本题涉及求几何体的外接球的表面积，解决外接球问题有以下常见手段：（1）侧棱与底面垂直的三棱锥，可将三棱锥补形为长方体或正方体；（2）正棱锥外接球常用解决问题，其中R为外接球半径，h为正棱锥高，r为底面外接圆半径；（3）侧面和底面呈一定角度的几何体，常利用过外心做平面垂线确定球心位置，后结合图像及正余弦定理解决问题. 三、解答题17．甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得分，若该局为平局，则两人各得2分．(1)求甲、乙各赢一局的概率；(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案；（2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概．（2）若甲赢两局，得分6分，；若甲一赢一平，得分5分，；若甲平两局，得分4分，；若甲一赢一输，得分2分，；若甲一平一输，得分1分，；若甲输两局，得分，.故18．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．(1)当时，求OP的长；(2)当面积最大时，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.【详解】（1）由题意，在中，，，，∴为等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，取的中点，连接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：（2）由题意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，当且仅当时，等号成立，又，∴当且仅当时，的面积最大，此时，∴．19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面ABCD，，，，，E，F分别为PC，BP的中点，且．(1)求；(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）取AD的中点M，连接CM，由底面ABCD为梯形得出，则，利用线面垂直的判定得到平面ABCD，进而得到平面PCD，所以，进而求解；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）如图，取AD的中点M，连接CM，∵底面ABCD为梯形，，，，，∴，，且，∴，∴．∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，∴平面APC，∴，又，，∴平面PCD，∴，∵E是PC的中点，∴．（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．由（1）可知，平面PCD，可得是平面PCD的一个法向量，设平面ACF的法向量为，由，，得，即，取，得，设平面PCD和平面ACF所成的锐二面角为，则．20．已知椭圆的左焦点为．(1)设M是C上任意一点，M到直线的距离为d，证明：为定值．(2)过点且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且，，O为坐标原点，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆方程及左焦点可得到，设，代入椭圆方程，即可计算出为定值；（2）设，，联立直线与椭圆可得二次方程，利用判别式可得，写出韦达定理，然后利用题意的向量关系可得，结合韦达定理即可求证【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，即，设，则，即，所以，故为定值．（2）依题意可知过点P的直线方程为，，，联立得，由，得，，．依题意可设，由点Q在线段AB上，得，所以，由，，得，即，则，即，将，代入上式并整理得，解得，所以．又，所以．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知函数．(1)若直线与曲线相切，求k的值；(2)若，，求a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）通过导数运算及导数的几何意义求出切点坐标，进而可求得k的值.（2）恒成立问题运用分离参数求最值，再运用函数隐零点来求得函数的最值，进而求得a的范围.【详解】（1）由题意，，设切点坐标为，则切线方程为．因为直线l过点，所以把点的坐标代入切线方程，得，整理得．令，则，当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以有唯一实数解，则，所以．（2），等价于，．令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增．因为，，所以在上存在唯一，使得，即，则，所以．令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，又由，，得，即．当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，得，所以，即:,则a的取值范围为．【点睛】分离参数法解决恒(能)成立问题的策略：(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；（2）由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算.【详解】（1），得，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：.（2）由（1）可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为（t为参数），代入曲线C的普通方程得，由韦达定理可知：，，所以.23．已知函数．(1)若，且，求m的值；(2)若，，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由题意直接法解不等式，与已知解集相等，可求m的值；（2）已知可得，，利用绝对值三角不等式证明结论.【详解】（1）因为，所以，由，得，则，解得，因为，所以，即，故．（2）证明：由，，得，，则，，所以，故．