北京市西城区2020届高三数学二模试题 Word版含解析

这是一份北京市西城区2020届高三数学二模试题 Word版含解析，共21页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年北京市西城区高考数学二模试卷
一、选择题（共10小题）.
1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（）∪B＝（ ）
A. （﹣∞，2） B. [2，+∞）
C. （1，2） D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，再求（）∪B得解
【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，
∴＝{x|x≥2}，（）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.
故选：D
【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2. 设复数z＝1+i，则2＝（ ）
A. ﹣2i B. 2i C. 2﹣2i D. 2+2i
【答案】A
【解析】
【分析】
由z求得，再利用复数的乘方运算求解即可.
【详解】∵z＝1+i，
∴＝（1﹣i）2

＝﹣2i.
故选：A.
【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.
3. 焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）
A. x2＝4y B. y2＝4x C. x2＝8y D. y2＝8x
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，设抛物线的标准方程为，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.
【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，
设其标准方程为，
又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，
故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题
4. 在锐角中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可用正弦定理先求出，再由三角函数中的平方关系及角的范围，求出，进而得到答案.
【详解】在锐角中，若，，，
由正弦定理，可得，
由为锐角，可得．
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
5. 函数f(x)＝x是（ ）
A. 奇函数，且值域为（0，+∞）
B. 奇函数，且值域为R
C. 偶函数，且值域为（0，+∞）
D. 偶函数，且值域为R
【答案】B
【解析】
【分析】
由奇偶性定义，求出函数f(x)为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.
【详解】根据题意，函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数，
其导数f′(x)＝1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；
其图象大致如图：

其值域为R；
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题
6. 圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（ ）
A 2 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.
【详解】令y＝0，可得x2+4x+1＝0，
所以，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.
7. 设为非零实数，且，则（ ）
A. B.
C. D. 以上三个选项都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.
【详解】设为非零实数，且，
所以对于选项A：当时，，故错误.
对于选项B：当时，无意义，故错误.
对于选项C：由于，所以，故正确.
对于选项D：由于C正确，所以选项D错误.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
8. 设向量满足，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
两边平方，得出关于的二次函数，从而得出最小值.
【详解】解：
∴当时，取得最小值.
故选：B.
【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.
9. 设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
对于任意的 ，即 .可得：，，任意的，解出即可判断出结论.
【详解】解：对于任意的，即.
∴，，任意的，
∴，或.
∴“为递增数列”，反之也成立.
∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.
10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（ ）

A. 平行 B. 相交 C. 异面且垂直 D. 异面且不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】
可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断，的位置关系．
【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，
且两点重合，所以与相交，
故选：B

【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.
【答案】30.
【解析】
【分析】
先写出二项式的展开式的通项，要求含x的项系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值即可求出含x项的系数.
【详解】展开式的通项公式为： ，
令x的指数为1，即r＝1；
∴含x的项系数为：；
故答案为：30.
【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题
12. 在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.
【答案】 (1). 9 (2). 5.
【解析】
【分析】
设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出.
【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a2＝16，a5＝1，
∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，
解得：a1＝9，d＝﹣2.
∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.
令an＝11﹣2n≥0，
解得n5.
∴使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝5.
故答案为：9；5.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.
13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.

【答案】4+4.
【解析】
【分析】
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.
【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，
该几何体为底面为边长为2，高为2正四棱锥体.
如图所示：

所以4+4.
故答案为：4+4.
【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.
14. 能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_____.
【答案】（答案不唯一）.
【解析】
【分析】
由题意可得满足或者即可，取满足上述条件的的值即可（答案不唯一）.
【详解】若方程1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则，或者，则可取（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.
15. 已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.有以下三个结论：
①f（-1）；
②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；
③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z.
其中，所有正确结论的序号是_____.
【答案】①②.
【解析】
【分析】
由题意可得函数f(x)的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.
【详解】
如图：
对①，因为函数f(x)的定义域为R，
满足f（x+2）＝2f(x)，x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3，
所以f（-1）f（-1+2）
f（1）•（21﹣3），所以①正确；
对②，f(x)的大致图象如图所示可得当a∈（，]时，
方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确
对③，因为x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3＝0，
x＝log23，又因为f（x+2）＝2f(x)，
所以函数f(x)由无数个零点，
但没有整数零点，所以③不正确；
故答案为：①②.
【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2.

（1）求证：BC1∥平面AB1D；
（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，可得BC1∥DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；
（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，
由ABC﹣A1B1C1为三棱柱，得A1E＝BE.
又∵D是A1C1的中点，∴BC1∥DE.
∵BC1⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D；
（2）解：∵CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，∴CA，CB，CC1两两互相垂直，
故分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2），
∴，，.
设平面AB1D的法向量为，
由，取y＝1，得；
设直线BC与平面AB1D所成角为θ.
则sinθ＝|cos|.
∴直线BC与平面AB1D所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.
17. 已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④
（1）给出函数的解析式，并说明理由；
（2）求函数的单调递增区间
【答案】（1），理由见解析；（2），.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先判断不能满足条件③，再由条件①求出，由条件②，得，由条件④求出，即可得出函数解析式；
（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.
【详解】（1）若函数满足条件③，
则.
这与，矛盾，故不能满足条件③，
所以函数只能满足条件①，②，④.
由条件①，得，
又因为，所以.
由条件②，得.
由条件④，得，
又因为，所以.
所以.
（2）由，，
得，
所以函数的单调递增区间为，.
【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F.在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：

定义软件的使用率t，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.
（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；
（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；
（3）将（1）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）不能；答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；
（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；
（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.
【详解】解：（1）tA0.9，tB0.9，tC0.9，tD0.9，tE0.9，tF0.9.
∴6款软件中有4款有效下载软件，
∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为.
（2）X的可能取值有2，3，4，
且P（X＝2），P（X＝3），P（X＝4），
∴X的分布列为：
X
2
3
4
P



E（X）＝234.
（3）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”.
理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，
此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.
【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.
19. 设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值；
（3）证明:.
【答案】（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求；
（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；
（3）由于等价于，结合（2）可得，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证.
【详解】解：（1），
则，
故在处的切线方程，
把点代入切线方程可得，，
（2）由（1）可得，
易得，当时，，函数单调递减，当时,，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值，没有极大值，
证明：（3）等价于，
由（2）可得（当且仅当时等号成立）①，
所以，
故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）
设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，②
因为①②等号不同时成立，
所以当时，.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．
20. 已知椭圆经过点，离心率为，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：、、三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值，再由椭圆的离心率可求得、的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设点，可得出，求出直线的方程，可求得点的坐标，由，可求得点的横坐标，代入直线的方程可求得点的坐标，验证，即可证得结论成立.
【详解】（1）将点的坐标代入椭圆的坐标可得，
由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）椭圆的左、右顶点分别为、，
设点，则，则，

直线斜率为，则直线的方程为，
令，可得，即点，
设点，由，可得，
直线的斜率为，则直线的方程为，
将代入直线的方程得，
所以点的坐标为，
直线的斜率为
直线的斜率为，
又、有公共点，因此，、、三点共线.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.
21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中am，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，j≥bi+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.
表1
a1，1
a1，2
…
a1，20
a2，1
a2，2
…
a2，20
…
…
…
…
a40，1
a40，2
…
a40，20
表2
b1，1
b1，2
…
b1，20
b2，1
b2，2
…
b2，20
…
…
…
…
b40，1
b40，2
…
b40，20
（1）判断是否存在表1，使得表2中的bi，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）
（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有bm，n﹣bm，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；
（3）若ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有bi，1+bi，2+…+bi，20≤19成立.
【答案】（1）存在表1，使得bi，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得；（2）证明见解析；（3）k＝39.
【解析】
【分析】
（1）由，，可知存在表1，使得；若，则，故，故不存在；
（2）对于任意的，都有成立，进而得，故，同理由对于任意的，都有得.
（3）取特殊表1，得，再证明即可得.
【详解】解（1）存在表1，使得bi，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得.
证明：（2）因为对于任意的，都有.
所以.
所以，
即.
由于，都有.
所以
所以，
即.
解：（3）当表1如下图时，
0
1
1
…
1
1
0
1
1
…
1
1
1
0
1
…
1
1
1
0
1
…
1
1
1
1
0
…
1
1
1
1
0
…
1
1
…
…
…
…
1
1
1
1
1
…
0
1
1
1
1
…
0
1
1
1
1
…
1
0
1
1
1
…
1
0
其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意.
重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k≥39.
以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含），
假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、
则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数.
这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.
所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行），的全部实数.
其次，在表2中，根据重排规则得：当时，，（）.
所以，
所以.
综上所述.
【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.