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高二数学下学期期中模拟卷02-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲(苏教版2019选择性必修第二册)
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2022-2023学年高二数学下学期期中模拟卷02一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,若,则实数的值为( )A. B.1或 C.或3 D.3【答案】C【解析】由题意可知,,因为,所以,所以,所以或3.故选C.2.已知平面的一个法向量为,,则直线AB与平面的位置关系为( )A. B. C.相交但不垂直 D.【答案】D【解析】根据已知条件容易得到:,所以;故直线AB与平面垂直.故选D. 3.已知,,且,则向量与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,,所以,∴,∴,∴,又∵,∴与的夹角为.故选B.4.已知,,,若共面,则实数( )A. B.3 C.1 D.【答案】B【解析】因为向量 共面,所以存在实数使得, 即, 所以; 解得.故选B.5.若,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵,∴,化简可得,则.故选B.6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得:=6,安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,可得:种.故选D.7.书架的第层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书,从书架上任取本书,有( )种不同取法?从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有( )种不同取法?A 9,20 B.20,9 C.9,24 D.24,9【答案】C【解析】从书架上任取本书,有种不同取法.从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有种不同取法.故选C.8.2020年4月30日,我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线,为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播,现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员,派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测,每个路段至少安排1名技术人员,则不同的安排方法共有( )A.72 B.36 C.48 D.54【答案】B【解析】因为将4名技术人员,派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测,每个路段至少安排1名技术人员,所以先从这4人中选出2人作为一个元素看成整体,再把它同另外两人在三个位置全排列,则共有种不同的安排方法.故选B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知空间向量,,则下列正确的是( )A. B. C. D.,【答案】AB【解析】向量,,,则A正确;,则B正确;,则C错误;.则D错误.故选AB.10.已知为直线l的方向向量,,分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列选项中,正确的是( )A.∥⇔α∥β B.⊥⇔α⊥βC.∥⇔l∥α D.⊥⇔l∥α 【答案】AB【解析】为直线l的方向向量,,分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),则∥⇔α∥β,⊥⇔α⊥β,∥⇔l⊥α,⊥⇔l∥α或l⊂α,因此AB正确.故选AB.11.下列各式中,不等于的是( )A. B. C. D.【答案】BC【解析】对A,,A正确;对B, ,B错误对C, ,C错误;对D,,D正确.故选BC.12.设,则下列说法正确的是( )A. B.C.展开式中二项式系数最大的项是第5项 D.【答案】BD【解析】对于A,令得,故A不正确;对于B,令得,而由A知:,因此,故B正确;对于C,因为的展开式中二项式系数最大的项是第6项,故C不正确;对于D,因为的展开式中,,所以,,因此,,所以,故D正确.故选BD. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若,则x+y+z= ▲ .【答案】6【解析】在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,,又,∴,∴,∴x+y+z=6.故答案为6.14.在的展开式中,的系数为 ▲ .(用数字作答)【答案】60【解析】因为,所以的系数为.15.从班委会 5 名成员中选出 3 名, 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 ▲ 种.(用数字作答)【答案】36【解析】先从班委会除了甲、乙的另外3名成员中选出1名担任文娱委员有,再从剩余的4人中选出两人分别担任学习委员和体育委员有,共有种选法.16.在棱长为2的正方体中,,分别为棱的中点,为棱上的一点,且,则点到平面的距离为 ▲ .【答案】 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知7A=20A,x∈N*.(1)求x的值;(2)求C+C的值.【解析】 (1) 由已知得7×=20×,化简得x2-15x+36=0,解得x=3或x=12.又因为所以x=3.(2) 将x=3代入得C+C=C+C=C=1 330. 18.(12分)某地区发生了重大交通事故,某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员,其中这9名医疗专家中有4名是外科专家.(要求:列出排列组合算式,并写出详细过程)(1)抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?【解析】(1)第一步从4名外科专家中抽取2名,第二步从其他5名专家中抽取2名,由分步乘法原理可得方法数为:;(2)至少有2名外科专家可分为三类:2名外科专家4名其他专家,或者3名外科专家3名其他专家,或者4名外科专家2名其他专家,所以方法数为;(3)至多有2名外科专家可分两类:2名外科专家4名其他专家,或者1名外科专家5名其他专家,方法数为:.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,PA=2AD=4,且PC=.点E在PC上.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)若E为PC的中点,求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD,PA=2AD=4,PC=,所以,,即ABCD是正方形,所以,而PA⊥底面ABCD,所以,又,所以平面PAC,而平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(2)由题可知、、两两垂直,建系如图,,0,,,2,,,0,,,2,,,1,,,,,,1,,,2,,设平面的一个法向量为,则,,即,取,0,, 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 20.(12分)在二项式的展开式中;(1)若,求常数项;(2)若第4项的系数与第7项的系数比为,求:①二项展开式中的各项的二项式系数之和;②二项展开式中的各项的系数之和.【解析】(1)若,则,,…,9令 ∴ ∴常数次为 ...........3分(2),,…,∵ ∴ ...........6分 ① ...........9分②令∴各项系数之和为 ...........12分 21.(12分)已知三棱柱的侧棱垂直于底面,,,分别是棱的中点.(1)求证:平面;(2)求点到直线的距离.【解析】(1)∵三棱柱的侧棱垂直于底面,,∴以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,∵,分别是棱的中点,∴,,∵,,∴,,∵,平面,平面,∴平面.(2)∵,∴,,∴,∴,故点到直线的距离为. 22.(12分)为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E(ξ),方差D(ξ).【解析】(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元,两人都付0元的概率为P1=×=,两人都付40元的概率为P2=×=,两人都付80元的概率为P3=×=.则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=.(2)ξ可能取值为0,40,80,120,160,则P(ξ=0)=×=,P(ξ=40)=×+×=,P(ξ=80)=×+×+×=,P(ξ=120)=×+×=,P(ξ=160)=×=.所以,随机变量ξ的分布列为ξ04080120160P∴E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80,D(ξ)=(0-80)2×+(40-80)2×+(80-80)2×+(120-80)2×+(160-80)2×=.
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