统考版高中数学（文）复习10-1随机事件的概率学案

这是一份统考版高中数学（文）复习10-1随机事件的概率学案，共15页。学案主要包含了必记4个知识点，必明2个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。

·最新考纲·
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
·考向预测·
考情分析：在高考中以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查，题型为选择题、填空题．
学科素养：通过随机事件概率的应用考查数学建模、数据分析的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．事件的分类
2.频率和概率
(1)频数、频率的概念比较
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作________，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________．
(2)必然事件的概率：P(A)＝____．
(3)不可能事件的概率：P(A)＝____．
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝____________．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________．
二、必明2个常用结论
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2 ∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)随机事件和随机试验是一回事．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
(6)两互斥事件的概率和为1.( )
(二)教材改编
2．[必修3·P121练习T5改编]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
3．[必修3·P123T3改编]李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率；
(1)90分以上的概率：________．
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________．
(三)易错易混
4．(确定对立事件出错)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．
5．(列出所有可能出错)甲、乙、丙三人参加某抽奖活动，幸运的是他们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物(如图所示)，每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后乙、丙依次取得第二件、第三件礼物．事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是________．
(四)走进高考
6．[全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B．0.4
C.0.6 D．0.7
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 随机事件的关系 [基础性]
1．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )
A．A与B是不可能事件
B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件
D．B与C既是互斥事件也是对立事件
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
3．[2022·重庆市南开中学考试]在一次试验中，随机事件A，B满足P(A)＝P(B)＝23，则( )
A．事件A，B一定互斥
B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立
D．事件A，B一定不互相独立
反思感悟 互斥事件与对立事件的判定
考点二 随机事件的频率与概率 [应用性]
[例1] 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．
据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.
已知近20年X的值为
140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
听课笔记：
反思感悟 (1)概率与频率的关系
(2)随机事件概率的求法
【对点训练】
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶：如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
考点三 互斥事件与对立事件的概率 [基础性、应用性]
[例2] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
听课笔记：
反思感悟 求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)
【对点训练】
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为( )
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1
C．公路2和公路2 D．公路1和公路1
微专题37 渗透体育教育 践行教化功能 五育并举
[例] [2020·山东卷]某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳．则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56% C．46% D．42%
解析：方法一：记喜欢足球的学生为事件A，喜欢游泳的学生为事件B，由题意得P(A＋B)＝0.96，P(A)＝0.60，P(B)＝0.82.因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以P(AB)＝0.60＋0.82－0.96＝0.46.故选C.
方法二：设该校学生总数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为x；则100×96%＝100×60%＋100×82%－x，解得x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.
答案：C
名师点评 本题以学生喜欢的体育项目为背景设计，情境贴近实际，倡导学生积极参加体育锻炼，增强学生体质．
[变式训练] 体育锻炼是青少年学习生活中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：重力加速度大小取g＝10 m/s2，3≈1.732)( )
A.63 B．69 C．75 D．81
第十章 概率
第一节 随机事件的概率
积累必备知识
一、
2．(2)P(A)
3．包含 包含于 B⊇A且A⊇B A∪B(或A＋B) A∩B(或AB) 不可能 不可能
4．(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0
(4)P(A)＋P(B) (5)1 1－P(B)
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
2．解析：“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．
答案：C
3．解析：(1)42600＝0.07.
(2)52+8600＝0.1.
答案：(1)0.07 (2)0.1
4．解析：∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案：0.35
5．解析：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，甲不可能取得礼物B，乙取得礼物B的概率为13，丙取得礼物B的概率为23.
答案：丙
6．解析：设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4.
答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误．
答案：C
2．解析：“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．
答案：A
3．解析：若事件A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝43>1，与0≤P(A＋B)≤1矛盾，所以P(A＋B)≠P(A)＋P(B)，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，
由题意无法判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，故选B.
答案：B
考点二
例1 解析：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)由已知可得Y＝X2＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y＜490或Y＞530)
＝P(X＜130或X＞210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝120+320+220＝310.
对点训练
解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2+16+3690＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36+25+7+490＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
考点三
例2 解析：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100＝1.9(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得
P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，
P(A3)＝25100＝14，
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2 ∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320+310+14＝710.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.
对点训练
解析：通过公路1的频率为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2的频率为0.1，0.4，0.4，0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1，2将货物运往城市乙．B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A的最佳路径为选择公路1，汽车B的最佳路径为选择公路2.
答案：A
微专题 eq \(○,\s\up1(37)) 渗透体育教育 践行教化功能
变式训练

解析：作出示意图，如图所示，设图中重力为G，两只胳膊的拉力分别为F1，F2，F1与F2的合力为F′，则|G|＝|F′|.
由余弦定理得|F′|2＝4002＋4002－2×400×400×cs 2π3＝3×4002(N2)，
解得|F′|＝4003 N.
所以|G|＝4003 N.
所以该学生的体重约为400×1.73210≈69(kg)．
答案：B
事件的分类
具体事件
定义
确定事件
必然事件
在条件S下
一定会发生
的事件
不可能事件
一定不会发生
随机事件
随机事件
可能发生也
可能不发生
名称
条件一
条件二
结论
频数
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现
n次试验中事件A出现的次数为nA
nA为事件A出现的频数
频率
事件A出现的比例fn(A)＝nAn
fn(A)为事件A出现的频率
名称
条件
结论
符号表示
包含
关系
A发生⇒B发生
事件B________事
件A(事件A____
事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等
关系
若____________
事件A与
事件B相等
A＝B
并(和)
事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
____________
交(积)
事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
____________
互斥
事件
A∩B为______事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立
事件
A∩B为______事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，
P(A∪B)＝1
成绩
人数
90分以上
42
80～89分
172
70～79分
240
60～69分
86
50～59分
52
50分以下
8
定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义法判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法
①若A，B满足A∩B＝∅，则A，B是互斥事件；
②若A，B满足A∩B=∅，A∪B=U，则A，B是对立事件
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
120
420
220
最高
气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
一次购
物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件
及以上
顾客
数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
所用时间(天数)
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
120
320
420
720
320
220