人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品课时训练

21．2.4　一元二次方程的根与系数的关系

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1．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__   ___，x1x2＝__ ___．

2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__ ___，x1x2＝__    _．

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__   _ __         ；(2)二次方程，即__     __；(3)有根，即__      ___．

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知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是(    )

A．0　　B．2　　C．－2　　D．4

2．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于(    )

A．－4  B．－1  C．1  D．4

3．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为(    )

A．－8  B．－4  C．8  D．4

4．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__  ___．

5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1)x2＋3x＋1＝0；

(2)2x2－4x－1＝0；

(3)2x2＋3＝5x2＋x.

6．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1)x12＋x22；　　　　　(2)＋.

知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则(    )

A．b＞0  B．b＝0  C．b＜0  D．c＝0

8．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根和c分别为(     )

A．1，2      B．2，4 

C．4，8      D．8，16

9．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是(     )

A．－10  B．10  C．－6  D．－1

10．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(     )

A．－1或5  B．1  C．5  D．－1

11．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．

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12．已知一元二次方程x2－2x＋2＝0，则下列说法正确的是(    )

A．两根之和为2     B．两根之积为2

C．两根的平方和为0  D．没有实数根

13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是(    )

A．x2＋6x＋8＝0  B．x2－6x＋8＝0

C．x2－6x－8＝0  D．x2＋6x－8＝0

14．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为(    )

A．5  B．－5  C．1  D．－1

15．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(    )

A．－2或3    B．3

C．－2        D．－3或2

16．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__   __．

17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__         ___．

18．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求(x1＋x2)2÷(＋)的值．

19．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1，x2.

(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

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20．设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．

21．2.4　一元二次方程的根与系数的关系

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1．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－p___，x1x2＝__q___．

2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－___，x1x2＝_____．

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax2＋bx＋c＝0___；(2)二次方程，即__a≠0___；(3)有根，即__b2－4ac≥0___．

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知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是( C  )

A．0　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D．4

2．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( C  )

A．－4  B．－1  C．1  D．4

3．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D  )

A．－8  B．－4  C．8  D．4

4．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__－6___．

5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1)x2＋3x＋1＝0；

解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1

(2)2x2－4x－1＝0；

解：x1＋x2＝2，x1x2＝－

(3)2x2＋3＝5x2＋x.

解：x1＋x2＝－，x1x2＝－1

6．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1)x12＋x22；　　　　　(2)＋.

解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11

(2)＋＝＝－3

知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( B  )

A．b＞0  B．b＝0  C．b＜0  D．c＝0

8．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根和c分别为( C  )

A．1，2  B．2，4  C．4，8  D．8，16

9．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是( A  )

A．－10  B．10  C．－6  D．－1

10．(2014·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( D  )

A．－1或5  B．1  C．5  D．－1

11．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．

解：由根与系数的关系得又∵x1＝3x2③，联立①③，解方程组得∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝6

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12．已知一元二次方程x2－2x＋2＝0，则下列说法正确的是( D  )

A．两根之和为2  B．两根之积为2

C．两根的平方和为0  D．没有实数根

13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B  )

A．x2＋6x＋8＝0  B．x2－6x＋8＝0

C．x2－6x－8＝0  D．x2＋6x－8＝0

14．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为( B  )

A．5  B．－5  C．1  D．－1

15．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( C  )

A．－2或3  B．3

C．－2  D．－3或2

16．(2014·呼和浩特)已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__8___．

17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x2－9x＋8＝0___．

18．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求(x1＋x2)2÷(＋)的值．

解：由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴(x1＋x2)2÷(＋)＝x1x2(x1＋x2)＝4

19．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1，x2.

(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

解：(1)方程整理为x2－2(k－1)x＋k2＝0，由题意得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴k≤　(2)由题意得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1，∵k≤，∴－2(k－1)＝k2－1，整理得k2＋2k－3＝0，解得k1＝－3，k2＝1(舍去)，∴k＝－3

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20．设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．

解：x2－x－2015＝0，∴x2＝x＋2015，x＝x2－2015.又∵x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2016x2－2015＝x1·x12＋2016x2－2015＝x1·(x1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016