中考数学二轮复习专题《相似三角形》练习卷 (含答案)

中考数学二轮复习专题

《相似三角形》练习卷

一              、选择题

1.若＝，则的值为(　　)

A.1         B.            C.            D.

2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（    ）

  A.                          B.                            C.                             D.

3.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB∶AC等于(　　)

A.BD∶CD         B.AD∶CD         C.BC∶AD         D.BC∶AC

4.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有(   )

A.1条              B.2条            C.3条             D.4条

5.如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝3，过点A作AE⊥BC于E，且AE＝3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE＝∠B，则AF＝(     )

A.2               B.                C.6                 D.2

6.如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为(      )

A.4cm2                        B.6cm2                         C.8cm2                           D.10cm2

7.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝(     )

A.             B.2            C.2                    D.1

8.如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠ACD.如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED.则BE的长是(      )

A.4         B.          C.3           D.2

二              、填空题

9.已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝           ．

10.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝     时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.

11.如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE＝∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是　　   ．

12.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8m，小华的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是　　    ．

13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是     ．

14.如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2028个正方形的面积为　   　.

三              、解答题

15.已知：（x、y、z均不为零），求的值.

16.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点，

(1)求证：△ADQ∽△QCP；

(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.

17.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.

已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.

18.(1)如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点G，求证：AE＝BF；

(2)如图2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；

(3)在(2)的基础上，若AB＝m，BC＝n，其他条件不变，请直接写出AE与BF的数量关系；　   　.

19.△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M.

(1)求证：AM•BC＝AD•EF；

(2)设EF＝x，EH＝y，写出y与x之间的函数表达式；

(3)设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值.

20.如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A、B、C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与△COD 相似时点 P 的坐标．

参考答案

1.D

2.B

3.A

4.C

5.D

6.B

7.B

8.B.

9.答案为：．

10.答案为：或.

11.答案为：1：4．

12.答案为：4．

13.答案为：.

14.答案为：52028.

15.解：设，则，，

∴.

16.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点

∴PC＝﹣BC，CQ＝DQ＝CD，且BC＝CD＝AD

∴PC：DQ＝CQ：AD＝1：2

∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°

∴△PCQ∽△ADQ

(2)∵△BMP∽△AMD

∴BM：DM＝BP：AD＝3：4

∵AB＝10，

∴BD＝10，

∴BM＝

同理QN＝.

17.解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，

∴BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，即＝，

解得AB＝17(m).

经检验，AB＝17是原分式方程的解.

答：河宽AB的长为17 m.

18.解：(1)证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠C，AB＝BC.

∵AE⊥BF，

∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，

∵∠ABM＋∠CBF＝90°，

∴∠BAM＝∠CBF.

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF(ASA)，

∴AE＝BF；

(2)解：如图2中，结论：AE＝BF，

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠C，

∵AE⊥BF，

∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，

∵∠ABM＋∠CBF＝90°，

∴∠BAM＝∠CBF，

∴△ABE∽△BCF，

∴＝＝，

∴AE＝BF.

(3)结论：AE＝BF.

理由：：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠C，

∵AE⊥BF，

∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，

∵∠ABM＋∠CBF＝90°，

∴∠BAM＝∠CBF，

∴△ABE∽△BCF，

∴＝＝，

∴AE＝BF.

19.解：(1)∵四边形EFGH是矩形，

∴EF∥BC，

∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC，

∴AM⊥EF，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴(相似三角形的对应边上高的比等于相似比)；

(2)∵四边形EFGH是矩形，

∴∠FEH＝∠EHG＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠HDM＝90°＝∠FEH＝∠EHG，

∴四边形EMDH是矩形，

∴DM＝EH，

∵EF＝x，EH＝y，AD＝8，

∴AM＝AD﹣DM＝AD﹣EH＝8﹣y，

由(1)知，，

∴y＝8﹣x(0＜x＜12)；

(3)由(2)知，y＝8﹣x，

∴S＝S矩形EFGH＝xy＝x(8﹣x)＝﹣(x﹣6)2＋24，

∵a＝﹣＜0，

∴当x＝6时，Smax＝24.

20.解：(1)在 Rt△AOB 中，OA＝1，tan∠BAO＝3，

∴OB＝3OA＝3

∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．

∴A，B，C 的坐标分别为(1，0)，(0，3)，(﹣3，0)，

代入解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；

(2)∵抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x＋3，

∴对称轴为 l＝﹣1，

∴E 点坐标为(﹣1，0)，如图，

①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，

此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；

②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点，△EFC∽△EMP，

∴ ＝ ＝ ＝

∴MP＝3ME，

∵点 P 的横坐标为 t，

∴P(t，﹣t2﹣2t＋3)，

∵P 在第二象限，

∴PM＝﹣t2﹣2t＋3，ME＝﹣1﹣t，

∴﹣t2﹣2t＋3＝3(﹣1﹣t)，

解得 t1＝﹣2，t2＝3，(与 P 在二象限，横坐标小于 0 矛盾，舍去)，

当 t＝﹣2 时，y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3

∴P(﹣2，3)，