统考版高中数学（文）复习5-3平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

这是一份统考版高中数学（文）复习5-3平面向量的数量积与平面向量应用举例学案，共19页。学案主要包含了必记5个知识点，必明5个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
·考向预测·
考情分析：平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过平面向量数量积的计算及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记5个知识点
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则________就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b________；若θ＝180°，则a与b________；若θ＝90°，则a与b________．
[提醒] 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
2．平面向量的数量积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔________．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝________或者|a|＝________．
(4)cs θ＝________．
(5)a·b≤________．
4．数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝________＝________．
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
5．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
二、必明5个常用结论
1．求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；
(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b+b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2+y2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)两个向量的数量积是一个向量．( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．( )
(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
(二)教材改编
2．[必修4·P107例6改编]设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( )
A．－4 B．4 C．327 D．－327
3．[必修4·P108习题T6改编]已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
(三)易错易混
4．(不理解向量的几何意义致误)已知AB＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量AB在CD方向上的投影为________；向量CD在AB方向上的投影为________．
5．(向量数量积的性质不熟致误)若平面四边形ABCD满足AB+CD＝0，(AB-AD)·AC＝0，则该四边形一定是________．
(四)走进高考
6．[2022·全国乙卷]已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），则|a－b|＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 平面向量数量积的运算 [基础性]
1．[2023·河南高三月考]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则(a－3b)·(2a＋b)＝( )
A．－8 B．－5 C．2 D．19
2．[2023·定远县育才学校高三开学考试]正四面体ABCD棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为( )
A．a2 B．12a2 C．14a2 D．34a2
3．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为( )
A．55 B．－55 C．－255 D．－355
4．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝12(AB+AC)，则|PD|＝________；PB·PD＝________．
反思感悟 计算向量数量积的三个角度
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cs θ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.
考点二 平面向量数量积的应用 [综合性]
角度1 平面向量的模
[例1] (1)[2023·苏州中学高三月考]已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )
A．12 B．1 C．2 D．2
(2)[2023·福建南平市监测]已知单位向量e1，e2的夹角为2π3，则|e1－λe2|的最小值为( )
A．22 B．12 C．32 D．34
反思感悟
1．求向量模长的方法
利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a；
(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b+b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝ x2+y2.
2．求向量模的最值(范围)的方法
(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；
(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；
(3)利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(取值范围)．
角度2 平面向量的夹角
[例2] (1)[2020·全国卷Ⅲ]已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs 〈a，a＋b〉＝( )
A．－3135 B．－1935 C．1735 D．1935
(2)[2022·山西省八校高三联考]已知向量a＝(－1，2)，单位向量b满足b·(a＋5b)＝52，则向量a，b的夹角θ为________．
听课笔记：
反思感悟 求向量夹角问题的方法
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cs θ＝a·bab求得．
(2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b(x2，y2)，则cs 〈a，b〉＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22 ，〈a，b〉∈[0，π].
(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．
角度3 平面向量的垂直
[例3] (1)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与b垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
听课笔记：
反思感悟 有关平面向量垂直的两类题型
【对点训练】
1．[2023·合肥市第六中学高三模拟]若单位向量a，b满足(a－2b)·(a＋b)＝－12，则|a－b|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．233
2．[2023·河北武强中学高三月考]已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)·b＝0，则a与b的夹角为________．
3．[2023·四川遂宁市高三模拟]已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，且kb－a与a垂直，则k＝________．
考点三 平面向量的综合应用 [综合性]
角度1 平面向量与三角函数
[例4] [2023·湖北高三月考]已知向量a＝(3sin x，cs x)，b＝(cs x，cs x)．
(1)若a∥b，且x∈(－π，0)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝2a·b－1，且fx2＝13，求sin 2x-π6的值．
听课笔记：
反思感悟 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
角度2 平面向量与解三角形
[例5] 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sin B，2－cs 2B)，n＝2sin2π4+B2，-1，m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，b＝1，求c的值．
听课笔记：
反思感悟 本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决．第(2)小题突出了余弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注重了分类讨论思想的考查．
【对点训练】
1．[2022·河北武强中学高三月考]已知向量a＝(csα，3)，b＝(sin α，－4)，a∥b，则3sinα+csα2csα-3sinα的值是( )
A．－12 B．－2
C．－43 D．12
2．[2023·河南洛阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a－2b)sin A＝(c＋b)(sin C－sin B)，设D是AB的中点，若CD＝1，则△ABC面积的最大值是( )
A．2－1 B．2＋1
C．3－22 D．3＋22
3．[2023·福建泉州模拟]已知函数 f(x)＝d·e，其中d＝(2cs x，－3sin 2x)，e＝(cs x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
微专题23 平面向量与三角形的“四心” 逻辑推理
三角形的“四心”：
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝a2sinA.
(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.
(4)O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.
类型1 平面向量与三角形的“重心”问题
[例1] [2023·山东莱州一中高三开学考试]O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB+AC)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．垂心
C．内心 D．重心
解析：令D为BC的中点，
则OP＝OA＋λ(AB+AC)＝OA＋2λAD，
于是有AP＝2λAD，
∴点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心．
答案：D
类型2 平面向量与三角形的“内心”问题
[例2] 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cs A＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A．1063 B．1463
C．43 D．62
解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cs A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则12bc sin A＝12(a＋b＋c)r，解得r＝263，
所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝1463.
答案：B
类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题
[例3] 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(ABABcsB+ACACcsC)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
解析：因为OP＝OA＋λ(ABABcsB+ACACcsC)，
所以AP＝OP-OA＝λ(ABABcsB+ACACcsC)，
所以BC·AP＝BC·λ(ABABcsB+ACACcsC)＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，所以BC⊥AP，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
答案：B
类型4 平面向量与三角形的“外心”问题
[例4] 已知在△ABC中，AB＝1，BC＝6，AC＝2，点O为△ABC的外心，若AO＝xAB＋yAC，则有序实数对(x，y)为( )
A．45，35 B．35，45
C．-45，35 D．-35，45
解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则OM⊥AB，ON⊥AC，OM＝AM-AO＝12AB－(xAB＋yAC)＝12-xAB－yAC，ON＝AN-AO＝12AC－(xAB＋yAC)＝12-yAC－xAB.
由OM⊥AB，得12-xAB2－yAC·AB＝0， ①
由ON⊥AC，得12-yAC2－xAC·AB＝0， ②
又因为 BC2＝(AC-AB)2＝AC2－2AC·AB+AB2，所以AC·AB＝AC2+AB2-BC22＝－12， ③
把③代入①、②得1-2x+y=0，4+x-8y=0，
解得x＝45，y＝35.
故实数对(x，y)为45，35.
答案：A
类型5 平面向量与三角形的“四心”问题
[例5] 已知向量OP1 ， OP2， OP3满足条件OP1+ OP2+OP3＝0，|OP1|＝| OP2|＝|OP3|＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．
证明：由已知条件可得OP1+ OP2＝OP3，两边平方，得OP1·OP2＝－12.
同理 OP2·OP3＝OP3·OP1＝－12.
即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，
∴|P1P2|＝|P2P3|＝|P3P1|＝3.
从而△P1P2P3是正三角形．
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
积累必备知识
一、
1．(1)∠AOB (3)同向 反向 垂直
2．|a||b|cs θ |a|cs θ |b|cs θ |b|cs θ
3．(2)a·b＝0 (3)|a|2 a·a
(4)a·bab (5)|a||b|
4．(2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c
5．x1x2＋y1y2 x12+y12
x1x2+y1y2x12+y12x22+y22 x1x2＋y1y2＝0
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
2．解析：因为a·b＝5×(－6)－7t＝－2，所以t＝－4.
答案：A
3．解析：cs θ＝a·bab＝-632×6＝－32，又0≤θ≤π，则θ＝5π6.
答案：D
4．解析：由点C(2，0)，D(3，－1)，得CD＝(1，－1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cs 〈AB，CD〉＝AB·CDCD＝－322，向量CD在AB方向上的投影为|CD|cs 〈AB，CD〉＝AB·CDAB＝－355.
答案：－322 －355
5．解析：由四边形ABCD满足AB+CD＝0知，四边形ABCD为平行四边形．又由(AB-AD)·AC＝0，即DB·AC＝0，可知该平行四边形的对角线互相垂直，所以该四边形一定是菱形．
答案：菱形
6．答案：D
提升关键能力
考点一
1．解析：∵a·b＝1×2×-12＝－1.
∴(a－3b)·(2a＋b)＝2|a|2－5a·b－3|b|2＝2×1－5×(－1)－3×4＝－5.
答案：B
2．解析：因为点E，F分别是BC，AD的中点，
所以AE·AF＝12(AB+AC)·12AD＝14(AB·AD+AC·AD)
＝14(a·a·cs π3＋a·a·cs π3)＝14a2.
答案：C
3．解析：由a＝(1，2)，可得|a|＝5，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影为a·ba＝－355.故选D.
答案：D
4．解析：
方法一 如图，在正方形ABCD中，由AP＝12(AB+AC)得点P为BC的中点，∴|PD|＝5，PB·PD＝PB·(PC+CD)＝PB ·PC+PB·CD＝PB·PC＝1×1×cs 180°＝－1.
方法二 ∵AP＝12(AB+AC)，∴P为BC的中点，以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝2-02+1-22＝5，PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1)，∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
答案：5 －1
考点二
例1 解析：(1)因为非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，所以a·b＝|a|·|b|cs 60°＝12|a|，
又因为|2a－b|＝1，所以(2a－b)2＝1，即4a2＋b2－4a·b＝1，所以4|a|2＋|b|2－4×12|a|＝1，整理可得：4|a|2－2|a|＝0，因为|a|≠0，解得：|a|＝12.
(2)因为e1·e2＝|e1 ||e2|cs 2π3＝－12，所以|e1－λe2|2＝e12+λ2e22－2λe1·e2＝λ2＋λ＋1＝λ+122＋34≥34，
所以|e1－λe2|≥32.
答案：(1)A (2)C
例2 解析：(1)由题意得cs 〈a，a＋b〉
＝a·a+ba·a+b
＝a2+a·ba·a2+b2+2a·b
＝25-65×25+36-12＝1935.故选D.
解析：(2)由b·(a＋5b)＝52得a·b+5 b2＝52，∵|b|＝1，∴a·b＝－52，又|a|＝5，∴cs θ＝－12，而0≤θ≤π，∴向量a，b的夹角θ＝2π3.
答案：(1)D (2)2π3
例3 解析：(1)由已知得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，因为λa－b与b垂直，所以(λa－b)·b＝0, 即(λ－4，－3λ＋2)·(4，－2)＝0，所以4λ－16＋6λ－4＝0，解得λ＝2，故选D.
(2)因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0.
又AP＝λAB+AC，BC＝AC-AB，所以(λAB+AC)·(AC-AB)＝0，即(λ－1)AC·AB－λAB2＋AC2＝0，
所以(λ－1)|AC||AB|cs 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×2×3×-12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.
答案：(1)D (2)712
对点训练
1．解析：因为a，b为单位向量，
所以(a－2b)·(a＋b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝－a·b－1＝－12，所以a·b＝－12，
所以|a－b|＝a-b2＝a2-2ab+b2＝3.
答案：C
2．解析：由题意，设|a|＝2|b|＝2t(t＞0)，又(a－b)·b＝0⇒a·b＝b2＝t2，设a与b的夹角为θ，所以cs θ＝a·bab＝t22t2＝12，所以θ＝π3.
答案：π3
3．解析：∵a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，
∴kb－a＝(－3k－2，－k－1)，
∵kb－a与a垂直，∴(－3k－2)×2＋(－k－1)×1＝0，解得k＝－57.
答案：－57
考点三
例4 解析：(1)由a∥b，得3sin x cs x－cs2x＝0，
即csx(3sin x－cs x)＝0，
所以cs x＝0或3sin x－cs x＝0.
当cs x＝0时，x∈(－π，0)，则x＝－π2；
当3sin x－cs x＝0时，得tan x＝33，x∈(－π，0)，则x＝－5π6.
综上，x的值为－π2或－5π6.
(2)f(x)＝2a·b－1＝23sin x cs x＋2cs2x－1＝3sin2x＋cs 2x
＝2(32sin 2x＋12cs 2x)＝2sin 2x+π6.
由fx2＝2sin x+π6＝13，得sin x+π6＝16，
所以sin 2x-π6＝sin 2x+π6-π2＝－sin [π2－2x+π6]＝－cs 2x+π6
＝2sin2x+π6－1＝2×136－1＝－1718.
例5 解析：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，所以2sinB·2sin2π4+B2＋(2－cs2B)·(－1)＝0.所以2sin B·1-csπ2+B＋cs 2B－2＝0，所以2sin B＋2sin2B＋(1－2sin2B)－2＝0.所以sinB＝12.因为0＜B＜π，所以B＝π 6或B＝5π6.
(2)因为a＝3＞b＝1，所以B＝π6.
方法一 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cs B.
所以c2－3c＋2＝0，所以c＝1或c＝2.
方法二 由正弦定理，得bsinB＝asinA.即112＝3sinA，所以sin A＝32.因为0＜A＜π，所以A＝π3或A＝2π3.若A＝π3，因为B＝π6，所以C＝π2，所以c＝2.若A＝2π3，则C＝π－2π3-π6＝π6，所以c＝b＝1.综上所述，c＝1或c＝2.
对点训练
1．解析：因为向量a＝(cs α，3)，b＝(sin α，－4)，a∥b∴－4cs α＝3sin α，即tan α＝－43，
∴3sinα+csα2csα-3sinα＝3tanα+12-3tanα＝-4+12+4＝－12.
答案：A
2．解析：(a－2b)sin A＝(c＋b)(sin C－sin B)⇒(a－2b)a＝(c＋b)(c－b)⇒a2－2ab＝c2－b2，所以c2＝a2＋b2－2ab，由余弦定理可知：c2＝a2＋b2－2ab·cs C，
因此有cs C＝22，∵C∈(0，π)，∴C＝π4，
因为D是AB的中点，所以有CD＝12(CA+CB)，平方得：
CD2＝14(CA2＋CB2＋2CA·CB)⇒4＝b2＋a2＋2ba·22⇒b2＋a2＋2ba＝4，
因为a2＋b2≥2ab，所以4－2ab≥2ab⇒ab≤2(2－2)，
S△ABC＝12ab sin C＝24ab≤24×2×(2－2)＝2－1.
答案：A
3．解析：(1)f(x)＝d·e＝2cs2x－3sin 2x＝1＋cs 2x－3·sin 2x＝1＋2cs 2x+π3，令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为kπ-π6，kπ+π3(k∈Z)．
(2)因为f(A)＝1＋2cs 2A+π3＝－1，所以cs 2A+π3＝－1.又π3＜2A＋π3＜7π3，所以2A＋π3＝π，即A＝π3.因为a＝7，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs A＝(b＋c)2－3bc＝7 ①.因为向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，所以2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c ②，由①②可得b＝3，c＝2.
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量________叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积
数量积
a·b＝________
模
|a|＝________
夹角
cs θ＝________
向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔________