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2022-2023学年辽宁省六校协作体高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省六校协作体高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省六校协作体高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|x2−2x<0}，集合B={y|y= 2−x}，则A∪B=( )
A. (0,+∞) B. [0,2) C. (−∞,2] D. [0,+∞)
2. 下列各命题的否定为真命题的是( )
A. ∀x∈R,x2−x+14≥0 B. ∃x∈R，2x>x2
C. ∃x∈R+,(13)x>log2x D. ∀x∈[0,π2],sinx
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 已知函数f(x)=a|x|(a>0且a≠1)，若f(−3)
C. (−∞,−1)∪(3,+∞) D. [−1,0)∪(0,2)∪(2,3]
5. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. a+b2> ab(a>b>0) B. a2+b2>2ab(a>b>0)
C. 2aba+b< ab(a>b>0) D. a+b2< a2+b22(a>b>0)
6. 设a=log0.20.3，b=log20.3，则( )
A. a+b
A. f(x)的一个周期为6
B. f(x)在区间[12,18]上单调递增
C. f(x)的图像关于直线x=12对称
D. f(x)在区间[−2022,2022]上共有100个零点
8. 已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和Sn，且满足2Sn=an2+1an(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A. a1=2 B. a2021⋅a2022<1
C. Sn=n D. 1a1+1a2+…+1an= n
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数f(x)=4|x|−2，则( )
A. f(x)的定义域为{x|x≠±2} B. f(x)的图像关于x=2对称
C. f(f(−5))=−6 D. f(x)的值域是(−∞,−2)∪(0,+∞)
10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(−∞,0]单调递减，则( )
A. f(f(1))
A. 若Sn=an，则{an}是等差数列
B. 若a1=2，an+1=2an+3，则{an+3}是等比数列
C. 若{an}是等差数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等差数列
D. 若{an}是等比数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列
12. 下列不等关系中成立的有( )
A. π>nsinπn(n∈N*) B. log 32>log2 23
C. 3ln9
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=lnx+12x2+x，则f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为____ __ ．
14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数f(x)=2x2x+ 2，设数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(1)(n∈N*)，则an= ______ ．
15. 已知m+4n=1，n>0，则1|m|+|m|n的最小值为______．
16. 若存在实数a，b，使得关于x的不等式3x23≤ax+b≤2x2+2对x∈[0,+∞)恒成立，则b的最大值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为π3的两条公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E，F，且AE=AF=2 3千米.若要求观景台D与两接送点所成角∠EDF与∠BAC互补，且观景台D在EF的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路DE和DF，求观光线路之和最长是多少千米，此时DA为多少千米？
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)−g(x)=1ex．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)若f(2x)>ag(x)−1在x∈(ln3,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
19. (本小题12.0分)
记数列{an}的前n项和为Tn，且a1=1，an=Tn−1(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意n∈N*，m≥1a1+2a2+⋯+nan，求m的最小值．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=12x2−alnx−12(a∈R,a≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足1Sn+1=1an−1an+1，n∈N．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若a1=2，求数列{Sn+1Sn⋅Sn+1}的前n项和Tn．
22. (本小题12.0分)
已知定义域均为R的两个函数g(x)=ex，h(x)=(x−a)2．
(Ⅰ)若函数f(x)=g(x)h(x)，且f(x)在x=−1处的切线与x轴平行，求a的值；
(Ⅱ)若函数m(x)=g(x−1)x，讨论函数m(x)的单调性和极值；
(Ⅲ)设a，b是两个不相等的正数，且a+lnb=b+lna，证明：a+b+ln(ab)>2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={x|x2−2x<0}={x|0
则A∪B={y|y≥0}．
故选：D．
求出集合A，B，利用并集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，∀x∈R,x2−x+14=(x−12)2≥0为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于B，因为x=5时，25=32>52=25，∃x∈R，2x>x2为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于C，当x∈(0,1)时，(13)x>0,log2x<0，∃x∈R+,(13)x>log2x为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于D，当x=0时，sin0=0，故∀x∈[0,π2],sinx
依次判断各命题的真假即可得其否定的真假．
本题主要考查全称命题、特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵“2x<1”等价于：2x−1<0，即2−xx<0，即x(x−2)>0，即x<0或x>2，
∴“x>2”是“2x<1”的充分不必要条件．
故选：A．
先将结论等价化简，再根据充分与必要条件的概念即可求解．
本题考查充分与必要条件的概念，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=a|x|(a>0且a≠1)，
若f(−3)
故x<0时单调递减，
不等式f(x2−2x)≤f(3)可转化为|x2−2x|≤3，
所以−3≤x2−2x≤3，
解得−1≤x≤3．
故选：B．
由已知不等式先求出a的范围，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合奇偶性及单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由图形可知OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合C与O不重合，CF>OF即可得出．
【解答】
解：由图形可知：OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF= (a+b2)2+(a−b2)2= 12(a2+b2)，
当C与O不重合时，CF>OF，
∴ 12(a2+b2)>12(a+b)，(a>b>0)．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了对数值的比较大小，考查了对数的运算性质，属于中档题．
利用对数的换底公式进行化简得到a=−lg0.3lg5，b=lg0.3lg2，进而得到a+b，ab，ab−(a+b)，即可得出答案．
【解答】
解：∵a=log0.20.3=lg0.3lg0.2=−lg0.3lg5，
b=log20.3=lg0.3lg2，
∴a+b=lg0.3lg2−lg0.3lg5=lg0.3(lg5−lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5，
ab=−lg0.3lg5×lg0.3lg2=lg0.3lg103lg5lg2，
∴ab−(a+b)=lg0.3lg103lg5lg2−lg0.3lg52lg2lg5=lg0.3lg103−lg52lg2lg5=lg0.3lg43lg2lg5，
∵lg103>lg52>0，lg0.3<0,lg2lg5>0，lg43>0，
∴ab<0，a+b<0，ab−(a+b)<0，
∴ab
7.【答案】C
【解析】解：因为f(x+6)+f(x)=f(3)，取x=−3，得f(3)+f(−3)=f(3)，故f(−3)=0，
又f(x)是偶函数，所以f(3)=f(−3)=0，所以f(x+6)+f(x)=0，
故f(x+12)=−f(x+6)=f(x)，即f(x)的一个周期为12，故A项错误；
又f(x)在区间[−6,0]上是增函数，所以f(x)在区间[0,6]上为减函数，
由周期性可知，f(x)在区间[12,18]上单调递减，故B项错误；
因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，
由周期性可知f(x)的图像关于直线x=12对称，故C项正确；
因为f(x)在区间[−6,0]上是增函数，所以f(x)在区间[0,6]上为减函数，
f(3)=f(−3)=0，由周期性可知，在区间[0,12]上，f(3)=f(9)=0，
而区间[0,2016]上有168个周期，故f(x)在区间[0,2016]上有336个零点，
又f(2019)=f(3)=0，所以f(x)在区间[0,2022]上有337个零点，
由f(x)为偶函数，可知f(x)在区间[−2022,2022]上有674个零点，故D项错误．
故选：C．
由条件结合周期函数的定义证明函数f(x)为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，C，并由零点的定义判断D．
本题考查函数奇偶性，周期性，单调性，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和Sn，且满足2Sn=an2+1an(n∈N*)，
则2Sn=(Sn−Sn−1)2+1Sn−Sn−1，
即Sn2−Sn−12=1，
又2S1=a12+1a1=S12+1S1，
则S12=1，
则数列{Sn2}是以1为首项，1为公差的等差数列，
则Sn2=n，
即Sn= n，
即an=Sn−Sn−1= n− n−1，
对于选项A，a1= 1− 0=1，即选项A错误；
对于选项B，a2021⋅a2022=( 2021− 2020)⋅( 2022− 2021)=1 2021+ 2020⋅1 2022+ 2021<1，即选项B正确；
对于选项C，由已知可得Sn= n，即选项C错误；
对于选项D，1a1+1a2+...+1an=( 1+ 0)+( 2+ 1)+...+( n+ n−1)> n，即选项D错误．
故选：B．
由已知条件可得Sn2−Sn−12=1，则数列{Sn2}是以1为首项，1为公差的等差数列，即Sn= n，an=Sn−Sn−1= n− n−1，然后逐一判断即可得解．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了运算能力，属中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由|x|−2≠0，可得x≠±2，所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}，则A正确；
因为f(1)=−4，f(3)=4，所以f(1)≠f(3)，所以f(x)的图象不关于直线x=2对称，则B错误；
因为f(−5)=43，所以f(f(−5))=−6，则C正确；
因为x≠±2，所以|x|≥0，且|x|≠2，
所以|x|−2≥−2，且|x|−2≠0，
当−2≤|x|−2<0时，4|x|−2≤−2，即f(x)≤−2，
当|x|−2>0时，4|x|−2>0，即f(x)>0，
所以f(x)的值域是(−∞,−2]∪(0，+∞)，故D错误．
故选：AC．
根据解析式可得函数的定义域可判断A，利用特值可判断B，直接求函数值可判断C，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D．
本题主要考查函数定义域及其求法，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在(−∞,0]单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，
g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)在(−∞,0]单调递减，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，
所以g(x)在R上是减函数，
所以f(1)
g(g(1))
利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断选项的正误即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{an}中，若Sn=an，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an−an−1，则有an−1=0，由此可得an=0，则数列{an}是等差数列，A正确；
对于B，若a1=2，an+1=2an+3，变形可得an+1+3=2an+3+3=2(an+3)，则{an+3}是等比数列，B正确；
对于C，由等差数列的性质，若{an}是等差数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等差数列，可得C正确；
对于D，等比数列{an}中，当q=−1，n为偶数时，Sn=0，Sn，S2n−Sn，S3n−S2n不成等比数列，D错误；
故选：ABC．
根据题意，由等差、等比数列的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查等差等比数列的性质以及应用，涉及等比数列、等差数列的求和，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A：当n=1和2时，π>nsinπn显然成立；
因为当0<α<π2时，f(α)=sinα−α⇒f′(α)=cosα−1<0，
所以函数f(α)此时是减函数，
故当0<α<π2时，有f(α)
综上，π>nsinπn(n∈N*)，所以A正确．
对于B：当n∈N且n≥2时，logn(n−1)+logn(n+1)=logn(n2−1)
所以当n∈N且n≥3时，log(n−1)n>logn(n+1)，
所以log34>log45>log56>log67>log78>log89，
所以log 32>log2 23，所以B正确．
对于C：令f(x)=elnx−x，
则f′(x)=ex−1=e−xx，
易知当00，f(x)单调递增，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max=f(e)=0，
则f(3)=eln3−3<0，
所以3>eln3，故C不正确．
对于D：易知x−1≥lnx，设g(x)=x−1−lnx⇒g′(x)=1−1x=x−1x，
当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当0
所以3e−1>ln3e，即3e>ln3．
因为e2−3e=e2−62e>2.52−62e>0，
所以e2>3e，
所以e2>ln3，
所以e>2ln3=ln9，所以D正确．
故选：ABD．
对于A，先分析当n=1和2时，不等式显然成立，然后结合当0<α<π2时，sinα<α得当n≥3时，sinπn<πn，从而判断A选项．对于B，利用对数的运算及基本不等式证明当n∈N且n≥3时，log(n−1)n>logn(n+1)，得到log34>log89，从而判断B选项．对于C，根据不等式的结构特征构造函数f(x)=elnx−x，利用函数的单调性即可判断C选项．对于D，根据常见不等式x−1≥lnx，并结合放缩法即可判断D选项．
本题考查根据不等式的形式，构造合适的函数比较实数的大小，利用导数的性质是解题的关键，属于中档题．
13.【答案】y=3x−32
【解析】
【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由基本不等式可得斜率的最小值，求得切点，可得所求切线的方程．
【解答】
解：函数f(x)=lnx+12x2+x的导数为f′(x)=1x+x+1，x>0，
由于x>0，x+1x+1≥2+1=3，当且仅当x=1时，取得等号．
可得f(1)=32，
则斜率最小的切线方程为y−32=3(x−1)，
化为y=3x−32．
故答案为：y=3x−32．
14.【答案】n+12
【解析】解：由f(x)=2x2x+ 2，可得f(1−x)=21−x21−x+ 2=22+ 2⋅2x= 2 2+2x，
所以f(x)+f(1−x)=1，
由an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(1)(n∈N*)，
可得an=f(1)+f(n−1n)+f(n−2n)+...+f(1n)+f(0)，
上面两式相加可得2an=[f(0)+f(1)]+[f(1n)+f(n−1n)]+...+[f(1)+f(0)]
=1+1+...+1=n+1，
则an=n+12．
故答案为：n+12．
计算可得f(x)+f(1−x)=1，再由数列的倒序相加求和，计算可得所求和．
本题考查数列的倒序相加求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】3
【解析】解：已知m+4n=1，n>0，
则1|m|+|m|n=m+4n|m|+|m|n，
当m>0时，m+4n|m|+|m|n=1+4n|m|+|m|n≥1+4=5．
当m<0时，m+4n|m|+|m|n=−1+4n|m|+|m|n≥−1+4=3
故当m<0时，1|m|+|m|n的最小值为3．
故答案为：3
首先把函数的关系式进行变换，进一步利用分类讨论思想利用均值不等式求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
16.【答案】2+ 22
【解析】解：令x=0，得b∈[0,2]．
当x>0且b=2时，原命题等价于3x−13−2x≤a≤2x恒成立，由a≤2x恒成立可知a≤0，
又当x=1时，a≥3−21=1，所以不存在a，使得该不等式恒成立．
当x∈(0,+∞)，且b∈(0,2)时，
由3x23≤ax+b，得a≥3x−13−bx．
设g(x)=3x−13−bx，令g′(x)=−x−43+bx2=−x23+bx2=0，解得x=b32
当x∈(0,b32)时，g′(x)>0，此时g(x)在(0,b32)上单调递增，
当x∈(b32,+∞)时，g′(x)<0，此时g(x)在(b32,+∞)上单调递减，
g(x)max =g(b32)=2 b，得a≥2 b．
ax+b≤2x2+2等价于a≤2x+2−bx，而2x+2−bx≥2 2x⋅2−bx=2 2(2−b)，
当且仅当2x=2−bx，即x= 2−b2时等号成立，
所以a≤2 2(2−b)，则2 b≤2 2(2−b)，
解得2− 22≤b≤2+ 22，所以b的最大值是2+ 22．
故答案为：2+ 22．
令x=0，可得b∈[0,2]，当x>0时，分b=2和b∈(0,2)讨论．当b∈(0,2)时，将原命题分解成两个恒成立问题，对于3x23≤ax+b恒成立问题，可参变分离构造函数g(x)=3x−13−bx，利用导数求最值，对于ax+b≤2x2+2，可参变分离，利用基本不等式求最值，然后即可解．
本题主要考查函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为AE=AF=2 3，∠BAC=π3，
所以△AEF为等边三角形，且EF=2 3，
又∠EDF与∠BAC互补，所以∠EDF=2π3，
在△DEF中，由余弦定理知，EF2=DE2+DF2−2DE⋅DFcos∠EDF，
所以12=DE2+DF2−2DE⋅DFcos2π3=(DE+DF)2−DE⋅DF，
所以(DE+DF)2−12=DE⋅DF≤(DE+DF)24，
所以34(DE+DF)2≤12，即DE+DF≤4，当且仅当DE=DF=2时，等号成立，
此时△ADF≌△ADE，
又∠EDF与∠BAC互补，所以∠AFD=∠AED=π2，∠FAD=π6，
所以DA=2DF=4，
故观光线路之和最长是4千米，此时DA为4千米．
【解析】易知△AEF为等边三角形，结合余弦定理与基本不等式，推出DE+DF≤4，取到等号时，△ADF是直角三角形且∠FAD=π6，从而知DA的长．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)−g(x)=1ex①.
∴f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，
∴f(−x)−g(−x)=ex，即f(x)+g(x)=ex②，
联立①②可得f(x)+g(x)=exf(x)−g(x)=e−x，解得f(x)=ex+e−x2，g(x)=ex−e−x2；
(2)由(1)得f(2x)=e2x+e−2x2，g(x)=ex−e−x2，
f(2x)>ag(x)−1在x∈(ln3,+∞)恒成立，即e2x+e−2x2>a(ex−e−x2)−1在x∈(ln3,+∞)恒成立，
令t=ex−e−x，
∵y=ex在x∈(ln3,+∞)上单调递增，y=−e−x在x∈(ln3,+∞)上单调递增，
∴t=ex−e−x∈(83,+∞)，则e2x+e−2x=(ex−e−x)2+2=t2+2，
题意转化为t2+2>at−2在(83,+∞)上恒成立，即a
∴h(t)在(83,+∞)上单调递增，即h(t)>h(83)=83+483=256，
∴a≤256，
故实数a的取值范围为(−∞,256].
【解析】(1)根据f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则f(−x)−g(−x)=ex，即f(x)+g(x)=ex，又f(x)−g(x)=1ex，联立方程组，即可得出答案；
(2)由(1)得f(2x)=e2x+e−2x2，g(x)=ex−e−x2，利用换元法令t=ex−e−x，x∈(ln3,+∞)，则t∈(83,+∞)，题意转化为t2+2>at−2在(83,+∞)上恒成立，即a
19.【答案】解：(1)当n≥2时，an=Tn−1=Tn−Tn−1，
所以Tn=2Tn−1，
所以数列{Tn}是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以Tn=2n−1，
所以an=Tn−Tn−1=2n−1−2n−2=2n−2(n≥2)，
又a1=1不满足an=2n−2，
所以an=1,n=12n−2,n≥2；
(2)由(1)结合题意可得，m≥1+220+321+……+n2n−2，
设Sn=2×120+3⋅121+……+n⋅12n−2，
则12Sn=2×121+3⋅122+……+n⋅12n−1，
所以12Sn=2+121+122+……+12n−2−n⋅12n−1=2+12[1−(12)n−2]1−12−n⋅12n−1=3−(12)n−2−n⋅12n−1，
所以Sn=6−(12)n−3−n⋅(12)n−2，
所以m≥7−2⋅(12)n−2−n⋅(12)n−2=7−(n+2)⋅(12)n−2，
所以m的最小值为7．
【解析】(1)利用Tn与an的关系，可得数列{Tn}是以2为公比，1为首项的等比数列，求出数列{Tn}的通项，进而可得数列{an}的通项公式；
(2)结合(1)，设Sn=2×120+3⋅121+……+n⋅12n−2，结合错位相减法可得m≥7−2⋅(12)n−2−n⋅(12)n−2=7−(n+2)⋅(12)n−2，由此可得答案．
本题考查数列递推关系的运用以及错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f′(x)=x−ax=x2−ax，x∈(0,+∞)．
①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0,+∞)．
②当a>0时，令f′(x)=0，解得x= a或x=− a．
x
(0, a)
a
( a,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
减
极小值
增
所以函数f(x)的递增区间为( a,+∞)，递减区间为(0, a)．
(2)①当a<0时，f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0，
而f(1)=12−aln1−12=0，所以a<0满足题意；
②当0
所以只需f( a)≥0即可，而f( a)1不满足题意．
综合①②③实数a的取值范围为(−∞,0)∪(0,1]．
【解析】(1)f′(x)=x−ax=x2−ax(x>0)，对a分类讨论，进而得出函数f(x)的单调性．
(2)对a分类讨论，利用(1)的结论，可得函数f(x)的单调性，进而得出最小值，即可得出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：因为1Sn+1=1an−1an+1,n∈N*，
所以Sn+1=an+1anan+1−an①，
当n≥2时，Sn−1+1=anan−1an−an−1②，
则①−②得：an=an+1anan+1−an−anan−1an−an−1，
因为an>0，所以1=an+1an+1−an−an−1an−an−1，
整理得：an2=an+1an−1，即an+1an=anan−1，
所以数列{an}是等比数列；
(2)解：a1=2，∵1a1+1=1a1−1a2，
∴a2=6，即q=a2a1=3，
∴an=2⋅3n−1，
∴Sn=a1(1−qn)1−q=3n−1，
Sn+1Sn⋅Sn+1=12(13n−1−13n+1−1)，
Tn=12(12−18+18−⋯⋯+13n−1−13n+1−1)=12(12−13n+1−1)=14−12(3n+1−1)．
【解析】(1)由题意得到Sn+1=an+1anan+1−an①，当n≥2时，Sn−1+1=anan−1an−an−1②，①−②得：an=an+1anan+1−an−anan−1an−an−1，整理后即可得证；
(2)利用裂项相消求和即可求解．
本题考查了等比数列的证明和裂项相消求和，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=g(x)h(x)，所以f(x)=ex(x−a)2，
所以f′(x)=ex(x−a)2+ex(2x−2a)=ex(x2−2ax+2x+a2−2a)，
又f(x)在x=−1处的切线与x轴平行，所以f′(−1)=0，所以e−1(1+2a−2+a2−2a)=0，
所以1+2a−2+a2−2a=0，即a2−1=0，所以a=±1．
(Ⅱ)因为m(x)=g(x−1)x，所以m(x)=ex−1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，m′(x)=(x−1)ex−1x2，令m′(x)=0，得x=1，
当x变化时m′(x)，m(x)的关系如下表：
x
(−∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
m′(x)
−
无意义
−
0
+
m(x)
单调递减
无意义
单调减
极小值
单调递增
所以m(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增，
所以m(x)的极小值为m(1)=e01=1，无极大值．
(Ⅲ)证明：要证a+b+ln(ab)>2，只需证(a+lnb)+(b+lna)>2，
根据a+lnb=b+lna，只需证b+lna>1，又a，b是两个不相等的正数，不妨设a
两边取指数，ea−lna=eb−lnb，化简得eaa=ebb，
令p(x)=exx，所以p(a)=p(b)，
p(x)=e⋅ex−1x=e⋅m(x)，
根据(Ⅱ)得m(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增，如图所示，
由于m(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
要使p(a)=p(b)且a，b不相等，则必有01，即01，要证b+lna>1，只需证b>1−lna，
由于p(x)在(1,+∞)上单调递增，要证b>1−lna，只需证p(b)>p(1−lna)，
又p(a)=p(b)，只需证p(a)>p(1−lna)，只需证eaa>e1−lna1−lna=ea(1−lna)，
只需证ea(1−lna)>e，只需证1−lnae>1ea，
只需证1−lnae−1ea>0，即证1−lnae−e−a>0，
令φ(x)=1−lnxe−e−x(0
只需证φ(x)>0(0
令h(x)=ex−ex，则h(1)=0，h′(x)=ex−e<0(0
所以h(x)>h(1)=0，
所以φ′(x)=−ex−exex⋅ex<0，所以φ(x)在(0,1)上单调递减，
所以φ(x)>φ(1)=0，所以φ(a)>0，
所以a+b+ln(ab)>2．
【解析】(Ⅰ)根据导数的几何意义即可求解；
(Ⅱ)根据导数与函数单调性的关系，确定单调性进而可得极值；
(Ⅲ)根据同构和函数的单调性以及二次求导即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
2022-2023学年辽宁省六校协作体高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|x2−2x<0}，集合B={y|y= 2−x}，则A∪B=( )
A. (0,+∞) B. [0,2) C. (−∞,2] D. [0,+∞)
2. 下列各命题的否定为真命题的是( )
A. ∀x∈R,x2−x+14≥0 B. ∃x∈R，2x>x2
C. ∃x∈R+,(13)x>log2x D. ∀x∈[0,π2],sinx
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 已知函数f(x)=a|x|(a>0且a≠1)，若f(−3)
C. (−∞,−1)∪(3,+∞) D. [−1,0)∪(0,2)∪(2,3]
5. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. a+b2> ab(a>b>0) B. a2+b2>2ab(a>b>0)
C. 2aba+b< ab(a>b>0) D. a+b2< a2+b22(a>b>0)
6. 设a=log0.20.3，b=log20.3，则( )
A. a+b
A. f(x)的一个周期为6
B. f(x)在区间[12,18]上单调递增
C. f(x)的图像关于直线x=12对称
D. f(x)在区间[−2022,2022]上共有100个零点
8. 已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和Sn，且满足2Sn=an2+1an(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A. a1=2 B. a2021⋅a2022<1
C. Sn=n D. 1a1+1a2+…+1an= n
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数f(x)=4|x|−2，则( )
A. f(x)的定义域为{x|x≠±2} B. f(x)的图像关于x=2对称
C. f(f(−5))=−6 D. f(x)的值域是(−∞,−2)∪(0,+∞)
10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(−∞,0]单调递减，则( )
A. f(f(1))
A. 若Sn=an，则{an}是等差数列
B. 若a1=2，an+1=2an+3，则{an+3}是等比数列
C. 若{an}是等差数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等差数列
D. 若{an}是等比数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列
12. 下列不等关系中成立的有( )
A. π>nsinπn(n∈N*) B. log 32>log2 23
C. 3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=lnx+12x2+x，则f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为____ __ ．
14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数f(x)=2x2x+ 2，设数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(1)(n∈N*)，则an= ______ ．
15. 已知m+4n=1，n>0，则1|m|+|m|n的最小值为______．
16. 若存在实数a，b，使得关于x的不等式3x23≤ax+b≤2x2+2对x∈[0,+∞)恒成立，则b的最大值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为π3的两条公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E，F，且AE=AF=2 3千米.若要求观景台D与两接送点所成角∠EDF与∠BAC互补，且观景台D在EF的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路DE和DF，求观光线路之和最长是多少千米，此时DA为多少千米？
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)−g(x)=1ex．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)若f(2x)>ag(x)−1在x∈(ln3,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
19. (本小题12.0分)
记数列{an}的前n项和为Tn，且a1=1，an=Tn−1(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意n∈N*，m≥1a1+2a2+⋯+nan，求m的最小值．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=12x2−alnx−12(a∈R,a≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足1Sn+1=1an−1an+1，n∈N．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若a1=2，求数列{Sn+1Sn⋅Sn+1}的前n项和Tn．
22. (本小题12.0分)
已知定义域均为R的两个函数g(x)=ex，h(x)=(x−a)2．
(Ⅰ)若函数f(x)=g(x)h(x)，且f(x)在x=−1处的切线与x轴平行，求a的值；
(Ⅱ)若函数m(x)=g(x−1)x，讨论函数m(x)的单调性和极值；
(Ⅲ)设a，b是两个不相等的正数，且a+lnb=b+lna，证明：a+b+ln(ab)>2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={x|x2−2x<0}={x|0
则A∪B={y|y≥0}．
故选：D．
求出集合A，B，利用并集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，∀x∈R,x2−x+14=(x−12)2≥0为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于B，因为x=5时，25=32>52=25，∃x∈R，2x>x2为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于C，当x∈(0,1)时，(13)x>0,log2x<0，∃x∈R+,(13)x>log2x为真命题，故其否定为假命题，错误；
对于D，当x=0时，sin0=0，故∀x∈[0,π2],sinx
依次判断各命题的真假即可得其否定的真假．
本题主要考查全称命题、特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵“2x<1”等价于：2x−1<0，即2−xx<0，即x(x−2)>0，即x<0或x>2，
∴“x>2”是“2x<1”的充分不必要条件．
故选：A．
先将结论等价化简，再根据充分与必要条件的概念即可求解．
本题考查充分与必要条件的概念，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=a|x|(a>0且a≠1)，
若f(−3)
故x<0时单调递减，
不等式f(x2−2x)≤f(3)可转化为|x2−2x|≤3，
所以−3≤x2−2x≤3，
解得−1≤x≤3．
故选：B．
由已知不等式先求出a的范围，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合奇偶性及单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由图形可知OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合C与O不重合，CF>OF即可得出．
【解答】
解：由图形可知：OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF= (a+b2)2+(a−b2)2= 12(a2+b2)，
当C与O不重合时，CF>OF，
∴ 12(a2+b2)>12(a+b)，(a>b>0)．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了对数值的比较大小，考查了对数的运算性质，属于中档题．
利用对数的换底公式进行化简得到a=−lg0.3lg5，b=lg0.3lg2，进而得到a+b，ab，ab−(a+b)，即可得出答案．
【解答】
解：∵a=log0.20.3=lg0.3lg0.2=−lg0.3lg5，
b=log20.3=lg0.3lg2，
∴a+b=lg0.3lg2−lg0.3lg5=lg0.3(lg5−lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5，
ab=−lg0.3lg5×lg0.3lg2=lg0.3lg103lg5lg2，
∴ab−(a+b)=lg0.3lg103lg5lg2−lg0.3lg52lg2lg5=lg0.3lg103−lg52lg2lg5=lg0.3lg43lg2lg5，
∵lg103>lg52>0，lg0.3<0,lg2lg5>0，lg43>0，
∴ab<0，a+b<0，ab−(a+b)<0，
∴ab
7.【答案】C
【解析】解：因为f(x+6)+f(x)=f(3)，取x=−3，得f(3)+f(−3)=f(3)，故f(−3)=0，
又f(x)是偶函数，所以f(3)=f(−3)=0，所以f(x+6)+f(x)=0，
故f(x+12)=−f(x+6)=f(x)，即f(x)的一个周期为12，故A项错误；
又f(x)在区间[−6,0]上是增函数，所以f(x)在区间[0,6]上为减函数，
由周期性可知，f(x)在区间[12,18]上单调递减，故B项错误；
因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，
由周期性可知f(x)的图像关于直线x=12对称，故C项正确；
因为f(x)在区间[−6,0]上是增函数，所以f(x)在区间[0,6]上为减函数，
f(3)=f(−3)=0，由周期性可知，在区间[0,12]上，f(3)=f(9)=0，
而区间[0,2016]上有168个周期，故f(x)在区间[0,2016]上有336个零点，
又f(2019)=f(3)=0，所以f(x)在区间[0,2022]上有337个零点，
由f(x)为偶函数，可知f(x)在区间[−2022,2022]上有674个零点，故D项错误．
故选：C．
由条件结合周期函数的定义证明函数f(x)为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，C，并由零点的定义判断D．
本题考查函数奇偶性，周期性，单调性，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和Sn，且满足2Sn=an2+1an(n∈N*)，
则2Sn=(Sn−Sn−1)2+1Sn−Sn−1，
即Sn2−Sn−12=1，
又2S1=a12+1a1=S12+1S1，
则S12=1，
则数列{Sn2}是以1为首项，1为公差的等差数列，
则Sn2=n，
即Sn= n，
即an=Sn−Sn−1= n− n−1，
对于选项A，a1= 1− 0=1，即选项A错误；
对于选项B，a2021⋅a2022=( 2021− 2020)⋅( 2022− 2021)=1 2021+ 2020⋅1 2022+ 2021<1，即选项B正确；
对于选项C，由已知可得Sn= n，即选项C错误；
对于选项D，1a1+1a2+...+1an=( 1+ 0)+( 2+ 1)+...+( n+ n−1)> n，即选项D错误．
故选：B．
由已知条件可得Sn2−Sn−12=1，则数列{Sn2}是以1为首项，1为公差的等差数列，即Sn= n，an=Sn−Sn−1= n− n−1，然后逐一判断即可得解．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了运算能力，属中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由|x|−2≠0，可得x≠±2，所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}，则A正确；
因为f(1)=−4，f(3)=4，所以f(1)≠f(3)，所以f(x)的图象不关于直线x=2对称，则B错误；
因为f(−5)=43，所以f(f(−5))=−6，则C正确；
因为x≠±2，所以|x|≥0，且|x|≠2，
所以|x|−2≥−2，且|x|−2≠0，
当−2≤|x|−2<0时，4|x|−2≤−2，即f(x)≤−2，
当|x|−2>0时，4|x|−2>0，即f(x)>0，
所以f(x)的值域是(−∞,−2]∪(0，+∞)，故D错误．
故选：AC．
根据解析式可得函数的定义域可判断A，利用特值可判断B，直接求函数值可判断C，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D．
本题主要考查函数定义域及其求法，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在(−∞,0]单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，
g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)在(−∞,0]单调递减，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，
所以g(x)在R上是减函数，
所以f(1)
g(g(1))
利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断选项的正误即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{an}中，若Sn=an，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an−an−1，则有an−1=0，由此可得an=0，则数列{an}是等差数列，A正确；
对于B，若a1=2，an+1=2an+3，变形可得an+1+3=2an+3+3=2(an+3)，则{an+3}是等比数列，B正确；
对于C，由等差数列的性质，若{an}是等差数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等差数列，可得C正确；
对于D，等比数列{an}中，当q=−1，n为偶数时，Sn=0，Sn，S2n−Sn，S3n−S2n不成等比数列，D错误；
故选：ABC．
根据题意，由等差、等比数列的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查等差等比数列的性质以及应用，涉及等比数列、等差数列的求和，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A：当n=1和2时，π>nsinπn显然成立；
因为当0<α<π2时，f(α)=sinα−α⇒f′(α)=cosα−1<0，
所以函数f(α)此时是减函数，
故当0<α<π2时，有f(α)
综上，π>nsinπn(n∈N*)，所以A正确．
对于B：当n∈N且n≥2时，logn(n−1)+logn(n+1)=logn(n2−1)
所以当n∈N且n≥3时，log(n−1)n>logn(n+1)，
所以log34>log45>log56>log67>log78>log89，
所以log 32>log2 23，所以B正确．
对于C：令f(x)=elnx−x，
则f′(x)=ex−1=e−xx，
易知当0
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max=f(e)=0，
则f(3)=eln3−3<0，
所以3>eln3，故C不正确．
对于D：易知x−1≥lnx，设g(x)=x−1−lnx⇒g′(x)=1−1x=x−1x，
当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当0
所以3e−1>ln3e，即3e>ln3．
因为e2−3e=e2−62e>2.52−62e>0，
所以e2>3e，
所以e2>ln3，
所以e>2ln3=ln9，所以D正确．
故选：ABD．
对于A，先分析当n=1和2时，不等式显然成立，然后结合当0<α<π2时，sinα<α得当n≥3时，sinπn<πn，从而判断A选项．对于B，利用对数的运算及基本不等式证明当n∈N且n≥3时，log(n−1)n>logn(n+1)，得到log34>log89，从而判断B选项．对于C，根据不等式的结构特征构造函数f(x)=elnx−x，利用函数的单调性即可判断C选项．对于D，根据常见不等式x−1≥lnx，并结合放缩法即可判断D选项．
本题考查根据不等式的形式，构造合适的函数比较实数的大小，利用导数的性质是解题的关键，属于中档题．
13.【答案】y=3x−32
【解析】
【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由基本不等式可得斜率的最小值，求得切点，可得所求切线的方程．
【解答】
解：函数f(x)=lnx+12x2+x的导数为f′(x)=1x+x+1，x>0，
由于x>0，x+1x+1≥2+1=3，当且仅当x=1时，取得等号．
可得f(1)=32，
则斜率最小的切线方程为y−32=3(x−1)，
化为y=3x−32．
故答案为：y=3x−32．
14.【答案】n+12
【解析】解：由f(x)=2x2x+ 2，可得f(1−x)=21−x21−x+ 2=22+ 2⋅2x= 2 2+2x，
所以f(x)+f(1−x)=1，
由an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(1)(n∈N*)，
可得an=f(1)+f(n−1n)+f(n−2n)+...+f(1n)+f(0)，
上面两式相加可得2an=[f(0)+f(1)]+[f(1n)+f(n−1n)]+...+[f(1)+f(0)]
=1+1+...+1=n+1，
则an=n+12．
故答案为：n+12．
计算可得f(x)+f(1−x)=1，再由数列的倒序相加求和，计算可得所求和．
本题考查数列的倒序相加求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】3
【解析】解：已知m+4n=1，n>0，
则1|m|+|m|n=m+4n|m|+|m|n，
当m>0时，m+4n|m|+|m|n=1+4n|m|+|m|n≥1+4=5．
当m<0时，m+4n|m|+|m|n=−1+4n|m|+|m|n≥−1+4=3
故当m<0时，1|m|+|m|n的最小值为3．
故答案为：3
首先把函数的关系式进行变换，进一步利用分类讨论思想利用均值不等式求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
16.【答案】2+ 22
【解析】解：令x=0，得b∈[0,2]．
当x>0且b=2时，原命题等价于3x−13−2x≤a≤2x恒成立，由a≤2x恒成立可知a≤0，
又当x=1时，a≥3−21=1，所以不存在a，使得该不等式恒成立．
当x∈(0,+∞)，且b∈(0,2)时，
由3x23≤ax+b，得a≥3x−13−bx．
设g(x)=3x−13−bx，令g′(x)=−x−43+bx2=−x23+bx2=0，解得x=b32
当x∈(0,b32)时，g′(x)>0，此时g(x)在(0,b32)上单调递增，
当x∈(b32,+∞)时，g′(x)<0，此时g(x)在(b32,+∞)上单调递减，
g(x)max =g(b32)=2 b，得a≥2 b．
ax+b≤2x2+2等价于a≤2x+2−bx，而2x+2−bx≥2 2x⋅2−bx=2 2(2−b)，
当且仅当2x=2−bx，即x= 2−b2时等号成立，
所以a≤2 2(2−b)，则2 b≤2 2(2−b)，
解得2− 22≤b≤2+ 22，所以b的最大值是2+ 22．
故答案为：2+ 22．
令x=0，可得b∈[0,2]，当x>0时，分b=2和b∈(0,2)讨论．当b∈(0,2)时，将原命题分解成两个恒成立问题，对于3x23≤ax+b恒成立问题，可参变分离构造函数g(x)=3x−13−bx，利用导数求最值，对于ax+b≤2x2+2，可参变分离，利用基本不等式求最值，然后即可解．
本题主要考查函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为AE=AF=2 3，∠BAC=π3，
所以△AEF为等边三角形，且EF=2 3，
又∠EDF与∠BAC互补，所以∠EDF=2π3，
在△DEF中，由余弦定理知，EF2=DE2+DF2−2DE⋅DFcos∠EDF，
所以12=DE2+DF2−2DE⋅DFcos2π3=(DE+DF)2−DE⋅DF，
所以(DE+DF)2−12=DE⋅DF≤(DE+DF)24，
所以34(DE+DF)2≤12，即DE+DF≤4，当且仅当DE=DF=2时，等号成立，
此时△ADF≌△ADE，
又∠EDF与∠BAC互补，所以∠AFD=∠AED=π2，∠FAD=π6，
所以DA=2DF=4，
故观光线路之和最长是4千米，此时DA为4千米．
【解析】易知△AEF为等边三角形，结合余弦定理与基本不等式，推出DE+DF≤4，取到等号时，△ADF是直角三角形且∠FAD=π6，从而知DA的长．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)−g(x)=1ex①.
∴f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，
∴f(−x)−g(−x)=ex，即f(x)+g(x)=ex②，
联立①②可得f(x)+g(x)=exf(x)−g(x)=e−x，解得f(x)=ex+e−x2，g(x)=ex−e−x2；
(2)由(1)得f(2x)=e2x+e−2x2，g(x)=ex−e−x2，
f(2x)>ag(x)−1在x∈(ln3,+∞)恒成立，即e2x+e−2x2>a(ex−e−x2)−1在x∈(ln3,+∞)恒成立，
令t=ex−e−x，
∵y=ex在x∈(ln3,+∞)上单调递增，y=−e−x在x∈(ln3,+∞)上单调递增，
∴t=ex−e−x∈(83,+∞)，则e2x+e−2x=(ex−e−x)2+2=t2+2，
题意转化为t2+2>at−2在(83,+∞)上恒成立，即a
∴h(t)在(83,+∞)上单调递增，即h(t)>h(83)=83+483=256，
∴a≤256，
故实数a的取值范围为(−∞,256].
【解析】(1)根据f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则f(−x)−g(−x)=ex，即f(x)+g(x)=ex，又f(x)−g(x)=1ex，联立方程组，即可得出答案；
(2)由(1)得f(2x)=e2x+e−2x2，g(x)=ex−e−x2，利用换元法令t=ex−e−x，x∈(ln3,+∞)，则t∈(83,+∞)，题意转化为t2+2>at−2在(83,+∞)上恒成立，即a
19.【答案】解：(1)当n≥2时，an=Tn−1=Tn−Tn−1，
所以Tn=2Tn−1，
所以数列{Tn}是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以Tn=2n−1，
所以an=Tn−Tn−1=2n−1−2n−2=2n−2(n≥2)，
又a1=1不满足an=2n−2，
所以an=1,n=12n−2,n≥2；
(2)由(1)结合题意可得，m≥1+220+321+……+n2n−2，
设Sn=2×120+3⋅121+……+n⋅12n−2，
则12Sn=2×121+3⋅122+……+n⋅12n−1，
所以12Sn=2+121+122+……+12n−2−n⋅12n−1=2+12[1−(12)n−2]1−12−n⋅12n−1=3−(12)n−2−n⋅12n−1，
所以Sn=6−(12)n−3−n⋅(12)n−2，
所以m≥7−2⋅(12)n−2−n⋅(12)n−2=7−(n+2)⋅(12)n−2，
所以m的最小值为7．
【解析】(1)利用Tn与an的关系，可得数列{Tn}是以2为公比，1为首项的等比数列，求出数列{Tn}的通项，进而可得数列{an}的通项公式；
(2)结合(1)，设Sn=2×120+3⋅121+……+n⋅12n−2，结合错位相减法可得m≥7−2⋅(12)n−2−n⋅(12)n−2=7−(n+2)⋅(12)n−2，由此可得答案．
本题考查数列递推关系的运用以及错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f′(x)=x−ax=x2−ax，x∈(0,+∞)．
①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0,+∞)．
②当a>0时，令f′(x)=0，解得x= a或x=− a．
x
(0, a)
a
( a,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
减
极小值
增
所以函数f(x)的递增区间为( a,+∞)，递减区间为(0, a)．
(2)①当a<0时，f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0，
而f(1)=12−aln1−12=0，所以a<0满足题意；
②当0
所以只需f( a)≥0即可，而f( a)
综合①②③实数a的取值范围为(−∞,0)∪(0,1]．
【解析】(1)f′(x)=x−ax=x2−ax(x>0)，对a分类讨论，进而得出函数f(x)的单调性．
(2)对a分类讨论，利用(1)的结论，可得函数f(x)的单调性，进而得出最小值，即可得出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：因为1Sn+1=1an−1an+1,n∈N*，
所以Sn+1=an+1anan+1−an①，
当n≥2时，Sn−1+1=anan−1an−an−1②，
则①−②得：an=an+1anan+1−an−anan−1an−an−1，
因为an>0，所以1=an+1an+1−an−an−1an−an−1，
整理得：an2=an+1an−1，即an+1an=anan−1，
所以数列{an}是等比数列；
(2)解：a1=2，∵1a1+1=1a1−1a2，
∴a2=6，即q=a2a1=3，
∴an=2⋅3n−1，
∴Sn=a1(1−qn)1−q=3n−1，
Sn+1Sn⋅Sn+1=12(13n−1−13n+1−1)，
Tn=12(12−18+18−⋯⋯+13n−1−13n+1−1)=12(12−13n+1−1)=14−12(3n+1−1)．
【解析】(1)由题意得到Sn+1=an+1anan+1−an①，当n≥2时，Sn−1+1=anan−1an−an−1②，①−②得：an=an+1anan+1−an−anan−1an−an−1，整理后即可得证；
(2)利用裂项相消求和即可求解．
本题考查了等比数列的证明和裂项相消求和，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=g(x)h(x)，所以f(x)=ex(x−a)2，
所以f′(x)=ex(x−a)2+ex(2x−2a)=ex(x2−2ax+2x+a2−2a)，
又f(x)在x=−1处的切线与x轴平行，所以f′(−1)=0，所以e−1(1+2a−2+a2−2a)=0，
所以1+2a−2+a2−2a=0，即a2−1=0，所以a=±1．
(Ⅱ)因为m(x)=g(x−1)x，所以m(x)=ex−1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，m′(x)=(x−1)ex−1x2，令m′(x)=0，得x=1，
当x变化时m′(x)，m(x)的关系如下表：
x
(−∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
m′(x)
−
无意义
−
0
+
m(x)
单调递减
无意义
单调减
极小值
单调递增
所以m(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增，
所以m(x)的极小值为m(1)=e01=1，无极大值．
(Ⅲ)证明：要证a+b+ln(ab)>2，只需证(a+lnb)+(b+lna)>2，
根据a+lnb=b+lna，只需证b+lna>1，又a，b是两个不相等的正数，不妨设a
两边取指数，ea−lna=eb−lnb，化简得eaa=ebb，
令p(x)=exx，所以p(a)=p(b)，
p(x)=e⋅ex−1x=e⋅m(x)，
根据(Ⅱ)得m(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增，如图所示，
由于m(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
要使p(a)=p(b)且a，b不相等，则必有0
由于p(x)在(1,+∞)上单调递增，要证b>1−lna，只需证p(b)>p(1−lna)，
又p(a)=p(b)，只需证p(a)>p(1−lna)，只需证eaa>e1−lna1−lna=ea(1−lna)，
只需证ea(1−lna)>e，只需证1−lnae>1ea，
只需证1−lnae−1ea>0，即证1−lnae−e−a>0，
令φ(x)=1−lnxe−e−x(0
只需证φ(x)>0(0
令h(x)=ex−ex，则h(1)=0，h′(x)=ex−e<0(0
所以h(x)>h(1)=0，
所以φ′(x)=−ex−exex⋅ex<0，所以φ(x)在(0,1)上单调递减，
所以φ(x)>φ(1)=0，所以φ(a)>0，
所以a+b+ln(ab)>2．
【解析】(Ⅰ)根据导数的几何意义即可求解；
(Ⅱ)根据导数与函数单调性的关系，确定单调性进而可得极值；
(Ⅲ)根据同构和函数的单调性以及二次求导即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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