单元复习07+三角函数【过习题】（考点练）-+2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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单元复习07 三角函数
01 角与弧度、诱导公式
一、单选题
1．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.
【解析】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．
故选：A．
2．若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（    ）
A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论
【答案】D
【分析】在集合与中举例说明即可判断.
【解析】集合中，若，不属于第一或第四象限角，即.
集合中，若，是第一象限角，但.
综上，集合与没有关系.
故选：D
3．下列说法中，正确的是（    ）
A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．是第二象限的角 D．是终边相同的角
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解
【解析】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角，
此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；
对于C：是第三象限的角，故C错误；
对于D：因为，
所以是终边相同的角，故D正确；
故选：D
4．设，如果且，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数在各象限符号判断．
【解析】，
，则，所以，
，则，所以．
故选：D．
5．设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式将，，全部化简为的三角函数值，即可选出答案.
【解析】因为，，，
所以.
故选：C.
6．已知，，，则的值为（    ）
A．或0 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与求解即可.
【解析】∵，∴，
∵，，
∴，.
则或0.
∵，∴.
故选：D

二、多选题
7．下列结论正确的是（    ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．若角的终边上有一点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【分析】A中，由象限角的定义即可判断；
B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；
C中，根据三角函数的定义即可判断；
D中，取即可判断.
【解析】选项A中，，是第二象限角，故A错误；
选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；
选项C中，，，故C正确；
选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．
故选：BC．
8．下列结论中，正确的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据诱导公式逐项分析即得.
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
9．下列式子中值为正的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据象限角，可判断三角函数的正负，即可求解.
【解析】对于A:485°是第二象限角，所以，－447°是第四象限角，所以，所以．
对于B;角是第三象限角，则，角是第二象限角，则，角是第四象限角，则，所以．
对于C;188°角是第三象限角，则，－55°角是第四象限角，则，所以．
对于D;305°角是第四象限角，则，460°是第二象限角，则，所以．
故选：ACD
10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（    ）

A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【答案】AC
【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.
【解析】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，
，A正确；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点（cos，sin），，则下列说法正确的是（    ）
A．线段与的长均为1 B．线段的长为1
C．若点，关于y轴对称，则 D．当时，点，关于x轴对称
【答案】ACD
【分析】AB选项，根据勾股定理进行求解；C选项，根据点，关于y轴对称，得到，，进而求出；D选项，代入后利用诱导公式进行求解，得到答案.
【解析】，同理可求，A正确；
由题意得：，由勾股定理得：，B错误；
若点，关于y轴对称，则，，则，，解得：，C正确；
当时，，即，即，关于x轴对称，D正确.
故选：ACD

三、填空题
12．将一条射线绕着其端点顺时针旋转，再逆时针旋转，最后形成的角的度数为______．
【答案】
【分析】根据正负角的定义可直接求得结果.
【解析】顺时针旋转所成的角为负角，逆时针旋转所成的角为正角，
经两次旋转后形成的角的度数为．
故答案为：.
13．若，则__________．
【答案】0
【分析】根据诱导公式计算．
【解析】，
故答案为：0.
14．已知，则_________．
【答案】
【分析】根据诱导公式，结合齐次式求值即可得答案.
【解析】解：因为，
所以，
故答案为：
02 三角函数的图像与性质

一、单选题
1．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（    ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】先将两函数转化为的形式，计算两者的差值，利用口诀“左加右减”可知如何平移.
【解析】因为，，
且，
所以由的图像转化为需要向右平移个单位.
故选：D.
2．函数的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由三角函数的性质求解
【解析】函数，故求函数的单调递增区间即可，
令，解得
故选：A
3．若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，得，从而转化为解不等式，利用正切函数的性质求解即可.
【解析】因为直线与函数的图象无公共点，且，
所以，所以，
故可化为，
所以解得
所以不等式的解集为，
故选：B．
4．函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象，先确定以及周期，进而得出，再由求出，即可得到函数解析式.
【解析】解：由函数图象可得，
因为，所以，所以，
由函数过点，可得，
所以，，即，，
因为，所以，
所以.
故选：A
5．若函数在上的最小值和最大值分别为和4，则实数b的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设则，由条件结合正弦函数的图像性质可得，，从而可得出答案.
【解析】当时，，设则
所以函数在上的最小值和最大值分别为和4，
当时，，
所以要使函数的最小值和最大值分别为和4，
由正弦函数的图像性质可得，，解得.
故选：D


二、多选题
6．已知曲线：，：，则（    ）
A．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到
B．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到
C．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到
D．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到
【答案】BD
【分析】根据三角函数的图象变换直接求解.
【解析】变换方式一：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到曲线．
变换方式二：因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到曲线．
故选:BD．
7．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.
【解析】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选：ACD.
8．已知直线是函数的一条对称轴，则（    ）
A．点是函数的一个对称中心
B．函数在上单调递减
C．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度得到
D．函数与的图像关于直线对称
【答案】BD
【分析】根据题意和三角函数对称轴的定义求得，进而求得函数的解析式，利用整体代换法、代入检验法和正弦函数的单调性依次判断选项即可.
【解析】因为直线是函数的一条对称轴，
所以，，∴，
故函数，因为，所以A错误；
当时，，
所以函数在上单调递减，故B正确；
函数的图像向左平移个单位长度
得到函数的图像，所以C错误；
因为，所以D正确，
故选BD.
9．关于函数，以下说法正确的是（    ）
A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期是
C．是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性的定义可判断A项，根据正弦型函数的周期可判断B项，根据正弦型函数的对称性可判断C项，整体代入求解正弦型函数的单调性可判断D项.
【解析】解：对于A，，故函数不是偶函数，故A错误；
对于B，令，则函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，函数图象的对称轴方程为，即，
当时，，故C正确；
对于D，当时，，故函数在区间上单调递减，则在区间上单调递增，故D正确；
故选：BCD.

三、填空题
10．函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】根据题意得到，进而解得答案即可.
【解析】由题意，.
故答案为：.
11．已知函数（，）的部分图象如图所示，则___________.

【答案】
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得；
【解析】解：由图可知，所以，又，所以，
所以，又函数过点，所以，
所以，所以，又，
所以，所以，
所以.
故答案为：
12．有下列说法：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线有三个公共点；
④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；
⑤函数在上是减函数．
其中，正确的说法是______．（填序号）
【答案】①④
【分析】①根据最小正周期的求解公式得到；②举出反例；③由三角函数线可判断；④根据左加右减进行平移得到解析式；⑤根据诱导公式得到，从而求出在上是增函数.
【解析】对于①，的最小正周期，故①正确；
对于②，当时，，角的终边在轴非负半轴上，故②错误；
对于③，当时，在单位圆中，角所对的弧长即为，
由三角函数线可得，当时，；同理当时，；
所以当且仅当时，，
所以函数的图象和直线仅有一个交点，故③错误；
对于④，将的图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，故④正确；
对于⑤，，其在上为增函数，故⑤错误．
故答案为：①④
13．设，若在上为增函数，则的取值范围是___．
【答案】
【分析】由时，,根据单调区间列出不等关系，即可求解.
【解析】，当时，,
由于为增函数，∴，即 ，
又，所以，
故答案为：

四、解答题
14．已知函数．
(1)用“五点法”作法函数在上的简图；
(2)根据图象求在上的解集．
【答案】(1)作图见解析
(2)

【解析】（1）
五个关键点列表如下：

0





1

1
3
1

作图：

（2）
根据（1）中的图象，可得在上的解集为．
15．已知函数的部分图象如图．

(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由图象结合五点法求出函数解析式；
（2）由三角函数图象变换得，换元后结合在上的图象可得参数范围．
【解析】（1）根据图象，可得，，
∴
∴，将代入f（x），得，
即，，
又，∴，
∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，
由题得，
∵在[0，]上有两个不同的实数解，
∴在[0，]上有两个不同的实数解．
∵，
令，
∴，
则需直线与的图象在有两个不同的公共点．
画出在时的简图如下：

∴实数m的取值范围是．
16．已知函数，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】(1).
(2)时，  ； 时，.
(3)

【分析】(1)根据复合函数单调性的求法，使即可；
(2)根据余弦函使其交集不为空集
(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.
（1）
，解不等式得： ，
所以函数的单调递减区间为.
（2）
，即时，  ，
，即 时，；
（3）
时，，，
时， ， ，
要使得，只需， .
03 指数与对数难点

一、单选题
1．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则四个回归年对应的天数约为（参考数据：，结果精确到个位）（    ）
A．1461 B．1459 C．1430 D．1427
【答案】A
【分析】利用周期公式求出一个回归年对应的天数，即可得到四个回归年的天数
【解析】解：因为最小正周期，
所以一个回归年对应的天数约为365.248，则四个回归年对应的天数为，
故选：A
2．经科学研究证实，自出生之日起，人的情绪节律、体力节律、智力节律分别以28天、23天、33天进行周期变化，变化曲线为．每种节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三种节律周期的半数为临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置）．若小凌在生日前一天想通过三种节律对第322天时的身体状态进行预测，现得到的四个判断中错误的是（    ）
A．智力节律处于低潮期
B．情绪与体力节律均处于临界日
C．记情绪、体力曲线分别为，，则
D．人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义
【答案】D
【分析】根据题意，分别得出三种变化曲线的函数解析式，再分析时的情况即可
【解析】对A，智力节律变化曲线为，因为，故第322天时，故智力节律处于低潮期，故A正确；
对B，情绪节律变化曲线为，因为，故第322天时，故智力节律处于临界日；体力节律变化曲线为，因为，故第322天时，故体力节律处于临界日；故B正确；
对C，由题意，，故，，由B，，故C正确；
对D，预测与实际不一定相同，且重要工作的影响因素很多，故人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义不成立，故D错误；
故选：D
3．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数的周期主要由 验证
【解析】由
对A：
，故A不正确
对B：
，故B正确；
对C：
，故C不正确；
对D：
，故D不正确；
故选：B.
4．一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设出函数解析式，再根据给定的条件求解其待定系数作答.
【解析】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，

依题意，设函数解析式为，
显然，则，，
函数的周期，则，因当时，，即有，则，
于是得，
所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是.
故选：C
5．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.
【解析】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
6．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（的单位：千元，，，，为月份，且）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据最值，求出，求出最小正周期，进而求出，代入特殊点坐标求出，求出正确答案.
【解析】解：由题意得：，解得：，又最小正周期为，
所以，所以，
将代入，解得：，则，，

因为，所以当时，符合题意，
综上：.
故选：D

二、多选题
7．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.
【解析】因为且，，
所以，，
由，得是函数的一条对称轴方程，
则，
即，取，
所以，
由，
解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
故选：AC.
8．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．某水车轮的半径为5米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（    ）
A．（）
B．（）
C．是函数的周期
D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于6.5米的时间为10秒．
【答案】AD
【分析】如图，根据题意余弦函数的定义求出，进而求得解析式，结合三角函数的性质依次判断选项即可.
【解析】由题意得，如图，轴，，
点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且，
因为每分钟转2圈，所以，得角速度，
故，又，
所以，所以，
即.故A正确，B错误；
又因为函数的周期，Z，
由周期的定义结合函数的定义域可得C错误；
令，得，
解得或，Z，
当时，或，
即旋转一周的过程中(30s)，有25-5=20s，水斗A距离水面高度低于6.5米，
所以有30-20=10s的时间不低于6.5米，故D正确.
故选：AD.

9．血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（    ）
A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
【答案】ABD
【分析】由已知，根据题意给的函数关系式，可通过赋值计算分别验证选项A、B、D，结合题意对高血压的判定，通过计算即可验证选项C.
【解析】由已知，选项A，当天早晨6~7点，则t∈[0，1]，t+∈[]，所以函数p（t）在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
选项B，当t=3时，p（t）=115+20sin=125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确；
选项C、选项D，因为p（t）的最大值为115+20=135，最小值为115-20=95≥90，所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；且他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确.
故选：ABD.
10．气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从到的温度变化，其变化曲线近似满足函数（，，），该函数图象如图，则（    ）

A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
【答案】ACD
【分析】根据图象可得，，从而可求出，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数解析式，然后逐个分析判断.
【解析】根据题图可知得所以．
根据题图可知，，B错误．
，，，即．又，所以，所以，解得，A正确．
，，所以，C正确．
因为是偶函数，所以，，得，，所以当时，取最小值，为2，D正确．
故选：ACD．

三、填空题
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．

【答案】
【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出，由时，求出和，从而可求出的关系式，进而可求出点P的纵坐标
【解析】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，
所以，得，
所以，
因为当时，盛水筒M位于点，
所以，
所以，
因为，
所以，得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，
故答案为：
12．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）．
时刻（t）
0
2
4
6
8
10
12
水深（y）单位：米
5.0
4.8
4.7
4.6
4.4
4.3
4.2
时刻（t）
14
16
18
20
22
24

水深（y）单位：米
4.3
4.4
4.6
4.7
4.8
5.0


用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数________．
【答案】
【分析】由题知所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为，进而得，，再待定系数法求解即可.
【解析】解：由题知，所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为
所以且，解得，，
故，
因为在零时，所生潮的高的最大值为，
所以，，解得，
所以.
故答案为：

四、解答题
13．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．

(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【答案】(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【解析】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
14．如图，函数的图象与y轴交于点，最小正周期是.

(1)求函数的解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
(2)已知点，点P是函数图象上一点，点是PA的中点，且，求的值.
【答案】(1)，对称轴方程为，对称中心为
(2)或

【分析】（1）根据周期是可得的值，再由图象与y轴交于点，求得的值，从而可得函数解析式，根据余弦函数的性质可求得函数图象的对称轴方程和对称中心；
（2）点是PA的中点，点，利用中点坐标公式求出的坐标，点是该函数图象上一点，代入函数解析式，化简,求解的值.
（1）
由题意，得.
由的图象与y轴交于点，得，可得，
∵，∴.
∴函数.
由，可得对称轴方程为，
由，可得对称中心为.
（2）
点是PA的中点，∴点P的坐标为.
又∵点P是函数图象上一点，∴，
整理可得.
∵，∴，∴或，
解得或