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    2023届辽宁省铁岭市六校协作体高三质量检测数学试题含解析

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    这是一份2023届辽宁省铁岭市六校协作体高三质量检测数学试题含解析,共24页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届辽宁省铁岭市六校协作体高三质量检测数学试题

     

    一、单选题

    1.设,若,则实数的取值范围为

    A B C D

    【答案】A

    【分析】先求出集合,再根据,即可求得的取值范围.

    【详解】

     

    故选:A

    2.复数满足,则复数的共轭复数的虚部为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】利用复数的乘除运算求出复数的代数形式,再求出其共轭复数,确认其虚部即可.

    【详解】因为

    所以

    其虚部为.

    故选A.

    【点睛】本题考查复数的乘除运算,以及对共轭复数的认识,是基础题.

    3方程表示双曲线

    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【分析】先化简方程表示双曲线得到-2k1,再利用充要条件的定义分析判断得解.

    【详解】因为方程表示双曲线,所以所以-2k1.

    时,-2k1一定成立;

    -2k1时,不一定成立,如k=-1.

    所以方程表示双曲线的充分而不必要条件.

    故选 A

    【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和充要条件的判断,意在考查学生对这些知识的理解水平和分析推理能力.

    4.唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯(如图1所示),它的盛酒部分可以近似地看做是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁表面积固定时(假设内壁表面光滑,表面积为平方厘米,半球的半径为厘米),要使酒杯容积不大于半球体积的两倍,则的取值范围为(    

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据题意,酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积,列出的表达式,再求出体积,解不等式即可.

    【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为,,

    则表面积,,

    所以酒杯的容积,

    所以,

    ,

    所以,解得,

    故选:D.

    【点睛】本题考查了组合体的体积和表面积的计算,难度不大.

    5.已知点在半径为5的球面上,且为球面上的动点,则三棱锥体积的最大值为(    

    A B C D

    【答案】A

    【解析】求出球心到平面的距离,由这个距离加上球半径得到平面距离的最大值,再由体积公式可得体积的最大值.

    【详解】如图,的外心,是球心,平面,当的延长线与球面交点时,到平面距离最大,

    ,得,则

    所以最大的

    故选:A

    【点睛】本题考查求三棱锥的体积,解题关键是确定三棱锥体积最大时点在球面上的位置,根据球的性质易得结论.当底面固定,外心,当平面,且球心在线段上时,到平面距离最大.

    6.已知定义在上的偶函数,对任意都有,当取最小值时,的值为(    

    A1 B C D

    【答案】A

    【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式,结合正弦型函数偶函数的性质、代入法进行求解即可.

    【详解】

    因为该函数为偶函数,

    所以有

    因为,所以令,得

    时,

    ,显然不符合这一条件;

    时,

    时,取最小值,即

    因此

    故选:A

    7.已知各项为正的数列的前项和为,满足,则的最小值为(    

    A B4 C3 D2

    【答案】D

    【分析】结合求出,从而求得,由此求出的表达式,利用基本不等式即可求得答案.

    【详解】各项为正的数列

    时,

    ,化为:

    ,解得

    数列是等差数列,首项为1,公差为2

    ,当且仅当时取等号,

    的最小值为2

    故选:D

    8.倾斜角为的直线经过双曲线的右焦点,与双曲线的右支交于A两点,且,则双曲线的离心率的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】为双曲线的右准线,过垂直于为垂足,

    ,根据双曲线的第二定义可得求得,可得 ,计算可得双曲线的离心率的取值范围.

    【详解】解:设为双曲线的右准线,过垂直于为垂足,

    根据双曲线的第二定义,得

    ,则,可得

    ,即离心率的取值范围是.

    故选:D

     

    二、多选题

    9.下列命题正确的是(    

    A.若为复数,则

    B.若为向量,则

    C.若为复数,且,则

    D.若为向量,且,则

    【答案】AD

    【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析,从而确定正确选项.

    【详解】

    A对;

    不一定成立,B错;

    C错.

    两边平方并化简得D.

    故选:AD

    10.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以表示由甲箱中取出的是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是(    

    A B

    C.事件B与事件相互独立 D两两互斥

    【答案】BD

    【分析】A选项,利用独立事件和互斥事件概率公式计算出B选项,根据条件概率计算公式计算出C选项,根据得到C错误;D选项,由互斥事件的概念进行判断.

    【详解】A选项,

    A错误;

    B选项,,故B正确;

    C选项,因为,故,所以事件B与事件不相互独立,C错误;

    D选项,因为,故两两互斥,D正确.

    故选:BD

    11.在正方体中,,点P满足,其中,则下列结论正确的是(    

    A.当平面时,不可能垂直

    B.若与平面所成角为,则点P的轨迹长度为

    C.当时,正方体经过点PC的截面面积的取值范围为[]

    D.当时,的最小值为

    【答案】BD

    【分析】A,作出如图空间直角坐标系,由向量法结合向量垂直判断即可;

    B,由几何关系得出与平面所成线面角,可得,则点P的轨迹是以为圆心,以1为半径的个圆;

    C,由得点P上,利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置;

    D,将平面与平面沿展成平面图形,线段即为的最小值,利用余弦定理即可求.

    【详解】A,建立如图所示的空间直角坐标系

    所以

    ,设平面的一个法向量为

    所以,令,则,即平面的一个法向量为,若平面,则,即

    ,则,即P中点时,有平面,且A错;

    B,因为平面,连接,则即为与平面所成角,

    与平面所成角为,则,所以

    即点P的轨迹是以为圆心,以1为半径的个圆,于是点P的轨迹长度为B对;

    C,因为,所以点P一定在上,又因为当1时,的面积取最大值,此时截面面积为

    的中点为H,由图形的变化可得当点PDH运动时,所得截面对称相同,于是当时,的面积取最小值,此时截面面积为C错;

    D,如图,将平面与平面沿展成平面图形,

    线段即为的最小值,

    利用余弦定理可知

    所以D.

    故选:BD

    【点睛】1)容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中,通过线面平行得线与该面的法向量垂直,即可得参数间的关系,即可进一步讨论线线垂直的问题;

    2B中轨迹问题,关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角,即可得出所求轨迹为圆弧;

    3C中截面问题,关键结合正方体的对称性,转化为三角形面积的和,再进一步转换成讨论高的范围问题;

    4D中求不同表面线段和问题,一般展开成平面讨论.

    12.已知函数,则以下结论正确的是(    ).

    A.函数为增函数

    B

    C.若上恒成立,则自然数n的最小值为2

    D.若关于的方程有三个不同的实根,则

    【答案】BCD

    【分析】根据题意,作出可知时,,作出函数的图象,根据数形结合逐项检验,即可得到正确结果.

    【详解】时,则,所以

    ,所以当时,

    时,则,所以

    ,所以当时,

    时,则,所以

    ,所以当时,

    所以由此可知时,;作出函数的部分图象,如下图所示:

    由图象可知,函数不为增函数,故A错误;

    由图象可知,

    所以,故B正确;

    在同一坐标系中作出函数和函数的图象,如下图所示:

    由图象可知,当时,恒成立,所以的最小值为2,故C正确;

    ,则,则方程等价于

    ,即,所以,或(舍去),

    在同一坐标系中作出函数,函数和函数的图象,如下图所示:

    由图象可知,当时, 即时,

    关于的方程有三个不同的实根,故D正确.

    故选:BCD.

     

    三、填空题

    13.已知平面向量满足,则__________

    【答案】##

    【分析】根据所给条件平方后可得,再求出,可知向量夹角相等,即可求解.

    【详解】平方可得:,又

    ,即

    知,

    且为锐角,

    解得

    故答案为:

    14.已知函数,若,则的值为_____.

    【答案】

    【分析】根据辅助角公式得到,求出,从而得到,结合诱导公式,同角三角函数关系及正切二倍角公式求出答案.

    【详解】根据题意,.

    因为,所以

    所以.

    所以

    所以.

    .

    故答案为:

    15.设复数满足,则=__________.

    【答案】

    【分析】方法一:令,根据复数的相等可求得,代入复数模长的公式中即可得到结果.

    方法二:设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模,判定平行四边形为菱形,,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.

    【详解】方法一:设

    ,又,所以

    .

    故答案为:.

    方法二:如图所示,设复数所对应的点为,,

    由已知,

    平行四边形为菱形,且都是正三角形,

    .

    【点睛】方法一:本题考查复数模长的求解,涉及到复数相等的应用;考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.

    方法二:关键是利用复数及其运算的几何意义,转化为几何问题求解

    16.如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落时,将随机的向两边等概率的落下.当有大量的小球都落下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.现有5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率是______

    【答案】

    【分析】先研究一个小球从正上方落下的情况,从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率,进而可求出5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率

    【详解】如图所示,先研究一个小球从正上方落下的情况,11121314指小球第2层到第3层的线路图,以此类推,小球所有的路线情况如下:

    01-11-21-3101-11-21-3201-11-22-3301-11-22-3401-12-23-3301-12-23-3401-12-24-3501-12-24-3602-14-26-3802-14-26-3702-14-25-3502-14-25-3602-13-24-3602-13-24-3502-13-23-3402-13-23-33,共16种情况,其中落入2号位置的有4种,

    所以每个球落入2号位置的概率为

    所以5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率为

    故答案为:

     

    四、解答题

    17.已知三角形ABC的三边长为abc,且其中任意两边长均不相等.成等差数列.1)比较的大小,并证明你的结论;(2)求证B不可能是钝角

    【答案】1,证明见解析;(2)证明见解析.

    【分析】1)结合基本不等式,利用分析法进行证明.

    2)采用反证法.然后利用余弦定理结合基本不等式,推出矛盾从而达到证明的目的.

    【详解】1)大小关系为 .证明如下:

    要证,只需证.

    因为abc>0, 只需证.

    因为成等差数列,所以

    所以 成立(当且仅当时等号成立).

    又因为abc任意两边均不相等,所以成立

    故所得大小关系正确.

    2)假设B是钝角,则cosB<0.

    cosB=.

    这与cosB<0矛盾,故假设不成立.

    所以B不可能是钝角.

    18.已知数列中,,且

    (1),试用表示,并求的通项公式;

    (2),求数列的前项和

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据提示将条件进行转化即可;

    2)根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和.

    【详解】1

    所以,所以

    所以.

    2

    所以

    .

    19.如图,在三棱台中,三棱锥的体积为的面积为,且平面

    (1)求点到平面的距离;

    (2),且平面平面, 求二面角的余弦值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】(1)根据等积转化法求点到平面的距离;

    (2)几何法:由平面平面,可作出二面角的平面角,在直角三角形求解;

    空间向量法:先证明两两垂直后建系,用法向量求二面角的余弦值

    【详解】1)设点到平面的距离为

    因为,三棱锥的体积为

    所以三棱锥的体积为

    又由,得,解得.

    2

    由已知设,则,取的中点,连接,则,由平面平面,故

    ,从而平面.

    ,取中点,则,四边形是平行四边形,,从而为正三角形,故

    .

    在平面内作,则,在平面内,作,连接

    因为平面平面,平面平面

    所以 平面,又 平面,所以

    平面平面,所以平面

    平面,所以

    则二面角的平面角为.

    在直角中,,故.即所求二面角的余弦值为.

    法二:取的中点,连接,则,由平面平面,故,又,从而平面.

    ,以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,

    ,则,取中点,则,四边形是平行四边形,,从而为正三角形,故

    设面的法向量,由

    设面的法向量,由

    ,即所求二面角的余弦值为.

    20.已知椭圆C的焦距长为,点C.

    (1)C的方程;

    (2)过点的直线与C交于AB两点(均异于点P),若直线PAPB的斜率都存在,分别设为,试判断是否为定值,如果是,请求出的值;如果不是,请说明理由.

    【答案】(1)

    (2).

     

    【分析】1)根据焦距及椭圆过点列出方程求解即可;

    2)设直线方程为,联立方程,由根与系数的关系求出,再由斜率公式直接计算即可得解.

    【详解】1

    在椭圆上,

    ,解得

    故椭圆的方程为.

    2)因为过点的直线与C交于AB两点,所以直线斜率存在,

    设直线方程为

    联立

    ,即时,

    为定值.

    21.第22届世界杯于20221121日到1218日在卡塔尔举办.在决赛中,阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.

    (1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望;

    (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,易知

    试证明:为等比数列;

    设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较p10q10的大小.

    【答案】(1)分布列见解析;期望为

    (2)①证明见解析 ;

     

    【分析】1)方法一:先计算门将每次可以扑出点球的概率,再列出其分布列,进而求得数学期望;

    方法二:判断,结合二项分布的分布列和期望公式确定结论;

    2记第n次传球之前球在甲脚下的概率为,则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为,由条件确定的关系,结合等比数列定义完成证明;

    求出,比较其大小即可.

    【详解】1)方法一:的所有可能取值为

    在一次扑球中,扑到点球的概率

    所以

    所以的分布列如下:

    0

    1

    2

    3

     

    方法二:依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为

    门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为,易知

    所以

    的分布列为:

    0

    1

    2

    3

     

    所以的期望

    2次传球之前球在甲脚下的概率为

    则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为

    次传球之前球不在甲脚下的概率为

    ,又

    所以是以为首项,公比为的等比数列.

    可知,所以

    所以

    22.已知函数.

    (1),讨论的单调性;

    (2),求的取值范围.

    【答案】(1)上单调递增;

    (2).

     

    【分析】1)需对原函数进行二次求导,再得到其二次求导后的函数最值,再得到一次求导后的函数大于等于0,最后得到原函数的单调性.

    2)对进行分类讨论,得到符合题意的情况,再利用换元,隐零点等证明部分分类讨论情况不合题意.

    【详解】1)解:若

    ,则

    ,解得:

    时,,则上单调递减;

    时,,则上单调递增,

    ,且当时等号成立,即,且当时等号成立,

    上单调递增.

    2

    由(1)得:当

    上单调递减,

    由于,所以时,,不符合题意;

    ,令,则

    由于,所以,所以上单调递减,即上单调递减,

    由于

    时,上单调递减,所以,所以上单调递增,

    ,符合题意;

    ,而,可得:

    ,则

    ,则

    时,,因此上单调递增,所以

    ,因此,使得

    因此当时,,函数上单调递减,所以,不符合题意;

    综上所述,的取值范围为.

    【点睛】对于有些函数一次求导后无法直接得到其单调性,我们需要二次求导再往前推出原函数单调性,分类讨论的数学思想在导数题中经常体现,同时换元法,设隐零点等都是常见的数学技巧,平时要多加积累.

     

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