人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系达标测试

21.2 解一元二次方程

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

【知识与技能】

1.掌握一元二次方程根与系数的关系；

2.能运用根与系数的关系解决具体问题.

【过程与方法】

经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

一元二次方程根与系数的关系及其应用.

【教学难点】 

探索一元二次方程根与系数的关系.

五、课前准备 

课件

六、教学过程

（一）导入新课

1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2）

学生口答：

2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？

学生口答：

对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).

b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.

b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.

b2-4ac<0时,方程无实数根.

想一想：方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？

（二）探索新知

探究  根与系数的关系

填表，观察、猜想（出示课件4）

你发现什么规律？

①用语言叙述你发现的规律；

② x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律.

出示课件5：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？

教师引导：

归纳结论：（出示课件6）

如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则:

x1+x2=-p,x1·x2=q.

教师问：如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7）

上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.

①用语言叙述发现的规律；

② ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.

师生共同归纳：（出示课件8）

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= .

这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.

请同学用求根公式证明.（一生板演）

教师问：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？

强调：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.

出示课件9,10：例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1）x2+7x+6=0；

（2）2x2-3x-2=0.

学生思考后，共同解答如下：

解：⑴这里a=1,b=7,c=6.

Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.

∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是x1,x2,那么

x1+x2=-7,x1·x2=6.

⑵这里a=2,b=-3,c=-2.

 Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25> 0,

 ∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是x1,x2,那么

 x1 +x2=,x1·x2=-1.

出示课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积：

①x2+3x-1=0；         ② 2x2-4x+1=0.

学生自主思考并解答.

解：⑴x1+x2=-3,x1·x2=-1.

⑵原方程可化为：

x1+x2=2,x1·x2=.

出示课件12：例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

学生思考后，共同解答如下：

解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 .

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.

答：方程的另一个根是k=－7.

出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.

学生自主思考并解答.

解：设方程的另一个根为x1.

把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.

解这方程，得k=-2.

由根与系数关系，得x1·2＝3k,即2x1＝－6.

∴ x1＝－3.

答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.

出示课件14：例3  不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.

师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.

师生共同解答如下：

解：根据根与系数的关系可知：

∴

出示课件15：设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:

⑴x1+x2=           , (2)  x1·x2=             ,

(3)          ,

(4)      .

学生自主解答后，口答：

⑴4；⑵1；⑶12；⑷14.

出示课件16：例4  设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且

x12 +x22 =4，求k的值.

教师分析：将x1+x2=2(k -1) ,  x1x2 =k2，代入x12 +x22=4可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.

解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k - 1）2-4k2 ≥ 0         

即 -8k + 4 ≥ 0. ∴

由根与系数的关系得x1+x2=2(k -1) ,  x1x2 =k2.

∴x12 +x22= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 =2k2-8k +4.

由x12 +x22=4，得 2k2-8k+4= 4,

 解得k1=0 ,k2=4 .

 经检验，k2=4不合题意，舍去.

师生共同总结归纳如下：（出示课件17）

教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.

出示课件18：当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.

学生自主思考并解答.

解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.

∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，

由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=.

∴（）2-4×=1.

解得k1=9,k2=-3.

当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.

（三）课堂练习（出示课件19-25）

1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（   　）

A．﹣2         B．1          C．2           D．0

2. 如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.

3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=     ,q=     .

4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；  （2）求(x1-x2)2的值.

6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.

(1) (x1+1)(x2+1);       (2)

7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.

8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0

（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.

（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.

参考答案：

1.D

2.；-3

3.1；-2

4.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0.

 解得m=16,

设另一个根为x1,则：1×x1=

∴x1=

5.解：(1)根据根与系数的关系

得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

解得：k=-7；        

（2）因为k=-7,所以

则：

6.解: 根据根与系数的关系得：

（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=

（2）

7.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1,

由根与系数的关系，得

∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,

∴

∴

∵△＞0,

∴

8.解：(1)方程有实数根，

＝（-2m）2-4m（m-2）

＝8m≠0

∴m的取值范围为m＞0.

(2)∵方程有实数根x1,x2，

∴

∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，

∴

解得m=8.

经检验m=8是原方程的解．

（四）课堂小结

通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.

（五）课前预习

预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。

七、课后作业

1.教材16页练习

2.配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.

2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.

3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.