2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与四边形附答案

这是一份2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与四边形附答案，共71页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与四边形附答案
1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．

(1)请写出抛物线的顶点坐标 　 　；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 　 　；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 　 　．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．









2．如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


















3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段DE上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程：
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接OB、BP，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明理由．












4．如图，抛物线交x轴于A(-2，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，连AC、BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（备用公式：点与点的距离为）

(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，平面内是否存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
















5．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且BO＝3AO＝3．直线y＝﹣x+1分别交x轴，y轴于D，E两点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点F．

(1)求抛物线解析式；
(2)点P为抛物线在第四象限内一点，过点P作x轴的垂．交直线y＝﹣x+1于点Q．过点P作PG⊥DE，垂足为G．设点Q的横坐标为m，求PG的最大值以及此时m的值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的一点，点N为抛物线上的一点．请问是否存在以B，C，M，N为顶点的平行四边形，若存在请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．















6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．


















7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A和点C（0，3）．

(1)求点B坐标及二次函数的表达式；
(2)如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD上方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段PF的长度；若不存在，请说明理由．















8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴交于点与轴交于点、，且点，，过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的点，且在的上方，作平行于轴交于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请写出点，的坐标，如果不存在，请说明理由．

















9．抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣6，0），B（2，0），交y轴于点C．CD∥AB交抛物线于点D．点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段CD方向运动．设点E的运动时间为t（0＜t＜4）．过点E作CD的垂线分别交AC，AB于点F，G，以EF为边向左作正方形EFMN．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点M落在抛物线上时，求出t的值；
(3)设正方形EFMN与△ACD重合部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围．


















10．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



















11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；
（3）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．




















12．如图1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．

（1）求的周长．
（2）已知点是直线下方抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值．
（3）如图2，点为抛物线的顶点，对称轴交轴于点， M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
















13．已知抛物线经过点A(-3，-7)，B(3，5)，顶点为点E，抛物线的对称轴与直线AB交于点C．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式．
（2）在抛物线上A，E两点之间的部分(不包含A，E两点)，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

















14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B(3，0)，C(0，)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MBC为等腰三角形，若存在，求M的坐标；
（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

















15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点与轴交于点、．且点，，点为抛物线上的一动点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，过点作平行于轴，交抛物线于点，若点在的上方，作平行于轴交于点，连接，，当时，求点坐标；
（3）设抛物线的对称轴与交于点，点在直线上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．













16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），连接BC，过点A作AD平行BC交于抛物线另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．
（2）若点E是直线BC下方抛物线上一点，连接EA、ED、EB，当取最大值时，求点E的坐标．
（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点F，将抛物线沿射线FA的方向平移个单位长度得到新的抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点G，点D的对应点为点H，原函数对称轴上有一个动点M，新抛物线y'上有一个动点N，若以H、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．















17．如图，在直角坐标系中，抛物线：与轴交于、两点（在点的左侧），与轴交于点．
（1）求直线解析式；
（2）若点是第一象限内拋物线上一点，过点作轴交于点，求线段的最大值及此时的点的坐标；
（3）点是直线上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．




















18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．(1)，，
(2)①a；②或

【分析】（1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求 a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”为；
故答案为：，，．
（2）①当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
②抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当时，
∵L开口向上，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当时，，当时，，
解得：；
（ii）当时，
∵L开口向下，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当时，，当时，，
解得：，
综上所述：或．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
2．(1)抛物线的解析式为；
(2)的最大值为；此时，点；
(3)满足条件的点P有4个，坐标分别为或或或．

【分析】（1）将，代入抛物线，即可求函数解析式；
（2）求出直线的解析式为，设，，根据得二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当，②当，③当时．利用菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：将，代入抛物线，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
作轴交于点G，

设，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
此时，；
（3）解：存在，理由如下：
∵抛物线，
∴顶点D的坐标为，
∵，
∴，
设，则，，
以B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况：

①当时，则，
∴P或P；
②当时，则，
解得，
∴P；
③当时，则，
解得（舍），
∴P；
综上所述，满足条件的点P有4个，坐标分别为或或或；
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像及性质、掌握菱形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
3．(1)
(2)或或
(3)最小值是

【分析】（1）先求出点B的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）分3种情况求解即可；
（3）连接，由对称性可知，由平行四边形的判定与性质可知，从而，可知当O，Q，D共线时的值最小，然后求出直线的解析式即可求解．
【详解】（1）解：由点的纵坐标知，正方形的边长为5，
则，故点B的坐标为，
则，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
如图1，

当四边形菱形时，则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
如图2，

当四边形菱形时，则，设，，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴；
如图3，

当四边形菱形时，则，设，，
∵与对称轴垂直，
∴点N在对称轴上，
∴，
∴，
∴．
综上可知，点N的坐标为或或；
（3）解：如图4，

连接，由对称性可知．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是定值，
∴最小时，也就是最小，
∴当点O，Q，D共线时，的值最小．
设的解析式为，把代入得，，
∴，
∴，
当时，，
∴最小值是．
∵，
∴，
即的最小值为．

最小值是
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，菱形的性质等知识，分类讨论是解（2）的关键，确定Q点的位置是解（3）的关键．
4．(1)
(2)PN=，当m=时，PN有最大值，最大值为
(3)平面内存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．点D的坐标为(3，5)或(，)

【分析】（1）将A(-2，0)、B(3，0)代入即可计算出结果；
（2）表示出PQ＝，而∠PQN＝，故PN＝，进而可求得；
（3）分为AQ＝AC，AQ＝CQ和AC＝CQ，列方程求得．
【详解】（1）解：将A(-2，0)、B(3，0)代入得
，
解得
所以，抛物线的表达式为．
（2）由，得C(0，3)．
将点B(3，0)、C(0，3)代入y=kx+b，得
解得
所以，直线BC的表达式为y=-x+3．
由M(m，0)，得P(m，)，Q(m，-m+3)．
∴PQ=-(-m+3)=
∵OB=3=0C
∴∠OBC=∠OCB=
∵PM⊥x轴
∴∠PQN=∠BQM=
∵PN⊥BC
∴∠PQN=∠QPN=
∴PN===
∴当m=时，PN有最大值，最大值为．
（3）假设存在．
∵以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形
∴以A、C、Q为顶点的三角形一定是等腰三角形
∵A(-2，0)、C(0，3)、Q(m，-m+3)
∴AC==，AQ==，CQ==
①当AC=AQ时，=
解得m=1或m=0（舍）
此时，点 (1，2)，
此时，相当于将Q1向右平移两个单位，在向上平移3个单位得D1
∴对应点的横坐标为：1+2=3，纵坐标为2+3=5，
∴ (3，5)
②当AC=CQ时，=
解得m=或m=（舍）
∴点 (，3)，
此时，相当于将Q2向左平移两个单位，在向下平移3个单位得D2
∴对应的点(2，)
③当AQ=CQ时，=
解得m=（舍）
综上可得，平面内存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．点D的坐标为(3，5)或(2，)．
【点睛】本题考查二次函数及其图象的性质，分类讨论思想，属于中考压轴题，解决问题的关键熟练掌握二次函数相关知识，并能正确分类并列方程．
5．(1)
(2)PG有最大值为，
(3)点M的坐标为或或(1,0)

【分析】(1)要求解析式，则求出a，b的值即可，带入点A，B坐标解方程组即可求出a，b的值；
(2)要求最大值即把PG的的长度用函数表示，然后将该问题转化为求函数最值问题；
(3)分三种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【详解】（1）解：∵BO=3AO=3，
∴OA=1，OB=3，
∴点A(-1,0)，B(3,0)
把A，B点坐标带入解析式可得，
解得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：将x=0代入y=-x+1，得y=1，
将y=0代y=-x+1，得x=1，
∴点E的坐标为(0，1)，点D的坐标为(1，0)
∴OE=OD=1
∴为等腰直角三角形，
，
设点Q的坐标为(m,-m+1)
则点P的坐标为，
∴，
∵PQ⊥EC
∴，
在中，，，
∴，
故当时，PG有最大值为；
（3）解：存在以B，C，M，N为顶点的平行四边形，
当存在平行四边形CBNM时，如图2，设点M的坐标为(1，m1)
点N的坐标为，
设对角线的交点为K
∴已知点B坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,-2)
∴由中点坐标公式可得，
，
解得，，
∴点M的坐标为；

②当存在平行四边形NCBN时，如图3，
设点M的坐标为
点N的坐标为，
设对角线的交点为K
∵已知点B坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，-2)
∴，
，
解得，
∴点M的坐标为；

当存在平行四边形CNBM时，如图4，
设点M的z坐标为，
点N的作坐标为，
设对角线的交点为K
∵已知点B坐标为(3,0)，点C坐标为(0,-2)
∴，
，
解得，，
点M的坐标为(1,0).

综上所述，点M的坐标为或或(1,0) ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6．(1)
(2)S的最大值为4
(3)或或．

【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设出M点的坐标，利用，即可进行解答；
（3）由，则，是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：连接 ，

∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为，
∴


，
∵，
当时，S有最大值为：．
（3）解：设，
根据平行四边形的性质知，且，则，为平行四边形的边，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为，
则，
由，得，
整理得：
所以或
解得或或（不符合题意，舍去），
∵，
∴不可能是对角线
∴由此可得：或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．
7．(1)B（0，﹣3），y＝﹣x2+2x+3
(2)平行四边形，D（4，﹣5）
(3)存在，PF＝4或

【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）由题意知，DE//AC且DE＝AC，可证四边形ACED是平行四边形，设点D（a，﹣a2+2a+3），则点E（a﹣3，﹣a2+2a+6），点E在直线AB上，将点E坐标代入求解即可；
（3）由题意知，PF∥y轴，则∠PFC＝∠OCM，∴∠CPF＝∠COM＝90°或∠PCF＝∠COM＝90°时，以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似，分两种情况求解：①当∠CPF＝∠COM＝90°，点P与点C关于抛物线对称，可知PC＝2，如图1，作DG⊥y轴于点G，则DG＝4，OG＝5，根据计算求解即可；②当∠PCF＝∠COM＝90°时，如图2，作CH⊥PF于点H，则∠OCH＝90°，，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，3），表示PH，CH，根据正切值求的值， 由tan∠CFH＝tan∠DCG＝，知，计算求解FH的值，由PF＝PH+HF计算求解即可．
(1)
解：将y＝0，代入y＝x﹣3中得x＝3，
∴A（3，0），
令x＝0，得y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
将A（3，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝﹣x2+bx+c，得，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
(2)
解：由题意知，DE//AC且DE＝AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
设点D（a，﹣a2+2a+3），则点E（a﹣3，﹣a2+2a+6），
将点E代入y＝x﹣3得：﹣a2+2a+6＝a﹣3﹣3，
a2﹣a﹣12＝0，
解得a1＝﹣3（舍），a2＝4，
∴D（4，﹣5）．
(3)
解：存在．
由题意知，PF//y轴，则∠PFC＝∠OCM，
∴∠CPF＝∠COM＝90°或∠PCF＝∠COM＝90°时，以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似，分两种情况求解：
①当∠CPF＝∠COM＝90°，如图1，作DG⊥y轴于点G，

∵PF//y轴，
∴PC⊥y轴，
∴点P与点C关于抛物线对称，
由二次函数图像的轴对称性得PC＝2，
又D（4，﹣5），
∴DG＝4，OG＝5，
∴tan∠DCG＝，
∴tan∠PFC＝tan∠DCG＝，
即，
又CP＝2，
∴PF＝4；
②当∠PCF＝∠COM＝90°时，如图2，作CH⊥PF于点H，

∴∠OCH＝90°，即∠DCG+∠FCH＝90°，
又∵∠PCH+∠FCH＝90°，
∴∠DCG＝∠PCH，
∴tan∠PCH＝tan∠DCG＝，
即，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
则点H（m，3），
∴PH＝﹣m2+2m+3﹣3＝﹣m2+2m，
CH＝m，
∴，
解得，
∴CH＝，PH＝，
又tan∠CFH＝tan∠DCG＝，
∴，
∴FH＝3，
∴PF＝PH+HF＝；
综上所述，存在这样的点P使得以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似，此时PF＝4或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与平行四边形的综合，二次函数与相似三角形的综合，正切等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
8．(1)
(2)点，时，
(3)存在， ，，，或，

【分析】（1）先根据抛物线对称轴得到，然后把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出C点坐标，得到AC=4，设，则，再由进行求解即可；
（3）设则然后分AC为平行四边形的边与对角线两种情况求解即可，
(1)
解：抛物线的对称轴为，
∴，
，
抛物线解析式为，
点，，
，
，
二次函数的解析式为；
(2)
解：轴，点，
当时，，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，，
由点、的坐标得，直线的解析式为；
设，
，
，
，
∴
当时，四边形的面积最大，
即点，时，四边形的面积最大为；
(3)
解：设则
① 当为平行四边形的边，如图，

∴AC∥DQ，AC=DQ，
点的纵坐标为，
又∵点Q在抛物线上，
∴，
解得，
∴点Q的坐标为或，
当Q点坐标为时，
，
∴，
∴，
解得或，
∵点P在第一象限，且在AC的上方，
∴，
∴此时不符合题意；
当Q点坐标为时，
，
∴，
∴，即
解得或，
∵点P在第一象限，且在AC的上方，
∴，
∴
∴D点坐标为，Q点坐标为
② 为平行四边形的对角线时，如图，

连接交于点，
，，
，，
∴M的坐标为，
设点Q的坐标为，
∴，
解得或，
同理可得，
∴，
∴点D的坐标为（3，2），点Q的坐标为（1，8）；
综上所述，存在Q使得以A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，此时D、Q的坐标分别为，或（3，2），（1，8）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)S＝

【分析】（1）将，代入，列方程组求、的值；
（2）由相似三角形对应边成比例的性质，用含的代数式表示线段、的长，从而用含的代数式表示点的坐标，代入抛物线的解析式列方程求出的值；
（3）在点的运动过程中，正方形与重合部分的图形分别为正方形、五边形和梯形，用含的代数式分别表示正方形的边长及线段、的长，分三种不同的情况求出关于的函数关系式和相应的自变量的取值范围．
（1）
解：把，代入，
得，解得，
抛物线的解析式为．
（2）
解：抛物线与轴交于点，
，
，，
，
，
，
，，，，，
当点落在抛物线上时，则，
整理，得，，（不符合题意，舍去），
．
（3）
解：由点，关于抛物线的对称轴对称，得该抛物线的对称轴为直线，
点与点关于直线对称，
，
当点与点重合时，则，解得；
当点落在上，如图1，

由，得，
，
，
，
，
，
解得．
当时，如图2，

，
当时，如图3，

交于点，作轴于点，
，
，
，
；
当时，如图4，

交于点，交于点，则，
，
，
．
综上所述，．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求函数关系式以及动点问题中的求函数关系式和自变量的取值范围等知识，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例的性质，用转化法将图形的面积用含的代数式表示，最后整理出关于的函数关系式，特别是解第（3）题时要进行分类讨论，以免漏掉某种情况．此题涉及的知识点和方法较多，难度较大，属于考试压轴题．
10．(1)
(2)（-2，2）或（0，4）
(3)存在，点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．

【分析】（1）根据待定系数法，将A(−4，0)、B(2，6)代入，计算即可；
（2）先确定点A点C坐标，再运用待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，m+4），然后根据OD将△AOB的面积分成1：2的两部分计算即可；
（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．
【详解】（1）解：将A(−4，0)、B(2，6)代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵ A点坐标为（-4，0），OA＝OC
∴C点坐标为（0,4）
设直线AB的解析式为：，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△AOB的面积分成1：2的两部，即或，
∴或，解得：或m=0
∴点D的坐标为（-2，2）或（0，4）；
（3）解：存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，
轴，，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，
点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，
，，
∴，，
即，，
解得：，，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．

【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点，正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
11．（1）；（2）；（3）点Q的坐标为或，或或
【分析】（1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交BC于点F，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值；
（3）分情况讨论，BC，BP，BQ为矩形的对角线，设，，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得,进而勾股定理求得的值，即可求得的值，进而求得点的坐标，
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵对称轴为，
∴，
将A，B代入解析式得：，
解得，
∴；
（2）∵，，
∴直线BC的解析式为：，
设，
作轴交BC于点F，则，
∴
，
当时，有最大值为；

（3）设，，
由（1）知，，
①若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵，
∴，
即：，
解得或，
∴或，
∴或，
②若BP为矩形得对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵，，
即：，解得，
∴，
③若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵，
∴，
即：，
解得，
∴，
综上，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（1）；（2）4；（3）存在，点N的坐标为：（-4，-3）或（−-1，）或（-1，-）或（，-）．
【分析】（1）利用抛物线的表达式，分别求出点A，点B，点C的坐标，根据两点间的距离公式可求出△ABC的周长；
（2）过点P作x轴的垂线，与AC交于点Q，设出点P的坐标，表达出点Q的坐标，进行表达△APC的面积，利用二次函数最值问题，求出此时面积的最大值；
（3）分类讨论：当CE为边，且四边形CEM1N为菱形；当CE为边，且四边形CENM为菱形；当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形，再利用菱形的性质求出点N的坐标即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+x-4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
∴令x=0，则y=-4；令y=0，则x=-4或2，
∴A（-4，0），B（2，0），C（0，-4）；
∴AB=6，AC=4，BC=2，
∴△ABC的周长=6+4+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线，与AC交于点Q，

∵A（-4，0），C（0，-4），
∴直线AC的表达式为：y=-x-4，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m-4），
∴Q（m，-m-4），
∴PQ=（-m-4）-（m2+m-4）=-m2-2m，
∴S△PAC=S△PAQ+S△PCQ
=•PQ•（xP-xA）+•PQ•（xC-xP）
=•PQ•（xC-xA）
=×（-m2-2m）×（0+4）
=-m2-4m
=-（m+2）2+4，
∵-1＜0，
∴当m=-2时，△PAC的面积最大为4；
（3）存在，此时点N的坐标为：（-4，-3）；（−-1，）；（-1，-）；（，-）．
由y=x2+x-4，可知，对称轴为直线x=-1，
∴E（-1，0），
连接CE，可得CE=，
①当CE为边，且四边形CEMN为菱形时，如图所示，

此时CE=M1E=，过点M1作M1G⊥x轴于点G，
设M1（t，-t-4），
则M1G=-t-4，OG=-t，EG=-t-1，
∴（-t-1）2+（-t-4）2=（）2，解得t=0（舍去），t=-5，
∴M1（-5，1），N1（-4，-3）；
②当CE为边，且四边形CENM为菱形时，如图所示，

此时CE=CM2=CM3=，过点M2作M2H⊥y轴于点H，过点M3作M3T⊥y轴于点T，
∵AO⊥OC，
∴AO∥M2H，AO∥M3T，
∴CH：CO=M2H：OA=CM2：CA=：4，
CT：CO=M3T：OA=CM3：CA=：4，
∴CH=M2H=，CT=TM3=，
∴M2（−，-4+），M3（，-4-），
∴N2（−-1，），N3（-1，-）；
③当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示，

取CE的中点K，过点K作MN⊥CE，交AC于点M，
∴K（-，-2），
由E（-1，0），C（0，-4）的可知，直线EC的表达式为：y=-4x-4，
∴直线M4N4的表达式为：y=x-，
联立，
∴M4（-，-），
∴N4（，-）．
综上可知，此时点N的坐标为：（-4，-3）或（−-1，）或（-1，-）或（，-）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查三角形的面积，菱形的存在性等，分类讨论思想；利用分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键．
13．（1）y=2x-1，y=-x2+2x+8；（2）存在，D(-1，5)；（3）点P的坐标为(1+，2)或(1-，2)或(6，-16)或(-4，-16)
【分析】（1）设直线的解析式为，把点，代入，即可得直线AB的解析式，把点，代入抛物线，即可得抛物线的解析式；
（2）把抛物线化为顶点式，设点,，过点作轴的平行线交直线于点，则，即可得，，根据解得，即可得；
（3）设点，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：①当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，解得，当时，，解得或，即可得；②当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，解得，当时，，方程无解，舍去；③当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，解得，当时，，解得或；即可得．
【详解】解：（1）设直线的解析式为，
把点，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
把点，代入抛物线，
得，解得，
抛物线的解析式为．
（2），
顶点，
设点，，
过点作轴的平行线交直线于点，则，

，
，

，
解得或舍去，
存在点，使得
（3），，
设点，
当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：
①当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，
点在轴上，
，
当时，，
解得或，
点坐标为或，
②当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，
点在轴上，
，
当时，，
方程无解，舍去，
③当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，
点在轴上，
，
当时，，
解得或
点坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，平行四边形，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
14．（1）；（2）存在，M的坐标为(1，)或(1，)或(1，)或(1，)或(1，)；（3）存在，Q的坐标为(，)或(，)或(，)
【分析】（1）用待定系数法将点坐标带入抛物线解析式，解二元一次方程组求解即可；（2）因为等腰三角形MBC，分类讨论：①以M为顶点，则MB2=MC2；②以B为顶点，则MB2=CB2；③以C为顶点，则CB2=MC2；利用两点间距离公式算出对应值，解方程即可；（3）利用等面积法求点P坐标，再假设存在以点P，C，N，Q为顶点的平行四边形，分类讨论，利用平行四边形对角线互相平分列式计算即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点B(3，0)，C(0，)
∴，解得b=﹣2，c=﹣3
∴该抛物线的解析式为．
（2）存在．∵点M在抛物线对称轴x=1上，
∴设M（1，m）
∵△MBC为等腰三角形，M（1，m），B(3，0)，C(0，)，
故分3类情况讨论：
①以M为顶点，则MB2=MC2，即，
解得m1=﹣1；
②以B为顶点，则MB2=CB2，即，
解得m2=，m3=；
③以C为顶点，则CB2=MC2，即，
解得m4=，m5=；
综上，M的坐标为(1，)或(1，)或(1，)或(1，)或(1，)．
（3）如图，过点P作PE⊥x轴，交BC于E

∵B(3，0)，C(0，)
∴直线BC解析式为y=x－3
设点P（p，），则点E（p，）
∴
∴
∴当时，有最大值，即点P到直线BC的距离最大，此时点P（，）
∵点Q是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点
∴设点Q（q，），N（1，n）
∵以点P，C，N，Q为顶点的平行四边形
∴分类讨论：
①以PC，NQ为对角线，则，
∴，
∴点Q（，）
②以QC，NP为对角线，则，
∴，
∴点Q（，）
③以QP，NC为对角线，则，
∴，
∴点Q（，）
综上，点Q的坐标为(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题考查了二次函数和等腰三角形、平行四边形综合，利用解析几何法设点坐标是解决本题的关键，是压轴常见题型．
15．（1）；（2），；（3），，，
【分析】（1）直接将，代入，求解即可；
（2）先求出AB的解析式，设点的横坐标为，则，，用t表示出PD，最后利用求出结果；
（3）分三种情况讨论解答：①当EM为平行四边形的对角线时；②当EP为对角线时；③当EQ为对角线时．
【详解】（1）将点，分别代入得
，
，
二次函数的解析式为；
（2）轴，点，
当时，，
，，
，
，
设直线的解析式为，将，分别代入得
，
解得：，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，则，
，
，

函数，当时，有，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得：，，
点，；
（3）∵，
∴当x=2时，y=-2+5=3，
∴M(2,3),
设P(m，，，而E(-1，0)，
①当EM为平行四边形的对角线时，(平行四边形的对角线互相平分)得：
，
解得 (舍)，
∴点Q的坐标为（-5,10）；
②当EP为对角线时，
，
解得，
∴点Q的坐标为（-1,6）或（0,5）；
③当EQ为对角线时，
，
解得（舍），
点Q的坐标为（9,-4），
综上所得：，，，．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用．
16．（1），（6，8）；（2）（3，）；（3）（1，），（1，），（1，）
【分析】（1）将点A、C的坐标代入，得出抛物线的解析式，从而得出点B的坐标，继而得出直线BC的解析式，结合已知得AD的解析式，与抛物线联立即可求解；
（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，设点E的坐标为（t，），则点M的坐标为（t，t+2），得出关于t的函数关系式，配方得出当t=3时，有最大值，从而得出点E的坐标；
（3）分①MG是对角线时，②HG是对角线时，③MH是对角线时，三种情况，利用平形四边形的性质和中点公式即可求解．
【详解】解：（1）∵A（-2，0），C（0，-4）在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
当y=0时，，
解得x=4或-2
∵A（-2，0），∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，解得：
∴直线BC的解析式为y=x-4，
∵AD//BC，
∴设直线AD的解析式为y=x+c，
∴0=-2+c，
∴c=2，
∴直线AD的解析式为y=x+2，
联立，解得：或
∴点D的坐标（6，8），
（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，
设点E的坐标为（t，），则点M的坐标为（t，t+2）
∴
∴
∴当t=3时，有最大值，此时点E的坐标为（3，），

（3）∵点C关于x轴的对称点为点F，
∴点F的坐标为（0，4）
∵A（-2，0），
∴将抛物线沿射线FA的方向平移个单位长度得到新的抛物线y'，则相当于将抛物线向左平移了2个单位，向下平移了4个单位，
∴新的抛物线y'的解析式为，
∵点D的坐标（6，8），
∴点H的坐标（4，4），
联立，解得：，
∴点G的坐标（2，-4），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设点M的坐标（1，m），点N的坐标（n，），
∵以H、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①当MG是对角线时，MG和HN互相平分；
∴，解得：，
∴点M的坐标为（1，），
②当HG是对角线时，HG和MN互相平分；
∴，解得：，
∴点M的坐标为（1，），
③当MH是对角线时，MH和GN互相平分；
∴，解得：，
∴点M的坐标为（1，），
综上所述，点M的坐标为（1，），（1，），（1，）
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
17．（1）；（2），点P的坐标为（2，）；（3）或
【分析】（1）令二次函数x=0，y=0，求出A、B、C的坐标，再求直线BC的解析式；
（2）设点P的坐标（m，），根据得出m关于PE的函数关系式，从而得出PE的最大值及此时的点的坐标；
（3）分AC为边和AC为对角线两种情况加以分析即可；
【详解】解：（1）对抛物线，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，，
解得：x1=，x2=4
∴A（，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
把点C（0，3），B（4，0）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
（2）设点P的坐标（m，），
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴当时，有最大值，此时点P的坐标为（2，）；
（3）∵M在直线BC上，
设M（n，），以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则CM//AN；
设直线AN的解析式为：，
∵A（，0），代入得：，
∴直线AC的解析式为：，
∴，解得：；
∴
①以AC为边时，CN和AM为对角线，则CN和AM互相平分；
CN中点的横坐标为：，AM中点的横坐标为：，
∴，∴n=7；
∴

②当AC为对角线时，AC与MN互相平分，
AC中点的横坐标为：，MN中点的横坐标为：，
∴，∴n=-7；
∴
∴或
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法，坐标系中，面积的表示方法及平行四边形性质的运用，有难度．
18．（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、、
【分析】（1）分别令x=0、y=0即可求出A，B，C三点的坐标；
（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐标，最后根据求出m的值即可；
（3）分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，①当为对角线时，，，可得出，根据，即可求出答案；②当为对角线时，，，设，则，，建立方程求解即可；③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，根据在直线上，即可求得答案．
【详解】解：（1）令x=0得，
∴C点坐标（0，-8）
令y=0得：，
解得：，
∴A（-4,0），B（2,0）；
（2）设DE交x轴于F，

设AC解析式为，代入AC坐标得：
，
解得
∴AC解析式为，
∵直线与该抛物线交于点E，与交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）存在，
如图2，，
抛物线对称轴为直线，
以、、、为顶点的四边形是菱形，
分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，
①当为对角线时，，，
点为直线与抛物线对称轴的交点，即，
，
，
，；
②当为对角线时，，，
设，则，，
，
解得：，
，
③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，
在直线上，
，
，
综上所述，点的坐标为：，，，．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直．