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专题04 二项式定理（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）
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这是一份专题04 二项式定理（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册），文件包含专题04二项式定理解析版docx、专题04二项式定理原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
04 二项式定理
知识点1 二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项．
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
知识点2 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
知识点3 两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
知识点4 二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
考点1 二项式展开式问题
【例1】展开式中x项的系数为( )
A．28 B．－28
C．112 D．－112
【总结】求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．
【变式1-1】二项式的展开式的常数项为60，则a的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．±3
【变式1-2】若二项式的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( )
A．6 B．10
C．12 D．15
考点2 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
【例2】(2022·烟台模拟)(1－2)8展开式中x项的系数为( )
A．28 B．－28
C．112 D．－112
【变式2-1】(2022·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则n的展开式中的常数项为______．
考点3 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
【例3】(2022·泰安模拟)(x3－2)6的展开式中x6的系数为( )
A．6 B．10 C．13 D．15
【总结】
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
【变式3-1】(2022·合肥模拟)二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
【变式3-2】(2022·菏泽模拟)已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【变式3-3】(2022·烟台模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．60 B．30
C．15 D．12
【变式3-4】(2021·北京)4的展开式中常数项为________．
【变式3-5】(2022·攀枝花模拟)(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－112 B．－48
C．48 D．112
【变式3-6】6的展开式中，含x4项的系数为( )
A．4 B．6
C．10 D．15
考点4 两个多项式积的展开式问题
【例4】的展开式中x3y3项的系数为( )
A．80 B．160
C．200 D．240
【总结】求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
【变式4-1】(2)·的展开式中的常数项为( )
A．12 B．15
C．20 D．35
【变式4-2】已知(2－mx)的展开式中的常数项为8，则实数m＝( )
A．2 B．－2
C．－3 D．3
【变式4-3】(x2－2x－1)的展开式中的常数项是________．
【变式4-4】(x－1)10的展开式的第6项的系数是( )
A．C B．－C
C．C D．－C
【变式4-5】(2022·邯郸模拟)(x2－x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为( )
A．－9 B．9
C．－21 D．21
【变式4-6】(2022·大连模拟)(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－2，则实数a的值为( )
A．－ B．－1 C．1 D.
考点5 三项展开式问题
【例5】(一题多法)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
【总结】求三项展开式特定项的方法
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．
【变式5-1】(x>0)的展开式中的常数项为____________．
【变式5-2】(x＋y－z)6的展开式中xy2z3的系数是________．
考点6 二项式系数和与各项系数和
【例6】(多选)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
【总结】1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则展开式中：
(1)各项系数之和为f(1)；
(2)a0＋a2＋a4＋…＝；
(3)a1＋a3＋a5＋…＝．
【变式6-1】(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________．
【变式6-2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．
【变式6-3】在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
【变式6-4】(多选)(2022·十堰调研)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
【变式6-5】已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝______，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝______.
【变式6-6】(多选)已知(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，下列命题中正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 022
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D.＋＋＋…＋＝－1
【变式6-7】(多选)已知(x－3)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a8(x－2)8，则下列结论正确的有( )
A．a0＝1
B．a6＝－28
C.＋＋…＋＝－
D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128
【总结】赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
【变式6-8】已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于( )
A．1 B．243
C．121 D．122
【变式6-9】(多选)(2022·济南模拟)在6的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项为160
B．第4项的二项式系数最大
C．第3项的系数最大
D．所有项的系数和为64
【变式6-10】(多选)(2022·邯郸模拟)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是( )
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
考点7 二项式系数的最值问题
【例7】(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为________．
【变式7-1】已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
【变式7-2】(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【变式7-3】在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是( )
A. B．－
C．－28 D．28
考点8 项的系数的最值问题
【例8】已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992．则的二项式系数最大的项为________；的展开式系数最大的项为________．
【总结】二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
【变式8-1】假如的二项展开式中x3项的系数是－84，则的二项展开式中系数最小的项是__________．
【变式8-2】6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
考点9 二项式定理的应用
【例9】设a∈Z，且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1．028≈__________(小数点后保留三位小数)．
【总结】1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
【变式9-1】今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 021天后是( )
A．星期二 B．星期三
C．星期四 D．星期五
【变式9-2】1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是________．
【变式9-3】设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
【变式9-4】利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
【变式9-5】已知n为满足S＝n＋C＋C＋C＋…＋C(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则n的展开式中，系数最大的项为( )
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
【总结】二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【变式9-6】设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是( )
A．－3 B．2
C．10 D．11
【变式9-7】0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
1．二项式的展开式中常数项为－20，则含x4项的系数为( )
A．－6 B．－15
C．6 D．15
2．的展开式中的系数为( )
A．15 B．－15
C．10 D．－10
3．已知的二项展开式的二项式系数和为8，所有项的系数和为－125，则实数b＝( )
A．－10 B．10
C．－12 D．12
4．(x－1)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．45 B．－45
C．15 D．－15
5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b．若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．22 021被9除所得的余数为t，则t＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
7．若(x＋a)2的展开式中x4的系数为3，则a＝( )
A．1 B．
C． D．2
8．若的二项展开式中二项式系数最大项为5 670x2，则a＝____________．
9．(x2＋3x－4)4展开式中含有x3项的系数为______．
10．已知(x＋1)n的展开式二项式系数和为128，则C－C2＋C4＋…＋C(－2)n＝__________．
11．记展开式的偶数项之和为P，则P的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
12．若多项式x2＋x10＝a0＋a1＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a3＝( )
A．56 B．－120
C．－56 D．120
13．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对模m同余，记作a≡b，比如：26≡16．已知n＝C010＋C110·8＋C210·82＋…＋C1010·810，满足n≡p，则p可以是( )
A．23 B．21
C．19 D．17
14． (多选)关于多项式的展开式，下列结论正确的是( )
A．各项系数之和为1
B．各项系数的绝对值之和为212
C．存在常数项
D．x3的系数为40
15．(多选)已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是( )
A．a3＝－360
B．－＝1
C．a1＋a2＋…＋a6＝
D．展开式中系数最大的为a2
16．若＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，则＋＋…＋的值为__________．
04 二项式定理
知识点1 二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项．
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
知识点2 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
知识点3 两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
知识点4 二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
考点1 二项式展开式问题
【例1】展开式中x项的系数为( )
A．28 B．－28
C．112 D．－112
【总结】求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．
【变式1-1】二项式的展开式的常数项为60，则a的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．±3
【变式1-2】若二项式的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( )
A．6 B．10
C．12 D．15
考点2 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
【例2】(2022·烟台模拟)(1－2)8展开式中x项的系数为( )
A．28 B．－28
C．112 D．－112
【变式2-1】(2022·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则n的展开式中的常数项为______．
考点3 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
【例3】(2022·泰安模拟)(x3－2)6的展开式中x6的系数为( )
A．6 B．10 C．13 D．15
【总结】
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
【变式3-1】(2022·合肥模拟)二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
【变式3-2】(2022·菏泽模拟)已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【变式3-3】(2022·烟台模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．60 B．30
C．15 D．12
【变式3-4】(2021·北京)4的展开式中常数项为________．
【变式3-5】(2022·攀枝花模拟)(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－112 B．－48
C．48 D．112
【变式3-6】6的展开式中，含x4项的系数为( )
A．4 B．6
C．10 D．15
考点4 两个多项式积的展开式问题
【例4】的展开式中x3y3项的系数为( )
A．80 B．160
C．200 D．240
【总结】求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
【变式4-1】(2)·的展开式中的常数项为( )
A．12 B．15
C．20 D．35
【变式4-2】已知(2－mx)的展开式中的常数项为8，则实数m＝( )
A．2 B．－2
C．－3 D．3
【变式4-3】(x2－2x－1)的展开式中的常数项是________．
【变式4-4】(x－1)10的展开式的第6项的系数是( )
A．C B．－C
C．C D．－C
【变式4-5】(2022·邯郸模拟)(x2－x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为( )
A．－9 B．9
C．－21 D．21
【变式4-6】(2022·大连模拟)(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－2，则实数a的值为( )
A．－ B．－1 C．1 D.
考点5 三项展开式问题
【例5】(一题多法)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
【总结】求三项展开式特定项的方法
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．
【变式5-1】(x>0)的展开式中的常数项为____________．
【变式5-2】(x＋y－z)6的展开式中xy2z3的系数是________．
考点6 二项式系数和与各项系数和
【例6】(多选)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
【总结】1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则展开式中：
(1)各项系数之和为f(1)；
(2)a0＋a2＋a4＋…＝；
(3)a1＋a3＋a5＋…＝．
【变式6-1】(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________．
【变式6-2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．
【变式6-3】在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
【变式6-4】(多选)(2022·十堰调研)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
【变式6-5】已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝______，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝______.
【变式6-6】(多选)已知(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，下列命题中正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 022
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D.＋＋＋…＋＝－1
【变式6-7】(多选)已知(x－3)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a8(x－2)8，则下列结论正确的有( )
A．a0＝1
B．a6＝－28
C.＋＋…＋＝－
D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128
【总结】赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
【变式6-8】已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于( )
A．1 B．243
C．121 D．122
【变式6-9】(多选)(2022·济南模拟)在6的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项为160
B．第4项的二项式系数最大
C．第3项的系数最大
D．所有项的系数和为64
【变式6-10】(多选)(2022·邯郸模拟)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是( )
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
考点7 二项式系数的最值问题
【例7】(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为________．
【变式7-1】已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
【变式7-2】(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【变式7-3】在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是( )
A. B．－
C．－28 D．28
考点8 项的系数的最值问题
【例8】已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992．则的二项式系数最大的项为________；的展开式系数最大的项为________．
【总结】二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
【变式8-1】假如的二项展开式中x3项的系数是－84，则的二项展开式中系数最小的项是__________．
【变式8-2】6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
考点9 二项式定理的应用
【例9】设a∈Z，且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1．028≈__________(小数点后保留三位小数)．
【总结】1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
【变式9-1】今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 021天后是( )
A．星期二 B．星期三
C．星期四 D．星期五
【变式9-2】1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是________．
【变式9-3】设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
【变式9-4】利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
【变式9-5】已知n为满足S＝n＋C＋C＋C＋…＋C(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则n的展开式中，系数最大的项为( )
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
【总结】二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【变式9-6】设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是( )
A．－3 B．2
C．10 D．11
【变式9-7】0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
1．二项式的展开式中常数项为－20，则含x4项的系数为( )
A．－6 B．－15
C．6 D．15
2．的展开式中的系数为( )
A．15 B．－15
C．10 D．－10
3．已知的二项展开式的二项式系数和为8，所有项的系数和为－125，则实数b＝( )
A．－10 B．10
C．－12 D．12
4．(x－1)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．45 B．－45
C．15 D．－15
5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b．若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．22 021被9除所得的余数为t，则t＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
7．若(x＋a)2的展开式中x4的系数为3，则a＝( )
A．1 B．
C． D．2
8．若的二项展开式中二项式系数最大项为5 670x2，则a＝____________．
9．(x2＋3x－4)4展开式中含有x3项的系数为______．
10．已知(x＋1)n的展开式二项式系数和为128，则C－C2＋C4＋…＋C(－2)n＝__________．
11．记展开式的偶数项之和为P，则P的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
12．若多项式x2＋x10＝a0＋a1＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a3＝( )
A．56 B．－120
C．－56 D．120
13．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对模m同余，记作a≡b，比如：26≡16．已知n＝C010＋C110·8＋C210·82＋…＋C1010·810，满足n≡p，则p可以是( )
A．23 B．21
C．19 D．17
14． (多选)关于多项式的展开式，下列结论正确的是( )
A．各项系数之和为1
B．各项系数的绝对值之和为212
C．存在常数项
D．x3的系数为40
15．(多选)已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是( )
A．a3＝－360
B．－＝1
C．a1＋a2＋…＋a6＝
D．展开式中系数最大的为a2
16．若＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，则＋＋…＋的值为__________．
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