专题04 二项式定理-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

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专题04 二项式定理 知识点1 二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C增减性与最大值增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 考点1   二项式定理的正用、逆用 【例1】设，化简（    ）A． B． C． D． 【解后感悟】(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．【变式1-1】二项式的展开式中共有（    ）项.A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】化简的结果为（    ）A．x4 B． C． D． 【变式1-3】化简（    ）A． B． C． D．  考点2   二项式系数与项的系数问题 【例2】若的展开式中的系数与的系数相等，则______． 【解后感悟】1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280．【变式2-1】在的展开式中，第四项为（    ）A．160 B． C． D． 【变式2-2】二项式的展开式中第10项是常数项,则常数项的值是______(用数字作答). 【变式2-3】若二项式展开式中各项系数之和为，则___________.（用数字作答）  考点3   求二项展开式中的特定项 【例3】（2023·河南洛阳·校联考三模）的展开式中常数项为______（用数字作答）． 【解后感悟】1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；(2)求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）的展开式中的系数为（    ）A．－80 B．－100 C．100 D．80 【变式3-2】（2023·北京东城·统考一模）在的展开式中，的系数为60，则实数______. 【变式3-3】（2023·江苏·二模）二项式的展开式的第项为常数项，则 __________．  考点4   二项式系数和问题(赋值法) 【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若，则_________. 【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　　【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若，则（    ）A．45 B．27 C．15 D．3 【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知，则__________． 【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：，则______.   考点5   二项式系数性质的应用 【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（       ）A．B．各项二项式系数和为128C．二项式系数最大项有2项D．第4项与第5项系数相等且最大 【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项．【变式5-1】2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ）A．32 B． C．16 D． 【变式5-2】（2023春·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是_______________． 【变式5-3】（山东学情2022-2023学年高二下学期3月联合考试数学试题B）已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．(1)求展开式中的有理项；(2)求展开式中系数最大的项．  考点6   二项式定理的实际应用 【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数． 【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（    ）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）的个位数字为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9  考点7   几个多项式和展开式中特定项（系数）问题 【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　)A．25          B．30         C．35        D．40 【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．【变式7-1】的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【变式7-2】已知， ，展开式中，含项的系数为19，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为______. 【变式7-3】设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1·x+a2·x2+…+a50·x50,则a3等于_____.（用二项式系数作答）  考点8   几个多项式积展开式中特定项（系数）问题 【例8】1．已知，则的值为（    ）A．10 B． C．30 D． 【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在的展开式中，的系数是（    ）A．60 B．35 C．155 D．90 【变式8-2】的展开式中的系数为（    ）A． B． C．5 D．25 【变式8-3】已知的展开式中含项的系数为，则______. 考点9   三项式展开式中特定项（系数）问题 【例9】若的展开式中的系数为3，则__________. 【解后感悟】(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法【变式9-1】的展开式中的系数为（    ）A．5 B． C．15 D． 【变式9-2】的展开式中含项的系数为__________. 【变式9-3】展开式中的系数为________（用数字作答）. 1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若，则 （    ）A． B．0 C．1 D．2 2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设，且，若能被17整除，则等于（    ）A．0 B．1 C．13 D．16 3．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中的常数项是（    ）A． B．15 C．20 D． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知多项式，则（    ）A．11 B．74 C．86 D． 5．（2023·高二单元测试）在（为正整数）的展开式中，的一次项的系数为（    ）.A． B． C． D． 6．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）在展开式中，含项的系数是（    ）A． B．5 C． D．1 7．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，共有多少项？（    ）A．45 B．36 C．28 D．21 8．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023·四川南充·统考二模）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（    ）A． B． C． D． 10．（2023·全国·高二专题练习）将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（    ）A． B． C． D． 11．（2023·山西·校联考模拟预测）在的展开式中，下列结论正确的是（    ）A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256C．常数项为84 D．有理项有2项 12．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中，下列命题正确的是（    ）A．系数最大的项的系数为8 B．所有项的系数和为64C．含的项的系数为12 D．有理项共有4项 13．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）若，则（    ）A． B．C． D． 14．（2023春·江苏盐城·高二江苏省滨海中学校考期末）关于的展开式中下列结论正确的有（    ）A．不含项 B．x3项的系数为6 C．常数项为﹣1 D．各项的系数和为0 15．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）若，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D． 16．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）化简：_______．（结果用表示） 17．（上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2023届高三下学期3月联考数学试题）二项式的展开式中，含的项的系数为___． 18．（2023春·江西·高二校联考开学考试）的二项式展开式中的系数为20，则其中系数最大的项是__________. 19．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）二项式的展开式中含的系数为______． 20．（2022秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知的展开式各项系数之和为，则展开式中第五项的二项式系数是______，展开式中的系数是______.