统考版高中数学（文）复习8-6立体几何中的综合问题学案

这是一份统考版高中数学（文）复习8-6立体几何中的综合问题学案，共10页。
考点一 线面位置关系与体积计算[综合性]
[例1] 如图，在四棱锥P­ABCD中，△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面PAD⊥平面ABCD，M是PC的三等分点(靠近C点处)．
(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求三棱锥D­MAB的体积．
反思感悟 (1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．
(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．
(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点、比例关系的转化等.
【对点训练】
已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．
(1)求证：EM∥平面ADF；
(2)若∠ABE＝60°，求四面体M­ACE的体积．
考点二 平面图形的翻折问题[综合性]
[例2] 图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
图1 图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
反思感悟 解决平面图形翻折问题的步骤
【对点训练】
如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P­EBCD，点M为棱PB的中点．
图1 图2
(1)求证：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M­BCE的体积．
考点三 线面位置关系中的存在性问题[创新性]
[例3] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
反思感悟 存在性问题的一般解题方法
先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.
【对点训练】
如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
第六节 立体几何中的综合问题
提升关键能力
考点一
例1 解析：(1)证明：由题易得BD＝AD＝42，
又AB＝8，
∴AB2＝AD2＋BD2，
∴BD⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.
又∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)过点P作PO⊥AD交AD于点O(图略)，∵平面PAD⊥平面DAB，平面PAD∩平面DAB＝AD，∴PO⊥平面DAB，∴点P到平面DAB的距离为PO＝22.
∴VD­MAB＝VM­DAB＝13S△DAB·13PO＝13×12×(42)2×13×22＝3229.
对点训练
解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD.
∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，
∴BC∥平面ADF.
∵四边形ABEF是菱形，
∴BE∥AF.
∵BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，
∴BE∥平面ADF.
∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF.
∵EM⊂平面BCE，
∴EM∥平面ADF.
(2)取AB中点P，连接PE.
∵在菱形ABEF中，∠ABE＝60°，
∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB.
∵AB＝2，∴EP＝3.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴EP⊥平面ABCD，
∴EP为四面体E­ACM的高．
∴VM­ACE＝VE­ACM＝13S△ACM·EP＝13×12×1×2×3＝33.
考点二
例2 解析：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，又CG⊂平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，又DE∩EM＝E，故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，
故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.
对点训练
解析：(1)证明：在题图1中，∵BE＝12AB＝CD，且BE∥CD，∴四边形EBCD是平行四边形，
如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，∴O是BD的中点，又点M是棱PB的中点，
∴OM∥PD，∵PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，∴PD∥平面MCE.
(2)∵EBCD是平行四边形，∴DE＝BC，
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，∴AD＝DE，
∵∠BAD＝45°，∴AD⊥DE，
如图，PD⊥DE，
又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，
∴PD⊥平面EBCD.
由(1)知OM∥PD，∴OM⊥平面EBCD，
在等腰直角三角形ADE中，∵AE＝2，
∴AD＝DE＝2，
∴OM＝12PD＝12AD＝22，
∵S△BCE＝S△ADE＝1，
∴三棱锥M­BCE的体积VM­BCE＝13S△BCE·OM＝26.
考点三
例3 解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，
AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，
则FG∥AB，且FG＝12AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝12AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.
因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
对点训练
解析：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.
又PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD.
因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.
解析：(2)连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，延长GO交AD于点M，连接EM，则PA∥平面MEG.
证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，
所以EO∥PA.
因为EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，所以PA∥平面MEG.
因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝23，所以AM的长为23.