中考数学二轮专题复习：相似三角形专题训练 (含答案)

中考数学 相似三角形专题训练

一、选择题：

1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（　　）

A． B． C． D．﹣

答案：D．

2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

答案：C

3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：① =；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③

答案D．

4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案C．

二、填空题：

5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO=　　．

答案：4．

6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=      时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

答案：或．

7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为          ．

故答案为113°或92°．

8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是          ．

答案：1．

9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=　　．

答案：．

10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为          ．

故答案为3：4．

三、解答题：

11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．

（1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．

【解答】解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，

∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，

∵∠DEF=∠B，

∴∠BDE=∠CEF，

∴△BDE∽△CEF；

（2）∵△BDE∽△CEF，

∴，

∵点E是BC的中点，

∴BE=CE，

∴，

∵∠DEF=∠B=∠C，

∴△DEF∽△CEF，

∴∠DFE=∠CFE，

∴FE平分∠DFC．

12.

如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．

①求证：△DAE≌△DCF；     

②求证：△ABG∽△CFG．

【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，

∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF；

②延长BA到M，交ED于点M，

∵△ADE≌△CDF，

∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，

∵∠MAD=∠BCD=90°，

∴∠EAM=∠BCF，

∵∠EAM=∠BAG，

∴∠BAG=∠BCF，

∵∠AGB=∠CGF，

∴△ABG∽△CFG．

13. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．

（1）求证：△ABF∽△BEC；

（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，

∵∠AFB+∠AFE=180°，

∴∠C=∠AFB，

∴△ABF∽△BEC；

（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，

在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，

∵BC=AD=5，

由（1）得：△ABF∽△BEC，

∴，即，

解得：AF=2．

∵△ADF∽△DEC，

14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．

（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD=ME　；

（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．

【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

∵DA=DC，∠ADC=90°，

∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=45°，

∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∵DA=DC，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∴∠MDE=45°，

∴MD=ME，

故答案为MD=ME；

（2）MD=ME，理由：

如图2，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

∵DA=DC，∠ADC=60°，

∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=30°，

∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∵DA=DC，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∴∠MDE=30°，

在Rt△MDE中，tan∠MDE=，

∴MD=ME．

（3）如图3，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

延长BE交AC于点N，

∴∠BNC=∠DAC，

∵DA=DC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴∠BNC=∠DCA，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=∠EBC，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∵∠ADC=α，

∴∠MDE=，

在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan．

15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，

∵AB∥DC，

∴∠BAF=∠F，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

在△AEB和△FEC中，

，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠DAF=∠BAF，

∴∠DAF=∠F，

∴DF=AD，

∴AD=DC+CF=DC+AB，

故答案为：AD=AB+DC；

（2）AB=AF+CF，

证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，

∴∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∴AB=CG=AF+CF；

（3）AB=（CF+DF），

证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵AB∥CF，

∴△AEB∽△GEC，

∴==，即AB=CG，

∵AB∥CF，

∴∠A=∠G，

∵∠EDF=∠BAE，

∴∠FDG=∠G，

∴FD=FG，

∴AB=CG=（CF+DF）．