北京市西城区2022届高三数学一模试卷及答案

 高三数学一模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．{2} C． D．

2．复数的共轭复数（　　）

A． B． C． D．

3．设，，，则（　　）

A． B． C． D．

4．在 的展开式中，常数项为（　　）  

A．-120 B．120 C．-160 D．160

5．若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　）

A． B． C． D．

6．已知向量满足，，.则（　　）

A．5 B． C．10 D．

7．已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为（　　）

A．1 B．2 C． D．

8．将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（　　）

A． B． C． D．

9．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（　　）

A．在区间上是增函数

B．恰有2个零点

C．的最小值为-2

D．的图象关于点中心对称

二、填空题

11．若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则　     　.

12．已知数列满足（），为其前项和，若，则　     　.

13．如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：

①；

②；

③.

以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　                                                                      　.

14．已知函数，给出下列四个结论：

①若，则函数至少有一个零点；

②存在实数，，使得函数无零点；

③若，则不存在实数，使得函数有三个零点；

④对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点.

其中所有正确结论的序号是　     　.

15．调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.

①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换　     　元；

②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为　     　.

三、解答题

16．在中，.

（1）求的大小；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.

条件①：，；条件②：，；条件③：，.

17．如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若点到平面的距离为，求线段的长.

18．2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：

（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；

（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；

（3）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差，，大小关系.

19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点.如果成立，求的值.

20．已知函数，.

（1）当时，

①求曲线在处的切线方程；

②求证：在上有唯一极大值点；

（2）若没有零点，求的取值范围.

21．如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”.

（1）下列无穷等差数列中，是“数列”的为　             　；（直接写出结论）

、、、

、、、

、、、

、、、

（2）证明：若数列是“数列”，则且公差；

（3）若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】C

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】B

11．【答案】2

12．【答案】124

13．【答案】若，则；若，则.

14．【答案】①②④

15．【答案】13；36

16．【答案】（1）解：在中，因为，所以由正弦定理可得

因为，所以.

所以，

在中，，所以，因为，所以.

（2）解：选条件①：因为在中，，所以.

因为，所以.

设边上高线的长为，则.

选条件②：由余弦定理可得，整理可得，

解得或，此时不唯一；

选条件③：由余弦定理得，所以.

所以为等腰三角形，.

设边上高线的长为，则.

17．【答案】（1）证明：在矩形中，.

因为平面，平面，所以平面.

因为平面，平面，所以，

因为平面，平面，所以平面.

又因为平面，平面，，所以平面平面.

因为平面，所以平面.

（2）解：因为平面，平面，平面，

所以，，又因为是矩形，，

所以、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、，所以，.

设平面的一个法向量为，则，

取，可得，

取平面的一个法向量为，则，

由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.

（3）解：设，则，，所以，

因为点到平面的距离.

因为，解得，故.

18．【答案】（1）解：设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事件，

由已知，在积水潭站上车的乘客有60人，其中在牛街站下车的乘客有20人，

所以.

（2）解：由题意可知，

；

；

；

.

随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望为

.

（3）解：.

（两点分布：）

19．【答案】（1）解：由题设得，解得，，，

所以椭圆的方程为.

（2）解：若，则的中点为点，则线段的垂直平分线为轴，不合乎题意，故，

由得，

由，得.

设、，则，，

所以点的横坐标，纵坐标，

所以直线的方程为.

令，则点的纵坐标，则，

因为，所以点、点在原点两侧.

因为，所以，所以.

又因为，，

所以，解得，所以.

20．【答案】（1）解：若，则，.

①在处，，.

所以曲线在处的切线方程为.

②令，，

在区间上，，则在区间上是减函数.

又，

所以在上有唯一零点.

列表得：

所以在上有唯一极大值点.

（2）解：，

令，则.

①若，则，在上是增函数.

因为，，

所以恰有一个零点.

令，得.

代入，得，

解得.

所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.

②若，此时的定义域为.

当时，，在区间上是减函数；

当时，，在区间上是增函数.

所以.

又，

由题意，当，即时，无零点，符合题意.

综上，的取值范围是.

21．【答案】（1）、

（2）证明：若，则由①可知，所以或，且公差，

以下设.

由①，、，，，

两式作差得，

因为，所以.

由①，、，，，

两式作差得，

因为，所以，因此，.

若，则等差数列是递减数列，由①为中的项，因此，，

解得，

由且公差，所以或，，，

由①，为中的项，且，这与等差数列递减矛盾，因此，不成立.

综上，且公差.

（3）解：因为公差，所以，即是递增数列.

若，因为，所以，

则，且，

由①为中的项，这与等差数列是递增数列矛盾.

因此，，又由（2），故.

由，知，且中存在一项为正整数，取最小的正整数项.

则由②，，使得且，.

因此，解得，又，故.

因为是递增数列，

（i）若，则，此时.

因为，，

令，有，且，所以满足条件①.

因为，令，有，所以满足条件②.

（ii）若，则，.

因为，

.

令，则，且，所以满足条件①.

因为，令，，有，所以满足条件②.

综上，或.