2023届辽宁省铁岭市六校协作体高三质量检测数学试题含解析
展开2023届辽宁省铁岭市六校协作体高三质量检测数学试题
一、单选题
1.设,,若,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先求出集合,再根据,即可求得的取值范围.
【详解】∵,
∴,
∵,,
∴
故选:A
2.复数满足,则复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用复数的乘除运算求出复数的代数形式,再求出其共轭复数,确认其虚部即可.
【详解】因为,
所以,
其虚部为.
故选A.
【点睛】本题考查复数的乘除运算,以及对共轭复数的认识,是基础题.
3.“”是“方程表示双曲线”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化简“方程表示双曲线”得到-2<k<1,再利用充要条件的定义分析判断得解.
【详解】因为方程表示双曲线,所以所以-2<k<1.
当时,-2<k<1一定成立;
当-2<k<1时,不一定成立,如k=-1.
所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件.
故选 A
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和充要条件的判断,意在考查学生对这些知识的理解水平和分析推理能力.
4.唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯(如图1所示),它的盛酒部分可以近似地看做是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁表面积固定时(假设内壁表面光滑,表面积为平方厘米,半球的半径为厘米),要使酒杯容积不大于半球体积的两倍,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意,酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积,列出的表达式,再求出体积,解不等式即可.
【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为,,
则表面积,故,
所以酒杯的容积,
所以,
又 ,
所以,解得,
故选:D.
【点睛】本题考查了组合体的体积和表面积的计算,难度不大.
5.已知点,,在半径为5的球面上,且,,为球面上的动点,则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求出球心到平面的距离,由这个距离加上球半径得到平面距离的最大值,再由体积公式可得体积的最大值.
【详解】如图,是的外心,是球心,平面,当是的延长线与球面交点时,到平面距离最大,
由,,得,则,
,,
,,
又,
所以最大的.
故选:A.
【点睛】本题考查求三棱锥的体积,解题关键是确定三棱锥体积最大时点在球面上的位置,根据球的性质易得结论.当底面固定,是外心,当平面,且球心在线段上时,到平面距离最大.
6.已知定义在上的偶函数,对任意都有,当取最小值时,的值为( )
A.1 B. C. D.
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式,结合正弦型函数偶函数的性质、代入法进行求解即可.
【详解】,
因为该函数为偶函数,
所以有,
因为,所以令,得,
即
由
,
当时,
,显然不符合这一条件;
当时,,
当时,取最小值,即
因此,
故选:A
7.已知各项为正的数列的前项和为,满足,则的最小值为( )
A. B.4 C.3 D.2
【答案】D
【分析】由结合求出,从而求得,由此求出的表达式,利用基本不等式即可求得答案.
【详解】各项为正的数列,
,
时,,
即,化为:,
,,
又,解得,
数列是等差数列,首项为1,公差为2.
,
,
,当且仅当时取等号,
的最小值为2.
故选:D.
8.倾斜角为的直线经过双曲线的右焦点,与双曲线的右支交于A,两点,且,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设为双曲线的右准线,过、作,垂直于,,为垂足,
过作于,根据双曲线的第二定义可得求得,可得, ,计算可得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】解:设为双曲线的右准线,过、作,垂直于,,为垂足,
过作于,
根据双曲线的第二定义,得
,,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,则,可得,
∴,
,即离心率的取值范围是,.
故选:D.
二、多选题
9.下列命题正确的是( )
A.若为复数,则
B.若为向量,则
C.若为复数,且,则
D.若为向量,且,则
【答案】AD
【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析,从而确定正确选项.
【详解】令,,,
,
,,
,A对;
,不一定成立,B错;
,,
,,
,C错.
将两边平方并化简得,D对.
故选:AD
10.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以,,表示由甲箱中取出的是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.事件B与事件相互独立 D.、、两两互斥
【答案】BD
【分析】A选项,利用独立事件和互斥事件概率公式计算出;B选项,根据条件概率计算公式计算出;C选项,根据得到C错误;D选项,由互斥事件的概念进行判断.
【详解】A选项,,,,
故,A错误;
B选项,,故,B正确;
C选项,因为,故,所以事件B与事件不相互独立,C错误;
D选项,因为,故、、两两互斥,D正确.
故选:BD
11.在正方体中,,点P满足,其中,则下列结论正确的是( )
A.当平面时,不可能垂直
B.若与平面所成角为,则点P的轨迹长度为
C.当时,正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[,]
D.当时,的最小值为
【答案】BD
【分析】对A,作出如图空间直角坐标系,由向量法结合向量垂直判断即可;
对B,由几何关系得出与平面所成线面角,可得,则点P的轨迹是以为圆心,以1为半径的个圆;
对C,由得点P在上,利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置;
对D,将平面与平面沿展成平面图形,线段即为的最小值,利用余弦定理即可求.
【详解】对A,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,
所以,,
则,,设平面的一个法向量为,
所以,令,则,即平面的一个法向量为,若平面,则,即,
由,则,即P为中点时,有平面,且,A错;
对B,因为平面,连接,则即为与平面所成角,
若与平面所成角为,则,所以,
即点P的轨迹是以为圆心,以1为半径的个圆,于是点P的轨迹长度为,B对;
对C,因为,所以点P一定在上,又因为当或1时,的面积取最大值,此时截面面积为,
设的中点为H,由图形的变化可得当点P在DH和运动时,所得截面对称相同,于是当时,的面积取最小值,此时截面面积为,C错;
对D,如图,将平面与平面沿展成平面图形,
线段即为的最小值,
利用余弦定理可知,
所以,D对.
故选:BD
【点睛】(1)容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中,通过线面平行得线与该面的法向量垂直,即可得参数间的关系,即可进一步讨论线线垂直的问题;
(2)B中轨迹问题,关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角,即可得出所求轨迹为圆弧;
(3)C中截面问题,关键结合正方体的对称性,转化为三角形面积的和,再进一步转换成讨论高的范围问题;
(4)D中求不同表面线段和问题,一般展开成平面讨论.
12.已知函数,则以下结论正确的是( ).
A.函数为增函数
B.,,
C.若在上恒成立,则自然数n的最小值为2
D.若关于的方程有三个不同的实根,则
【答案】BCD
【分析】根据题意,作出可知时,,作出函数的图象,根据数形结合逐项检验,即可得到正确结果.
【详解】设时,则,所以,
又,所以当时,;
当时,则,所以,
又,所以当时,;
当时,则,所以,
又,所以当时,;
所以由此可知时,;作出函数的部分图象,如下图所示:
由图象可知,函数不为增函数,故A错误;
由图象可知,,
所以,,,故B正确;
在同一坐标系中作出函数和函数的图象,如下图所示:
由图象可知,当时,恒成立,所以的最小值为2,故C正确;
令,则,则方程等价于
,即,所以,或(舍去),
在同一坐标系中作出函数,函数和函数的图象,如下图所示:
由图象可知,当时, 即时,
关于的方程有三个不同的实根,故D正确.
故选:BCD.
三、填空题
13.已知平面向量满足,则__________.
【答案】##
【分析】根据所给条件平方后可得,再求出,可知向量与夹角相等,即可求解.
【详解】由平方可得:,又,
,即,
由知,,
又,,
且为锐角,
,
,
解得,
故答案为:
14.已知函数,若,,,则的值为_____.
【答案】
【分析】根据辅助角公式得到,求出,从而得到,,结合诱导公式,同角三角函数关系及正切二倍角公式求出答案.
【详解】根据题意,.
因为,,,所以,
所以,.
所以,,
所以.
故.
故答案为:
15.设复数,满足,,则=__________.
【答案】
【分析】方法一:令,,根据复数的相等可求得,代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二:设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模,判定平行四边形为菱形,,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一:设,,
,
,又,所以,,
.
故答案为:.
方法二:如图所示,设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形,且都是正三角形,∴,
∴.
【点睛】方法一:本题考查复数模长的求解,涉及到复数相等的应用;考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.
方法二:关键是利用复数及其运算的几何意义,转化为几何问题求解
16.如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落时,将随机的向两边等概率的落下.当有大量的小球都落下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.现有5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率是______.
【答案】
【分析】先研究一个小球从正上方落下的情况,从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率,进而可求出5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率
【详解】如图所示,先研究一个小球从正上方落下的情况,11,12,13,14指小球第2层到第3层的线路图,以此类推,小球所有的路线情况如下:
01-11-21-31,01-11-21-32,01-11-22-33,01-11-22-34,01-12-23-33,01-12-23-34,01-12-24-35,01-12-24-36,02-14-26-38,02-14-26-37,02-14-25-35,02-14-25-36,02-13-24-36,02-13-24-35,02-13-23-34,02-13-23-33,共16种情况,其中落入2号位置的有4种,
所以每个球落入2号位置的概率为,
所以5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率为
,
故答案为:
四、解答题
17.已知三角形ABC的三边长为a、b、c,且其中任意两边长均不相等.若成等差数列.(1)比较与的大小,并证明你的结论;(2)求证B不可能是钝角
【答案】(1),证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】(1)结合基本不等式,利用分析法进行证明.
(2)采用反证法.然后利用余弦定理结合基本不等式,推出矛盾从而达到证明的目的.
【详解】(1)大小关系为 .证明如下:
要证,只需证.
因为a、b、c>0, 只需证.
因为成等差数列,所以,
所以 成立(当且仅当时等号成立).
又因为a、b、c任意两边均不相等,所以成立
故所得大小关系正确.
(2)假设B是钝角,则cosB<0.
而cosB=.
这与cosB<0矛盾,故假设不成立.
所以B不可能是钝角.
18.已知数列中,,,且.
(1)设,试用表示,并求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)根据提示将条件进行转化即可;
(2)根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和.
【详解】(1),,
所以,所以,
所以,.
(2),
所以
.
19.如图,在三棱台中,三棱锥的体积为,的面积为,,且平面.
(1)求点到平面的距离;
(2)若,且平面平面, 求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据等积转化法求点到平面的距离;
(2)几何法:由平面平面,可作出二面角的平面角,在直角三角形求解;
空间向量法:先证明两两垂直后建系,用法向量求二面角的余弦值
【详解】(1)设点到平面的距离为.
因为,三棱锥的体积为,
所以三棱锥的体积为,
又由,得,解得.
(2)
由已知设,,则,,取的中点,连接,则,由平面平面知面,故,
又,从而平面.
故,,取中点,则,四边形是平行四边形,,从而为正三角形,故,,
又,
得.
在平面内作于,则,在平面内,作于,连接,
因为平面平面,平面平面,
所以 平面,又 平面,所以,
又,平面,平面,所以平面,
又平面,所以,
则二面角的平面角为.
在直角中,,故,.即所求二面角的余弦值为.
法二:取的中点,连接,则,由平面平面知面,故,又,从而平面.
故,以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
设,,则,,取中点,则,四边形是平行四边形,,从而为正三角形,故,,
又,
得,
则,,,
设面的法向量,由得,
设面的法向量,由得,
故,即所求二面角的余弦值为.
20.已知椭圆C:的焦距长为,点在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点的直线与C交于A、B两点(均异于点P),若直线PA,PB的斜率都存在,分别设为,,试判断是否为定值,如果是,请求出的值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)根据焦距及椭圆过点列出方程求解即可;
(2)设直线方程为,联立方程,由根与系数的关系求出,,再由斜率公式直接计算即可得解.
【详解】(1),,,
在椭圆上,
,解得,,
故椭圆的方程为.
(2)因为过点的直线与C交于A、B两点,所以直线斜率存在,
设直线方程为,,,
联立得,
即,
当,即时,
,,
,
,
,
为定值.
21.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中,阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望;
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,易知.
①试证明:为等比数列;
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较p10与q10的大小.
【答案】(1)分布列见解析;期望为
(2)①证明见解析 ;②
【分析】(1)方法一:先计算门将每次可以扑出点球的概率,再列出其分布列,进而求得数学期望;
方法二:判断,结合二项分布的分布列和期望公式确定结论;
(2)①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为,则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为,由条件确定的关系,结合等比数列定义完成证明;
②由①求出,比较其大小即可.
【详解】(1)方法一:的所有可能取值为,
在一次扑球中,扑到点球的概率,
所以,
,
所以的分布列如下:
0 | 1 | 2 | 3 | |
方法二:依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为,
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为,易知,
所以,
故的分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | |
所以的期望.
(2)①第次传球之前球在甲脚下的概率为,
则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为,
第次传球之前球不在甲脚下的概率为,
则,
即,又,
所以是以为首项,公比为的等比数列.
②由①可知,所以,
所以,
故.
22.已知函数.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若,,求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增;
(2).
【分析】(1)需对原函数进行二次求导,再得到其二次求导后的函数最值,再得到一次求导后的函数大于等于0,最后得到原函数的单调性.
(2)对进行分类讨论,得到符合题意的情况,再利用换元,隐零点等证明部分分类讨论情况不合题意.
【详解】(1)解:若,,
则,
令,则,
令,解得:,
当时,,则在上单调递减;
当时,,则在上单调递增,
则,且当时等号成立,即,且当时等号成立,
故在上单调递增.
(2),
由(1)得:当,即,
若,,在上单调递减,
由于,所以时,,不符合题意;
若,令,则,
由于,所以,所以在上单调递减,即在上单调递减,
由于,
若,,
当时,在上单调递减,所以,所以在上单调递增,
,符合题意;
若,,而,可得:;
令,则,,
设,则,
当时,,因此在上单调递增,所以,
即,因此,使得,
因此当时,,函数在上单调递减,所以,不符合题意;
综上所述,的取值范围为.
【点睛】对于有些函数一次求导后无法直接得到其单调性,我们需要二次求导再往前推出原函数单调性,分类讨论的数学思想在导数题中经常体现,同时换元法,设隐零点等都是常见的数学技巧,平时要多加积累.
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