中考数学一轮复习培优训练：《图形认识初步》 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习培优训练：《图形认识初步》 (含答案)，共24页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
2020年中考数学一轮复习培优训练：
《图形认识初步》

1．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．

（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时．∠AOC＝38°时，求∠BOE和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有什么数量关系？
（2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示）时，∠AOC＝38°，（1）中∠BOE和∠COF的数量关系的结论是否成立？请给出你的结论并说明理由；





2．如图，O是直线AB上的一点，∠AOC＝45°，OE是∠BOC内部的一条射线，且OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝35°，求∠EOB的度数；
（2）如图2，若∠EOB＝40°，求∠COF的度数；
（3）如图3，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由．



3．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向
任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？





4．点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，射线OE平分∠BOC．
（1）如图1，如果∠AOC＝50°，依题意补全图形，写出求∠DOE度数的思路（不需要写出完整的推理过程）；
（2）将OD绕点O顺时针旋转一定的角度得到图2，使得OC在直线AB的上方，若∠AOC＝α，其他条件不变，依题意补全图形，并求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将OD绕点O继续顺时针旋转一周，回到图1的位置．在旋转过程中，你发现∠AOC与∠DOE（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOE≤180°）之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现．

5．点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°．
（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOF的度数是　 　（度）．
（2）如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系；
（3）过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，若∠EOC＝3∠EOF，直接写出∠AOE的度数．




6．已知∠AOB＝100°，作射线OC，再分别∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝60°时，则∠DOE＝　 　度；
（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，则∠DOE＝　 　；
（3）若∠AOB＝m，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．（用含m的代数式表示）

7．已知：∠AOB＝140°，OC， OM，ON是∠AOB内的射线．
（1）如图1所示，若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数：
（2）如图2所示，OD也是∠AOB内的射线，∠COD＝15°，ON平分∠AOD，OM平分∠BOC．当∠COD绕点O在∠AOB内旋转时，∠MON的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，以∠AOC＝20°为起始位置（如图3），当∠COD在∠AOB内绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转t秒，若∠AON：∠BOM＝19：12，求t的值．






8．已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOC＝36°，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．





9．已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝14°，求∠BOE的度数．
（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，探究∠BOE与∠COF的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD＝90°，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．





10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角的直角顶点放在点O处，即∠MON，反向延长射线ON，得到射线OD．

（1）当∠MON的位置如图（1）所示时，使∠NOB＝20°，若∠BOC＝120°，求∠COD的度数．
（2）当∠MON的位置如图（2）所示时，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：射线ON的反向延长线OD是否平分∠AOC？请说明理由；注意：不能用问题（1）中的条件
（3）当∠MON的位置如图（3）所示时，射线ON在∠AOC的内部，若∠BOC＝120°．试探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论．


11．如图①，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB内的一条射线，OD，OE分别平分∠BOC和∠COA．

（1）求∠DOE的度数；
（2）当射线OC绕点O旋转到OB的左侧时如图②（或旋转到OA的右侧时如图③），OD，OE仍是∠BOC和∠COA的平分线，此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同？若相同，请选取一种情况写出你的求解过程；若不相同，请说明理由．





12．已知A，O， B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．

（1）若∠AOC＝90°，如图1，则∠DOE＝　 　°；
（2）若∠AOC＝50°，如图2，求∠DOE的度数；
（3）由上面的计算，你认为∠DOE＝　 　°；
（4）若∠AOC＝α，（0°＜α＜180°）如图3，求∠DOE的度数．



13．根据阅读材料，回答问题．
材料：如图所示，有公共端点（O）的两条射线组成的图形叫做角（∠AOB）．如果一条射线（OC）把一个角（∠AOB）分成两个相等的角（∠AOC和∠BOC），这条射线（OC）叫做这个角的平分线．这时，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB（或2∠AOC＝2∠BOC＝∠AOB）．
问题：平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线MN上一动点，作射线OA，OP，OA′．当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP＝90°，∠AOP＝∠A′OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．
（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧时，若OB平分∠A′OP，求∠AOP的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM＝3∠A′OB时，求∠AOP的值；
（3）当点O运动到某一时刻时，∠A′OB＝150°，直接写出此时∠BOP的度数．









14．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜6），试求当∠BOC＝20°时t的值；
（3）若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．






15．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．

（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．

参考答案
1．（1）解：∵∠COE＝90°，∠AOC＝38°，
∴∠BOE＝180°﹣90°﹣38°＝52°，∠AOE＝90°+38°＝128°，…（2分）
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝64°，…（4分）
∴∠COF＝64°﹣38°＝26°；…（6分）
∴∠BOE＝2∠COF…（7分）
（2）成立；∠BOE＝2∠COF，理由如下：
∵∠COE＝90°，∠AOC＝38°，
∴∠AOE＝90°﹣38°＝52°，…（8分）
∴∠BOE＝180°﹣52°＝128°，…（10分）
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝26°，…（12分）．
∴∠COF＝38°+26°＝64°；
∴∠BOE＝2∠COF…（13分）
2．（1）∵∠AOC＝45°，∠COF＝35°
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝80°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠AOF＝160°
∵∠AOB是平角
∴∠AOB＝180°
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝20°
答：∠EOB的度数是20°．
（ 2）∠AOE＝180°﹣40°＝140°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝70°
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝70°﹣45°＝25°
答：∠COF的度数是25°．
（ 3）∠EOB+2∠COF＝90°，理由如下：
设∠COF＝α，∠BOE＝β
∵∠AOB是平角，
∴∠AOE＝180°﹣β
∵OF平分∠AOE，
∴2∠AOF＝∠AOE＝180°﹣β
∴2α＝2∠COF＝2（∠AOF﹣∠AOC ）
＝2∠AOF﹣2∠AOC
＝180°﹣β﹣2×45°＝90°﹣β
∴2α+β＝90°
即∠EOB+2∠COF＝90°
3．解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，
∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：145°，40°；

（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，
理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．

（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，
∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，
∴4x+x＝180°
解得：x＝36°，
∴α＝90°﹣36°＝54°；

②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，
∵∠BCD+∠DCE＝90°，
∴3t+21＝90，
t＝23°，
答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．
4．解：（1）补全图形如图1所示；解题思路如下：
①由∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝50°，得∠BOC＝130°；
②由OE平分∠BOC，得∠COE＝65°；
③由OD⊥OC，得∠COD＝90°；
④由∠COD＝90°，∠COE＝65°，
得∠DOE＝25°；
（2）补全图形如图2所示；
∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠COE＝BOC＝90°﹣，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝；
（3）如图1，∠DOE＝∠AOC，
如图2∠DOE＝180°∠AOC，
故∠AOC与∠DOE之间的数量关系为∠DOE＝∠AOC或∠DOE＝180°∠AOC．


5．解：（1）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵OE为∠AOC的角平分线，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，
∴∠EOF＝∠COD+∠EOC+∠DOF＝90°+（∠AOC+∠BOD）＝90°+×90°＝135°，
故答案为：135；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠COE+∠EOD＝90°，
∴∠EOD＝90°﹣∠COE，
∵OE为∠AOD的角平分线，
∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣∠COE）＝180°﹣2∠COE，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣180°+2∠COE＝2∠COE；
（3）①如图3所示时，
∵∠COD＝90°，OF平分∠COD，
∴∠COF＝∠EOC+∠EOF＝45°，
∵∠EOC＝3∠EOF，
∴4∠EOF＝45°，
∴∠EOF＝11.25°，
∴∠EOC＝33.75°，
∵OC为∠AOE的角平分线，
∴∠AOE＝2∠EOC＝67.5°；
②如图4所示时，
∵∠COD＝90°，OF平分∠COD，
∴∠COF＝45°，
∵∠EOC＝3∠EOF，
∴∠COF＝2∠EOF＝45°，
∴∠EOF＝22.5°，
∴∠COE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵OC为∠AOE的角平分线，
∴∠AOE＝2∠COE＝135°；
综上所述，∠AOE的度数为67.5°或135°．


6．解：（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝40°
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠COB＝30°，∠COD＝∠AOC＝20°，
∴∠DOE＝50°；
故答案是：50；
（2）∵当∠BOC＝α时，
理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠COB+∠AOC
＝（∠COB+∠AOC）
＝∠AOB
＝50°；
故答案是：50°；
（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝m或180°﹣m．

如图①，∠DOE＝m；
理由：∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝∠AOC﹣∠COB
＝（∠AOC﹣∠COB）
＝∠AOB
＝m；
如图②，∠DOE＝180°﹣m．
理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠AOC+∠COB
＝（∠AOC+∠COB）
＝（360°﹣∠AOB）
＝180°﹣m．
7．解：（1）∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠CON＝∠AOC，∠COM＝∠BOC
∠MON＝∠CON+∠COM
＝（∠AOC+∠BOC）
＝∠AOB
又∠AOB＝140°
∴∠MON＝70°
答：∠MON的度数为70°．
（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，
∴∠COM＝∠BOC，∠DON＝∠AOD
即∠MON＝∠COM+∠DON﹣∠COD
＝∠BOC+∠AOD﹣∠COD
＝（∠BOC+∠AOD）﹣∠COD．
＝（∠BOC+∠AOC+∠COD）﹣∠COD
＝（∠AOB+∠COD）﹣∠COD
＝（140°+15°）﹣15°
＝62.5°
答：∠MON的度数为62.5°．
（3）∠AON＝（20°+3t+15°），
∠BOM＝（140°﹣20°﹣3t）
又∠AON：∠BOM＝19：12，
12（35°+3t）＝19（120°﹣3t）
得t＝20
答：t的值为20．

8．解：（1）由题意得：∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣36°＝144°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝×144°＝72°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣72°＝18°；
（2）由题意得：∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）∠AOC＝2∠DOE，理由如下：
∵∠COD＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠DOE，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣∠DOE），
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠DOE）＝2∠DOE．
9．解：（1）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF，
∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，
∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE，
∴2（∠COE﹣∠COF）＝∠AOB﹣∠BOE，
∵∠AOB＝160°，∠COE＝80°，
∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE，
∴∠BOE＝2∠COF，
若∠COF＝14°时，∠BOE＝28°；
（2）∠BOE＝2∠COF，理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF，
∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，
∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE，
∴2（∠COE﹣∠COF）＝∠AOB﹣∠BOE，
∵∠AOB＝160°，∠COE＝80°，
∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE，
∴∠BOE＝2∠COF，
（3）存在，理由如下：
设∠AOF＝∠EOF＝2x，
∵∠DOF＝3∠DOE，
∴∠DOE＝x，
∵∠BOD＝90°，
∴2x+2x+x+90°＝160°，
解得：x＝14°，
∴∠BOE＝90°+x＝104°，
∴∠COF＝×104°＝52°，
∴在∠BOE的内部存在一条射线OD，使得∠BOD＝90°，且∠DOF＝3∠DOE．
10．解：（1）∵∠AOB＝180°，∠NOB＝20°，∠BOC＝120°，
∴∠COD＝∠AOB﹣∠NOB﹣∠BOC
＝180°﹣20°﹣120°
＝40°，
∴∠COD为40°；

（2）OD平分∠AOC，
理由如下：∵∠MON＝90°，
∴∠DOM＝180°﹣∠MON＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DOC+∠MOC＝∠MOB+∠BON＝90°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
∴∠DOC＝∠BON，
∵∠BON+∠AON＝∠AON+∠AOD＝180°
∴∠BON＝∠AOD，
又∵∠BON＝∠COD，
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC；

（3）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠MON﹣∠AOC＝30°，
∴（∠MON﹣∠AON）﹣（∠AOC﹣∠AON）＝30°，
即∠AOM﹣∠NOC＝30°．
11．解：（1）∵OD，OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，
∴∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠COA，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE
＝∠BOC+∠AOC
＝∠AOB
＝40°；

（2）∠DOE的大小与（1）中答案相同，仍为40°，
选图②说明，理由如下：
∠DOE＝∠COE﹣∠COD
＝∠AOC﹣∠BOC
＝（∠AOC﹣∠BOC）
＝∠AOB
＝40°．
12．解：（1）∵A，O，B三点在同一条直线上，
∴∠AOB＝180°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠AOC＝45°，∠COE＝∠BOC＝45°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝45°+45°＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
同（1）得：∠DOC＝∠AOC＝25°，∠COE＝∠BOC＝65°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝25°+65°＝90°；
（3）由上面的计算，∠DOE＝90°，
故答案为：90；
（4）∵∠AOB＝180，
∴∠BOC＝180°﹣α，
同（1）得：∠DOC＝∠AOC＝α，∠COE＝∠BOC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+90°﹣α＝90°．
13．解：（1）设∠AOP的度数为x，
由题意可知：∠A′OP＝x，∠POB＝60°﹣x
因为OB平分∠A′OP，所以2∠POB＝∠A′OP，
所以2（60°﹣x）＝x
解得，x＝40．
答：∠AOP的度数为40°．
（2）①如图2，
当射线OB在∠A′OP内部时，设∠AOP的度数为y，
由题意可知：∠A′OP＝y，∠POB＝60°﹣y，
∵∠MOP＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣y，
∵∠AOM＝3∠A′OB，
∴∠A′OB＝（90°﹣y），
∵∠A′OB+∠POB＝∠A′OP，
∴（90°﹣y）+（60°﹣y）＝y，
解得，y＝；
②如图3，
当射线OB在∠A′OP外部时，设∠AOP的度数为y，
由题意可知：∠A′OP＝y，∠POB＝60°﹣y，
∵∠MOP＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣y，
∵∠AOM＝3∠A′OB，
∴∠A′OB＝（90°﹣y），
∵∠AOP+∠A′OP+∠A′OB＝60°，
∴y+y+（90°﹣y）＝60°，
解得，y＝18°．
答；∠AOP的值为或18°．

（3）如图4，当∠A′OB＝150°时，由图可得：
∠A′OA＝∠A′OB﹣∠AOB＝150°﹣60°＝90°，
又∵∠AOP＝∠A′OP，
∴∠AOP＝45°，
∴∠BOP＝60°+45°＝105°；
如图5，当∠A′OB＝150°时，由图可得：
∠A′OA＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
又∵∠AOP＝∠A′OP，
∴∠AOP＝75°，
∴∠BOP＝60°+75°＝135°；
当射线OP在MN下面时，∠BOP＝75°或45°．
综上所述：∠BOP的度数为105°或135°或75°或45°．

14．解：如图所示：

（1）设∠AOD＝5x°，
∵∠BOC＝∠AOD
∴∠BOC＝•5x°＝3x°
又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，
∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，
又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，
∴5x+3x＝240
解得：x＝30°
∴∠AOD＝150°；
（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，
∴∠BOC＝90°，
①若线段OB、OC重合前相差20°，则有：
20t+15t+20＝90，
解得：t＝2，
②若线段OB、OC重合后相差20°，则有：
20t+15t﹣90＝20
解得：，
又∵0＜t＜6，
∴t＝2或t＝；
（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由如下：
∵旋转t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°
∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD
∴∠AOM＝∠AOC＝，
∠DON＝＝
∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON
＝150°﹣5t°﹣﹣
＝30°．
15．解：（1）因为∠AOD＝160°，
OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOB+∠BON
＝∠AOB∠BOD
＝（∠AOB+∠BOD）
＝∠AOD＝80°，
答：∠MON的度数为80°；
（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
①射线OC在OB左侧时，
如图：
∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝∠AOC∠BOD﹣∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
＝×180°﹣20°
＝70°；
②射线OC在OB右侧时，
如图：
∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC
＝∠AOC∠BOD+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）+∠BOC
＝（∠AOD﹣∠BOC）+∠BOC
＝×140°+20°
＝90°；
答：∠MON的度数为70°或90°．
（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，
∴根据（2）中的第一种情况，得
∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．
∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝150°﹣2t°．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，
解得t＝21．
根据（2）中的第二种情况，
观察图形可知：这种情况不可能存在∠AOB＝10°．
答：t的值为21秒．