2023届辽宁省名校联盟高三下学期质量检测考试数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省名校联盟高三下学期质量检测考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届辽宁省名校联盟高三下学期质量检测考试数学试题 一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数运算公式求的代数形式，结合复数的几何意义确定其对应点的位置.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限.故选：D.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式和一元二次不等式的解法，结合交集的定义和运算即可求解.【详解】因为，，所以．故选：C.3．某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（    ）A．290 B．295 C．300 D．330【答案】C【分析】根据百分位数的估计方法计算即可.【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列得188，240，260，284，288，290，300，360，402，因为，所以这组数据的第72百分位数为300.故选：C4．“”是“”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.【详解】因为圆内切于圆，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出的范围，再利用向量夹角公式求解作答.【详解】，是单位向量，由得：，依题意，不等式对任意实数恒成立，则，解得，而，则，又，函数在上单调递减，因此，所以向量，的夹角的取值范围为.故选：B6．已知函数的最小正周期为，设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由题意得，再由得，，，从而得解.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，因为，所以，，又因为，所以.故选：B7．在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，先利用等体积法求出，再结合勾股定理求出，再根据球的体积公式即可得出答案.【详解】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，由等体积法得，设，正的中心为，则，，由，得，故故选：B.8．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件求的解析式，设，利用表示梯形的面积，利用导数求其最大值.【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为，所以，故，所以，设线段对应的函数解析式为， 因为直线经过点，所以，所以，设，则点的坐标为由可得，所以点的坐标为，所以，所以直角梯形的面积，所以，令，可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最大值，最大值为.故选：D. 二、多选题9．在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】BCD【分析】以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立空间直角坐标系，根据线与面的平行与垂直的向量求法对选项一一验证即可.【详解】以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，，，，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，则平面，故A正确；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不平行，故B错误；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不垂直，故C错误；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不垂直，故D错误；故选：BCD.10．设均为正数，且，则（    ）A． B．当时，可能成立C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以A选项正确；对于B：若，则，因为为正数，所以，所以B选项错误；对于C：由，且为正数，得，则，即，所以C选项正确；对于D：，当且仅当时，等号成立，所以，所以D选项正确．故选：ACD.11．已知函数，则（    ）A．是奇函数 B．当时，C．的最大值是1 D．的图象关于直线对称【答案】BCD【分析】根据奇偶性的定义判断A，利用同角三角函数的关系判断B，换元法，利用单调性与导数的关系求最大值判断C,根据对称轴的性质判断D.【详解】对于A, 不恒成立，所以不是奇函数，故A错误；对于B，，当时，所以，所以，故B正确；对于C，令，则，所以，所以原函数可换元为，，令解得，令解得或，所以在单调递减，单调递增，单调递减，，所以函数的最大值为，故C正确；对于D，，，因为所以，所以的图象关于直线对称，故D正确，故选：BCD.12．已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（    ）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答.【详解】因为点在抛物线上，所以，故，，抛物线的焦点的坐标为，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最大值为2，故A正确.由，得，即，当且仅当时，等号成立，所以四边形周长的最大值为，故B不正确.设直线的方程为，联立消x得，方程的判别式，设，，则，则，同理得，，C正确.，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．某容器内液体的高度单位：与时间单位：的函数关系式为，则当时，液体高度的瞬时变化率为__________【答案】【分析】直接求出导函数，即可求解.【详解】因为，所以.依题意可得当时，液体高度的瞬时变化率为故答案为：414．的展开式中，项的系数为_________．【答案】40【分析】根据题意可得，结合二项式展开式的通项公式计算即可求解.【详解】，的展开式中项为，的展开式中没有项，所以的展开式中含项的系数为40．故答案为：40.15．若数列是等比数列且，，，则______.【答案】【分析】求出等比数列的公比后，得的通项公式，再用累加法可求出结果.【详解】设等比数列的公比为q，则，则，当时，.因为也适合上式，所以.故答案为：.16．为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为__________.【答案】【分析】首先表示出，，，的坐标，依题意可得，即可得到为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得解.【详解】解：不妨设，，，，则，为椭圆的焦点，所以，又，所以，且，所以在以、为焦点的椭圆上，且，所以，所以为椭圆上一点，由，解得，则，故到轴的距离为.故答案为： 四、解答题17．已知的内角，，的对边分别为，，，且，.(1)求的大小；(2)若，求边上高的长度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用余弦定理建立的关系，代入，可求得，三角形为等腰三角形，进而求得.（2）结合第一问，可以求得三角形的三边，利用等面积法求得高.【详解】（1），，，,又，（2），设边上高为，则18．在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且______.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本计算求解即可；（2）根据错位相减法计算求解即可.【详解】（1）解：若选①，则，，故不能选①，若选②：依题意可得，解得故．（2）解：由（1）知，，则，所以，所以，故．19．口袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，每次从口袋中取一个球，若取出的是白球，则不放回，若取出的是黑球，则放回袋中.(1)求在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率；(2)求取了3次后，取出的白球的个数的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）运用条件概率公式计算即可；（2）先分析出取出白球的个数的几种可能，再写出分布列，最后根据分布列算出期望.【详解】（1）解:设第一次取出白球为事件A，第二次取出黑球为事件B，，，在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率.（2）解：设取出白球的个数为，则，，，，所以X的分布列为012 20．如图，在直三棱柱中，，，且二面角为为45°.(1)求棱AC的长；(2)若D为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）由图及题意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的长；（2）建立以C为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【详解】（1）因平面ABC，平面ABC，则.又，，平面，平面，则平面.又平面，则，故是二面角的平面角，则.又，则.（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.可得，，，.设平面的法向量为，则，取，得.设平面的法向量为，则，取，得由，得平面与平面的夹角为60°，故平面与平面的夹角的正切值为.21．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，.(1)求双曲线的方程；(2)若的外心为，求的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；(2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围.【详解】（1）设双曲线的半焦距为，因为双曲线的右焦点为，所以，因为点和点关于轴对称，所以当时，直线的方程为，联立可得，又，所以，又，所以，故双曲线方程为；（2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，所以可设直线的方程为，联立，消，得，方程的判别式，设，则，，由已知，所以，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，又线段的垂直平分线方程为，所以点的坐标为，所以，所以，所以，，因为，所以，所以，所以所以的取值范围为.【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.22．已知函数．(1)求在上的极值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)为极小值，无极大值.(2) 【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；(2) 令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.【详解】（1），令，得，在为负，单调递减，在为正，单调递增，故为极小值，无极大值.（2）由题知 ,令，令，则 ，设 则 ，，为正，在单调递增，，为负，在单调递减，故为极大值，若，即，此时，则在单调递减，又，所以时，在单调递增，时，，在单调递减，故为极大值，所以，则当时，符合条件；，即 此时，存在，在上；，则在单调递增，又，则在区间上所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.综上所述的最小值为.