2023年陕西省西安市雁塔区第一中学中考数学四模试卷

这是一份2023年陕西省西安市雁塔区第一中学中考数学四模试卷，共24页。试卷主要包含了2022022022…， 分解因式，抛物线与x轴交点个数由△决定等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2023年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学四模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分    注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列实数中，一定是无限不循环小数的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  如图：一块直角三角板的角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为(    )A.
B.
C.
D. 3.  若一次函数的函数值随增大而增大，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  实数、在数轴上的位置如图所示，则下列各式表示正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，在边长为的正方形中，若将绕点逆时针旋转，使点落在点的位置，连接并延长交于点，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 7.  若抛物线只经过三个象限，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）8.  分解因式：______．9.  正八边形半径为，则正八边形的面积为______．10.  杨辉，字谦光，南宋时期杭州人在年他所著的详解九章算法一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自世纪中叶约公元年贾宪的释锁算术，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第行中所有数字之和为______ ．
11.  如图，点是反比例函数的图象上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象交于点、点，连接，若四边形的面积为，则        ．
 12.  如图，在矩形中，，，点在上，且，点为矩形内一动点，使得，连接，则线段的最小值为          ．
 
   
 三、解答题（本大题共13小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.  本小题分
求不等式的正整数解．14.  本小题分
计算：．15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．16.  本小题分
已知：在正方形中，是边上一定点，连接请用尺规作图法，在上求作一点，使∽．
17.  本小题分
如图，在中，，，，求边上的高．
18.  本小题分
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，、两点均在格点上，且坐标分别为，．
点关于轴对称的点的坐标为______ ；
在网格线中描出点、，并画出，若将绕着点顺时针方向旋转得到，则线段的长度为______ ，请在图中画出；
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______ ．
19.  本小题分
一个不透明的口袋中装有个小球，这四个小球上分别标有数字“”、“”、“”、“”，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同．
若小红一次摸出一个球，则摸出的数字是偶数的概率为______ ；
若小刚一次摸出两个球，用树状图或者表格的方法求出两个球上的数字之积为负数的概率．20.  本小题分
我国的纸伞制作工艺十分巧妙，如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，，从而保证伞圈沿着伞柄滑动．
求证：≌．
当伞撑开后，我们发现，，在同一条直线止，已知，，两个身体宽度的人撑伞并排站立，两人之间间隔，请问他们是否会淋到雨？并说明理由．
21.  本小题分
春季是流感高发的季节，出门切记戴口罩当下口罩市场出现热销，某药店老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在药店销售，销售完后共获利元进价和售价如表： 型号
价格甲型口罩乙型口罩进价元袋售价元袋该药店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
该药店第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，并且甲种口罩的数量不超过乙种口罩数量的倍，并且此次用于购进口罩的资金不超过元若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完设此次购进甲种口罩袋，超市获利元，试求关于的函数关系式，并求出最大利润．22.  本小题分
我校举办了预防春季传染病知识竞答活动，学校随机抽取了九年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理满分为分，将抽取的成绩在分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，每个组都含最大值不含最小值，例如组包括分不包括分，得到如下不完整的统计表： 组别分数分频数人百分比 ______ ， ______ ， ______ ；
此次竞答活动得分的中位数落在______ 组；
已知该校九年级共有名学生，请估计九年级学生中竞答成绩高于分的人数．23.  本小题分
某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴中，拱桥高度，跨度．
求抛物线的解析式；
拱桥下，有一加固桥身的“脚手染”矩形在抛物线上，且点在点的左边，已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为在地面上，无需使用锎材，求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
24.  本小题分
如图，是的直径，点在上，平分，是的切线，与相交于点，与相交于点，连接．
求证：；
若，，求的长．
25.  本小题分
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动在矩形中，已知，，点是边上的一个动点．
【操作判断】
如图，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为______ ；的度数为______ ；
【迁移探究】
如图，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长；
【综合应用】
如图，点在边上运动，且始终满足，以为折叠，将翻折，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、原式，是整数，不合题意；
B、是分数，是无限循环小数，不合题意；
C、是无理数，是无限不循环小数，符合题意；
D、，是无限循环小数，不合题意；
故选：．
根据无限不循环小数的概念解答即可．
此题考查的是实数，有理数和无理数统称实数．
 2.【答案】 【解析】解：因为平分，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
故选：．
依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
 3.【答案】 【解析】解：由题意，得，
解得，
故选：．
根据一次函数的性质，可得答案．
本题考查了一次函数的性质，，当时，函数值随的增大而增大．
 4.【答案】 【解析】【分析】
根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得，再根据实数的加减法法则可得答案．
此题主要考查了实数与数轴，关键是掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．也考查了实数的加减法法则．
【解答】
解：由题意，可得，
则，，，．
故选：．  5.【答案】 【解析】解：分别延长和交于点，

由题知，，，
，，，
，
，
由题知，是等边三角形，
，
故选：．
分别延长和交于点，由直角三角形的性质求出的长，根据是等边三角形，求出即可．
本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识点，根据旋转判断是等边三角形及特殊角三角函数的应用是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：圆内接四边形，，
，
点关于的对称点在边上，
，
．
故选：．
直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出的度数是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
当，，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
把代入得，，
抛物线与轴的交点为，
令，解得，
当时，抛物线经过第一、二、四象限，
当，，
抛物线的对称轴在轴的左侧，
抛物线与轴的交点为，
此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不合题意，
若抛物线只经过三个象限，则的取值范围为，
故选：．
先确定抛物线的对称轴和与轴的交点，然后根据二次函数的性质分两种情况讨论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 8.【答案】 【解析】解：

，
故答案为．
首先提取公因式，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 9.【答案】 【解析】解：连接，，作于点，
的半径为，则的内接正八边形的中心角为：，
，
，
正八边形，
故答案为：．
首先根据正八边形的性质得出中心角度数，进而得出的长，从而计算出的面积，最后乘以即可求得正八边形的面积．
本题考查了正多边形和圆的知识，题目中没有作出边心距求面积是解答本题的亮点，难度一般．
 10.【答案】 【解析】解：第行数的和是，
第行数的和是，
第行数的和是，
第行数的和是，
第行数的和是，
，
第行数的和是，
第行数的和是，
故答案为：．
通过计算发现，第行数的和是，由此求解即可．
本题考查数字的变化规律，观察所给的杨辉三角，通过计算探索出每行数的和的一般规律是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：延长，分别交轴，轴于点，，

轴，轴，则：四边形为矩形，，为直角三角形，
点在反比例函数的图象上，点、点在反比例函数上，
，，
四边形的面积，
；
故答案为：．
延长，分别交轴，轴于点，，易得四边形的面积等于，即可得解．
本题考查一直图形面积求值．熟练掌握值的几何意义，是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】【分析】
作的外接圆，连接，当点是与的交点时，最小．
本题考查了根据点与圆的位置关系求最值，解题的关键是构造辅助圆．
【解答】
解：如图，作的外接圆，连接，，，作，，







，点在上，且，
，，
，
，
，，
，，
在中，，
当点是与的交点时，最小，
的最小值．
故答案为：．  13.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
则不等式的正整数解为，，，． 【解析】不等式去分母，移项合并，把系数化为，求出解集，确定出正整数解即可．
此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 14.【答案】解：原式

． 【解析】先利用乘方、绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
 15.【答案】解：原式


，
当时，原式． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 16.【答案】解：四边形为正方形，
，
∽，
，，
即过点作即可．
如图，点即为所求． 【解析】若∽，则，，即过点作，根据垂线的作图方法作图即可．
本题考查作图相似变换、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质是解答本题的关键．
 17.【答案】解：过作于，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设边上的高为，

，
，
解得：，
即边上的高为． 【解析】过作于，则，然后根据等腰直角三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后根据的面积即可求出边上的高．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 18.【答案】   或或 【解析】解：，
点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
如图，和即为所求．
．
故答案为：．
当以为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为；
当以为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为；
当以为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为．
综上所述，满足题意的点的坐标为或或．
故答案为：或或．
关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得答案．
根据点，的坐标描点并连线即可；利用勾股定理可求得线段的长度；根据旋转的性质作图即可．
分别讨论以，，为平行四边形的对角线，结合平行四边形的性质可得答案．
本题考查作图轴对称变换、旋转变换、勾股定理、平行四边形的性质，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、勾股定理、平行四边形的性质是解答本题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：四个数中，是偶数的有和，
小红一次摸出一个球，摸出的数字是偶数的概率为．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，两个球上的数字之积分别为：，，，，，，，，，，，，
其中两个球上的数字之积为负数的结果有：，，，，，，，，共种，
两个球上的数字之积为负数的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和两个球上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 20.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌；
解：他们会淋到雨，理由如下：
当伞撑开后，我们发现，，在同一条直线上，连接，则点在线段上，如图，

由可知，≌，
，
，
，，
，
，
，
，
他们会淋到雨． 【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，即可解决问题．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 21.【答案】解：设该药店财进甲种型号口罩袋，乙种型号口罩袋，
由表格可得：，
解得，
答：该药店财进甲种型号口罩袋，乙种型号口罩袋；
设此次购进甲种口罩袋，则购进种口罩袋，超市获利元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
甲种口罩的数量不超过乙种口罩数量的倍，并且此次用于购进口罩的资金不超过元，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，
答：关于的函数关系式为，最大利润为元． 【解析】根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可计算出该药店财进甲、乙两种型号口罩各多少袋；
根据题意，可以写出与的函数关系式，然后根据甲种口罩的数量不超过乙种口罩数量的倍，并且此次用于购进口罩的资金不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到的最大值．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 22.【答案】       【解析】解：由题意得，样本容量为：，
故；
；
．
故答案为：；；；
把调查的人的成绩从小到大排列，排在第和个数都在组，
所以此次竞答活动得分的中位数落在组．
故答案为：；
名，
答：估计九年级学生中竞答成绩高于分的人数大约有名．
用组的频数除以它对应的频率可得样本容量，再用除以样本容量可得的值；用样本容量分别减去其他组的频数，可得的值，进而调查的值；
根据中位数的定义解答即可；
用乘样本中成绩高于分的人数所占比例可得答案．
本题考查频数分布表，中位数以及用样本感觉总体，掌握“频率”是解答本题的关键．
 23.【答案】解：设抛物线的解析式为，经过，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，不合题意，舍去，
，，
，．
答：“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离为． 【解析】设抛物线的解析式为，根据题意列方程组，即可得到结论；
设点的坐标为，根据题意列方程，解方程即可得到结论．
本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意设出函数解析式是根本，待定系数法求得抛物线解析式是解题关键．
 24.【答案】证明：平分，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
解：是的直径，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 【解析】利用角平分线的定义，直径所对的圆周角为直角，对顶角相等，切线的性质定理和等角的余角相等得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可；
利用的结论和等腰三角形的三线合一的性质得到的长，再利用切割线定理求得，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定定理与性质定理，圆的切割线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
 25.【答案】   【解析】解：线段与线段的位置关系为，理由如下：
如图，连接，

由折叠得：，，
、都在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
；
，理由如下：
将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
；
故答案为：，；
如图，当点落在对角线上点时，

在矩形中，
，，，
，
设，由折叠得：，，
，，，
，
，
解得：，
；
如图，当点落在对角线上点时，

过作，交于，交于，
，
，
由折叠得：，
，
，
∽，
，
设，，
，，，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
整理得，
解得，舍去，
综上所述：的长为或；
，
，
设，
，
解得，
翻折后的三角形为，
，，
当点在与之间或在对角线上时，如图，图，


，
，
此时折后与重叠部分面积，
，
在，当时，的最大值；
当点在对角线的右侧时，交于，交于，如图，

，
由翻折得，
，
，，
，
，
，
，
同理可证，
，，
，
，
的面积，
此时折叠后与重叠部分面积，
的面积的面积

，
，
在，当时，的最大值，
综合，的最大值，的最大值，
的最大值的最大值，
折叠后与重叠部分面积的最大值是，此时．
由折叠得，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明是等边三角形即可求出角度；
对点分别落在对角线、上进行分类讨论，当点落在对角线上点时，设，分别出、、，用勾股定理即可求解；当点落在对角线上点时，过作，设，，证明∽，从而求出，再求出、，用勾股定理即可求解；
设，分别求出当和时，面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值，对最大值再进行比较取较大的最大值．
本题属于四边形综合题，考查了以矩形为背景的典型折叠问题，考查的主要知识有折叠的性质、等边三角形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数等，熟练掌握典型折叠问题的解法及找出函数关系式是解题的关键．