专题01 平面向量的概念与运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

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专题01 平面向量的概念与运算





知识点1 向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模
模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线.
【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．
知识点2 向量的线性运算
1、向量的加法运算
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
（2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，
向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC

（3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和

【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝.
【注意】①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；②平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
（4）向量加法的运算律
结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2、向量的减法运算
（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
②(－a)＝a；
③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．
（2）向量的减法
①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b，
如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
3、向量的数乘运算
（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，
它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.
（3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点3 向量共线
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
【注意】
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
知识点4 向量的数量积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，
则（）叫做向量与的夹角．
（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．
（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2、向量的数量积的定义
（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；
（2）记法：向量与的数量积记作，即；
零向量与任一向量的数量积为0；
3、向量在上的投影向量
（1）设，是两个非零向量，，，
考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．

（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．

（3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积
4、平面向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与 (或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）cos θ＝；
（5）
5、平面向量数量积的运算律
（1）；
（2）(λ为实数)；
（3）；
（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；
两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．
（5）平面向量数量积运算的常用公式


考点1 向量的相关概念辨析

【例1】（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；
对于②，若，，则，②对；
对于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；
对于④，取，则、不一定共线，④错；
对于⑤，若、、、是不共线的四点，
当时，则且，此时，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，
所以，若、、、是不共线的四点，
则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.故选：A.


【变式1-1】（2023·江苏·高一专题练习）设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）．
A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量
【答案】B
【解析】是正的中心，
向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
是正三角形的中心，
到三个顶点的距离相等，即，
但是向量，，它们不是相同的向量，
也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B.


【变式1-2】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）下列五个结论：
①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；
②向量，则与的方向必不相同；
③，则；
④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线；
⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．
其中正确的有（ ）
A．①⑤ B．④ C．⑤ D．②④
【答案】C
【解析】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；
，但与的方向可以相同，故②错；
向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；
单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；
如图，作出这两个向量，
则方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量方向相反，
所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.


【变式1-3】（2023春·安徽·高一颍上第一中学校考阶段练习）（多选）下列说法错误的为（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则.
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
【答案】ABCD
【解析】A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故错误；
B：，不一定有，故错误；
C：直线与可能重合，故错误；
D：若与平行，则A，B，C，D四点不共线，故错误.故选：ABCD


【变式1-4】（2023·高一课时练习）四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是________．
①；②；③；④．

【答案】①②④
【解析】对于①，四边形，，都是全等的菱形，
，即，①正确；
对于②，，，则与反向，，②正确；
对于③，若，则，，
若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示，

此时，，即，③错误；
对于④，三点共线，方向相反，，④正确.
故答案为：①②④.


考点2 向量的加减数乘混合运算

【例2】（2023秋·辽宁·高一校联考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，
并且四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，即 ，
对于A， ，正确；
对于B， ，正确；
对于C， ，错误；
对于D， ，正确；故选：C.


【变式2-1】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图所示，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，可得，
可得
且，
所以.故选：B.


【变式2-2】（2023春·安徽·高一铜陵一中校考阶段练习）（多选）下列四式可以化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误．故选：ABC


【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）若，则________.
【答案】
【解析】将题设等式展开并化简得：，则.
故答案为：


【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）化简：
（1） （2）；
（3） （4）；
（5） （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.


考点3 用已知向量表示其他向量

【例3】（2023春·全国·高一专题练习）在中，，，，M为BC的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
又因为
，
，故选:A.


【变式3-1】（2023春·全国·高一专题练习）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，，故.故选：A．


【变式3-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，，，试用向量表示向量，，.

【答案】，，
【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，
所以.


【变式3-3】（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
又，，，
又，，.故选：B.


考点4 向量共线证明三点共线

【例4】（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线
C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线
【答案】B
【解析】，，
，
，，
由平面向量共线定理可知，与为共线向量，
又与有公共点，，，三点共线，故选：B．


【变式4-1】（湖北省部分学校2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题）若A，B，C是三个互不相同的点，则“”是“A，B，C三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为A，B，C是三个互不相同的点，
所以均不为零向量，
若，则A，B，C三点共线，反之亦成立，
故“”是“A，B，C三点共线”的充要条件．故选：C


【变式4-2】（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：由得，
故，则，故三点共线，所以充分性成立，
必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，
所以，所以，所以必要性成立.
综上所述：”是“三点共线”的充要条件.故选：C


【变式4-3】（2022秋·广西梧州·高二校考期中）设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【解析】由题知由于是空间中两个不共线的向量,
且有,
所以,
因为三点共线,所以,
所以存在实数,使得,
所以,
所以.故选:C


【变式4-4】（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.

（1）若，试用，和实数表示；
（2）试用，表示；
（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【解析】（1）由题意，所以，
①
（2）设，由，，
②
由①、②得，，
所以，解得，所以；
（3）由，得，所以，
所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.


考点5 利用向量共线求参数

【例5】（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为与共线，则存在，使得，即，
因为向量、不共线，则，
整理可得，即，解得或.故选：C.


【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
【答案】A
【解析】因为与共线，可设，即，
因为，不共线，所以所以.故选:A.


【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为与平行，
所以存在实数，使得，即，
又为不共线，所以，解得.故选：B.


【变式5-3】（2023·高一课时练习）已知两个非零向量，不共线，若，则实数等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以存在实数，使得，
即，解得.故选：C


【变式5-4】（2022春·安徽阜阳·高一统考期末）已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（ ）
A．1 B．— C．1或－ D．－1或－
【答案】B
【解析】因为与共线，所以，解得或－．
当时与同向，不符合题意，
当时与反向，符合题意．故选：B．


考点6 向量数量积的运算

【例6】（2023春·全国·高一专题练习）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`由，且与的夹角为，
所以.故选：B.


【变式6-1】（2023·高一单元测试）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等腰△ABC在边上的高为，
因为，所以，
所以,所以，
所以
.故选:B.


【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】在边长为2的等边中, BD为中线，则

故选：A


【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为P是上一点，故可设，
因为M是边上的中点，所以，
所以，
，
又，所以，故，
所以，
所以，
因为，，，所以，
所以，故选：D.


【变式6-4】（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（ ）

A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点，
所以,,
所以
因为是边长为4的等边三角形，为中线，
所以，，
所以，
所以.故选：A.


考点7 向量垂直的应用
【例7】（2022春·辽宁·高一校联考期末）已知非零平面向量、，“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】对于非零平面向量、，.
因此，“”是“”的充要条件.故选：C.


【变式7-1】（2023·全国·高一专题练习）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
又向量与的夹角为且为单位向量，
∴，解得.故选：D


【变式7-2】（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知是空间中两两不共线的非零向量，则“，”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，
从而，故；
若，则，
从而，故.故选：C.


【变式7-3】（2022春·四川遂宁·高一遂宁中学校考期末）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【解析】由,得可知，四边形为平行四边形；
又由可知，四边形对角线互相垂直，
故四边形为菱形．故选：D．


考点8 向量夹角相关计算

【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】、
所以
所以向量与的夹角为，故选：C


【变式8-1】（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以
所以
又，，，,
所以，故选：C．


【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）若且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以
又因为，所以，及，
所以
所以与的夹角表示为，
则
所以与的夹角为.故选：A.


【变式8-2】（2023·高一单元测试）已知空间向量满足 ， ， ， ，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则，
即，从而，
解得：.故选：D


【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，是单位向量，若，则，的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，是单位向量，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，即，的夹角是.故选：B


【变式8-4】（2022春·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，是夹角为的两个单位向量，则
则
，
则，
所以，
又因为，即，的夹角为.故选：C.


考点9 向量模长相关计算
【例9】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知平面向量，满足，，，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因为，满足，，，
所以，，
所以，故选：A


【变式9-1】（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．3 B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为，所以.
因为，为夹角为60°的两个单位向量，
所以，故选：C


【变式9-2】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可设，由可知，
所以，所以，
∵，∴，即.故选：C.


【变式9-3】（2022春·江苏盐城·高一统考期末）在中，，，点满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
则当时，，.故选：A.


考点10 向量的投影向量

【例10】（2023春·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】在方向上的投影向量为，故选：D


【变式10-1】（2023·全国·高一专题练习）已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（ ）
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【答案】B
【解析】依题意，向量在向量方向上的投影向量的长度为.故选：B


【变式10-2】（2023·全国·高一专题练习）设非零向量，满足，，则向量在方向上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的夹角为，
由得.
所以向量在方向上的投影向量为.故选：A


【变式10-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，求在上的投影向量．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以在上的投影向量为.


【变式10-4】（2023·全国·高一专题练习）设为的外接圆圆心，若，则在上投影向量的模为_________
【答案】
【解析】由得,所以为的中点，
又因为为的外接圆圆心，
所以, ,所以,
在中，,,
所以在上的投影为,
所以在上投影向量为,
所以在上投影向量的模为.



1．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）

A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．故选：A.
2．（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得的点为的费马点.已知点为等边的费马点，且，则（ ）
A．-12 B．-36 C． D．-18
【答案】D
【解析】设，则，因为为等边三角形，
所以，，
同理：，，
又，所以，
则，所以点为的中心，
，，且，
则，故选：D
3．（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）已知向量的夹角为，且对任意实数恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】；
，
由，则，
整理可得，
设，则，即，解得.故选：B.
4．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）设，夹角为，则等于（ ）
A．37 B．13 C． D．
【答案】D
【解析】∵．夹角为，
所以，故选：D．
5．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，表示河水自西向东的流速，表示某人在静水中游泳的速度，
则即表示他的实际前进方向，
由题意可知，，
则在中，，故，
即他的实际前进方向与水流方向的夹角为，故选：B
6．（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为，，
所以，所以为等边三角形．故选：A
7．（2023春·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）设向量的夹角的余弦值为，且，则（  ）
A．15 B．11 C．12 D．9
【答案】B
【解析】由题意，，
.故选：B.
8．（2023春·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）下列不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A不符合题意；
对于B，，故B不符合题意；
对于C，，故C不符合题意；
对于D，，故D符合题意.故选：D.
9．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）下列结论是否正确有（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
【答案】BD
【解析】对于A，因为与的方向可能不同，故错误；
对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；
对于C，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；
对于D，假设点与点重合，则向量，与已知矛盾，
所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确；故选:BD
10．（2023·全国·高一专题练习）给出下列命题正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等
B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则
D．对于任意向量，必有
【答案】BD
【解析】对于A：向量相等需要满足两个条件：
长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；
对于B：根据相反向量的定义可知B正确；
对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；
对于D：根据三角形三边关系知正确；故选：BD.
11．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知与的夹角为，若，则k的值为________．
【答案】
【解析】，则，
则.故答案为：.
12．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，，若，则__________．

【答案】
【解析】
又，.
∴．
13．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）已知向量满足，且则与的夹角为 __________.
【答案】
【解析】由，得，
所以，所以，
又因为，所以与的夹角为.
14．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）在中，，，动点在内且满足，则的值为______．
【答案】
【解析】由得，即.
因为,又，，
所以
.
15．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）设，是两个不共线的向量，如果，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定的值，使和共线；
（3）若与不共线，试求的取值范围.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）；（3）
【解析】（1）证明：因为，
所以与共线.
因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.
（2）因为与共线，
所以存在实数，使.
因为，不共线，所以，所以.
（3）假设与共线，则存在实数m，使.
因为，不共线，所以，所以.
因为与不共线，所以.
16．（2022·全国·高一专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：

（1）在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
（2）在模为的向量中，相等的向量有多少对？
【答案】（1）18对；（2）4对
【解析】（1）在模为1的向量中，相等的向量有:
①，共有6对；
②，共有6对；
③，共有3对；
④，共有3对；
所以模为1的向量中，相等的向量共有18对.
（2）在模为的向量中，相等的向量有:.共有4对.
17．（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量满足，且.
（1）求；
（2）求与的夹角.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），故，
.
（2），设与的夹角为，，
则，，故.
18．（2023春·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校考阶段练习）已知的夹角为，，当实数为何值时，
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若，得，即，即解得，．
（2）若，则，
即，得，
，解得．
19．（2023·高一课前预习）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）；
（4）.
20．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．

（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
因为，所以，
因为三点共线，所以①
又，所以②
由①②可得，
（2）设，

所以，解得
所以.

又，所以，，即