2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与面积附答案

这是一份2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与面积附答案，共62页。试卷主要包含了如图，二次函数的图像经过，两点等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与面积附答案
1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，．点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线的表达式；
(2)连接，，求面积的最大值；
(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．






2．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若面积是面积的倍，求点的坐标；
(3)如图，交于点，交于点D．记，的面积分别为，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．







3．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，点D在函数图象上，轴且，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

(1)求b、c的值；
(2)如图1，连，线段上的点F关于直线l的对称点恰好在线段上，求点F的坐标；
(3)如图2，动点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别与交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等，且线段的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．





4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．







5．如图，抛物线与轴相交于两点（左右），交轴于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第四象限抛物线上，连接交轴于点，设的横坐标为，四边形的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，把沿轴翻折得到，交抛物线于，过点作轴的平行线，交的延长线于点，连接并延长交射线于点，若，求点的坐标．






6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物上一动点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为，为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．






7．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，C，点D是直线上的动点，过点D作轴，垂足为Q，交抛物线于点P．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于直线上方且面积最大时，求P的坐标；
(3)将D点向右平移5个单位长度得到点E，当线段与抛物线只有一个交点时，求D点横坐标m的取值范围．






8．如图，二次函数的图像经过，两点．

(1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点D的坐标；
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，的面积最大，并求出这个最大面积．
(3)在直线上有点E，作轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．








9．如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为．

(1)求点的坐标及直线的解析式为_____________，_____________．
(2)连接，交线段于点，求的最大值；
(3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值．若不存在，请说明理由．










10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点P为下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，请求出P点的坐标和的面积最大值；
(3)如图2，点N为线段上一点，连接，求的最小值．






11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点、，与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线的上方，
①如图1，当平分时，求点P的坐标；
②如图2，连接交BC于E点，设，求k的最大值．









12．如图，已知抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若在x轴上方的抛物线上有一动点P，且的面积为24，求点P的坐标；
(3)直线，垂足为C，直线l上有一点N，在坐标平面内一点M，是否存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．









13．抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是第一象限抛物线上动点，连接，．

(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标；
(3)如图2，设，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得恰好等于，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．







14．综合与探究如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．点是线段上的动点，过点D作轴垂足为E．

(1)请直接写出点A，B，C坐标以及直线的解析式；
(2)若的面积为S，请求出S关于m的函数关系式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
(3)如图2，将以点D为中心，顺时针旋转得到（点A与点对应），则当恰好落在抛物线上时，求出此时点D的坐标．







15．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点，不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)当的面积等于2时，求的值；
(3)在点运动过程中，Q到的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．










16．如图，已知抛物线≠与轴交于点，和点，，与轴交于点，且．

(1)求点的坐标和此抛物线的解析式；
(2)若点为第二象限抛物线上一动点，于点，是否存在点，使线段的长度最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点′恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．







17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．

(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
(2)线段绕点O旋转得到线段，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象W（包含A，B两点），若直线与图象W有公共点，求面积的最大值；
(3)在（2）中，当直线与图象W没有公共点时，点D纵坐标t的取值范围是______；当直线与图象W有公共点时，周长的最小值是______；若点F是图象W上一动点，四边形面积的最大值是______．







18．解答题
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于、两点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积；
(3)直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．(1)，，，
(2)当时，面积最大，最大值为8
(3)点Q的坐标为，

【分析】（1）分别令，，解方程即可求得A，B，C三点的坐标，设直线BC的表达式为，代入，，即可求得解析式；
（2）过点H作轴于点M，交BC于点K，设点H的坐标为，则点K的坐标为，则，再根据，求得当时，面积最大，最大值为8；
（3）以B，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，则存在或两种情况，设，两种情况分别讨论求出点坐标，利用矩形性质结合中点坐标即可求解．
【解析】（1）解：当时，，即，
解得：，，
∴，，
当时，
∴，
设直线BC的表达式为，
则，解得，
∴；
（2）过点H作轴于点M，交BC于点K，

设点H的坐标为，则点K的坐标为，
∴．
∴．
∵，，
∴当时，面积最大，最大值为8．
（3）以B，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，
则存在或两种情况，设
①当，延长，交轴于点，

∵，，
∴，即为等腰直角三角形，即：，
∵，则
∴为等腰直角三角形，则，则，
设解析式为，代入，，得，解得，
∴，
联立，解得或，
∴，
则矩形的性质结合中点坐标可得：，解得：，即：，
②当，交轴于点，

∵，，
∴，即为等腰直角三角形，即：，
∵，则
∴为等腰直角三角形，则，则，
同理可得解析式为：，
联立，解得或，
∴，
则矩形的性质结合中点坐标可得：，解得：，即：，
综上，点Q的坐标为，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数中特殊四边形问题，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
2．(1)
(2)或
(3)见解析


【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离列方程可得到点的坐标；
（3）利用相似三角形的判定与性质得到相似比即可得到的最大值．
【解析】（1）解：将代入
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：设直线的解析式为：，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

∴，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
∴，
解得：或；
∴或；
（3）解：存在最大值．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线交轴于点，则 ，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系内两点之间的距离，平行线的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3．(1)，
(2)
(3)或

【分析】（1）根据轴且，得出抛物线对称轴为，则即可求出b，再根据得出B点的坐标为，将点B的坐标代入即可求出c的值；
（2）设点F的坐标为，则点的坐标为，根据点B和点E的坐标，求出直线的解析式，再将的坐标代入，求出m的值，即可求得点F的坐标；
（3）设点P的坐标为，可表示出的长，作，垂足为R，则可求出的长，用n可以表示出 Q、R、N的坐标，在中用勾股定理可求出关于n的二次函数，利用二次函数的性质可以求出Q点的坐标．
【解析】（1）解：∵轴且，
∴抛物线对称轴为．
∴，解得：．
∵，，
∴B点的坐标为，
∴，解得或（舍去），
∴；
综上：，；
（2）解：设点F的坐标为．
∵对称轴为直线，
∴点F关于直线l的对称点的坐标为，
由（1）可知抛物线解析式为，
∴，
设直线的解析式为
∵直线经过点，，
∴，解得：，
∴直线的表达式为．
∵点在上，
∴，
∴点F的坐标为；
（3）存在点Q满足题意．
设点P坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∴当时，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
设直线的函数解析式为：，
将点，代入得：
，解得，
∴直线的函数解析式为：
∴，
∵，，，，
∴，，．
作，垂足为R，

∵，
∴，即，
∴．
①点Q在直线的左侧时，点Q的横坐标为，
把代入得：，
∴，，，
∴，
∴在中，，
即，
∴当时，取最小值1，．此时Q点的坐标为；
②点Q在直线的右侧时，
同理可得，，，
∴
则，
∴时，取最小值1．此时Q点的坐标为．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质，采用方程思想及分类讨论思想是解决本题的关键．
4．(1)
(2)，
(3)存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求得的解析式，过作轴交于点，进而求得的长，根据求得的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时的值，进而求得点的坐标；
（3）分当为平行四边形的对角线时， 当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【解析】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴交于点，
在中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴，
∴



，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时
∴；

（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，
当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得或，
∴或；
综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）分别用含有的代数式表示点的坐标，然后根据列方程求解即可；
（2）设点，作轴于点，利用同角的三角函数值相等的关系列出关于的方程，用含的代数式表示后利用切割法将四边形面积切割成两个三角形的面积求解即可．
（3）作P轴于，延长交轴于，延长交轴于，设利用翻折的性质以及等角的三角函数值相等列关系式，用含的代数式表示，继而得到，结合平行的性质得到，用含有的代数式表示，根据列方程求解即可．
【解析】（1）解：把代入，
，
把代入，







（2）解：设点
作轴于点，



且







（3）解：作P轴于，延长交轴于，延长交轴于，
轴
轴

设




∴解得：













（舍）


【点评】本题主要考查二次函数与三角形综合，熟练运用全等的性质，设点的坐标以及解直角三角形是解决本题的关键．
6．(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）设出交点式直接求解；
（2）作出辅助线将三角形面积用二次函数表示出来，然后求二次函数的最大值即可；
（3）将已知的边分类讨论，因为点横坐标已知，因此直接利用平移规律得出的横坐标，代入二次函数直接求解即可．
【解析】（1）抛物线与轴交于，两点，
可得
∴，解得
∴
（2）设，过作于，交于，
由（1）可知，，
令，即，
设解析式为：，
代入，，
，解得，
∴解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大，
此时．

（3）抛物线沿水平方向向左移动2个单位，
可得

∴顶点
∵，
①当是平行四边形的一条边时，
根据平移规律可得或
当，
当，
∴或
②当是平行四边形的对角线时，
可知中点
∵中点也为
∴
∴
∴
综上所述：或或
【点评】此题考查二次函数的综合题，解题关键是数形结合将三角形的面积最大值转化为求二次函数的最大值，解题技巧是将平行四边形的已知边进行分类讨论，通过平移规律直接求出横坐标即可．
7．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）求出B、C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，则，当时，面积最大，此时；
（3）求出，则 ，当经过抛物线的顶点时，，此时线段与抛物线有一个交点；当D点与C点重合时，，当D点与B点重合时，，所以时，此时线段与抛物线有一个交点．
【解析】（1）解：将代入，
，
解得，
，
令，则，
，
将，代入，
，
解得
．
（2）解：设，则，

，
∴当时，面积最大，
此时．
（3）解：
∴抛物线的顶点，
∵D点横坐标m，
，则 ，
如图1，当经过抛物线的顶点时，
，
解得，
此时线段与抛物线有一个交点；
如图2，当D点与C点重合时，，
解得，
当D点与B点重合时，，
时，此时线段与抛物线有一个交点；
综上所述：或时，此时线段与抛物线有一个交点．

【点评】本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．
8．(1)解析式为，D的坐标为
(2)点P的坐标为时，的面积最大，最大面积为4
(3)

【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，将解析式转化为顶点式，求出点坐标；
（2）过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N，利用，将三角形面积转化为二次函数求最值即可；
（3）过点B作轴交于点E，过点E作轴于点F，得到四边形为矩形，进行求解即可．
【解析】（1）解：把，代入得：
，解得，
∴这个二次函数的解析式为，
∵
∴这个二次函数图象的顶点D的坐标为；
（2）设，令，则，
解得
∴，
又∵，，
∴，
设直线的解析式为．
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图1所示：过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N，

则，
∴．
∴．
∴当时，△BCP面积的最大值为4．
此时点P的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得，
∴直线的的解析式为，
如图2，过点B作轴交于点E，过点E作轴于点F，
则四边形为矩形，

∵，
∴，
将代入直线的解析式得，，
∴，
∴．
即：当，以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
9．(1)；
(2)
(3)；理由见解析

【分析】（1）由于在轴正半上，将点代入抛物线即可求出点坐标；通过抛物线上存在两点和求出两点的坐标，设直线解析式，将和代入此解析式即可求出和，即可求出解析式.
（2）根据面积公式将转化为，利用平行线分线段成比例将转化，通过两点的坐标即可求出，欲求得知道和点的坐标，点为已知，作轴可知道点的纵坐标与点的纵坐标相同，根据点在直线上即可求出点横坐标，根据点到点的距离公式求出长度，也就可以求出，即可以推出用表达，从而求出最大值.
（3）过点作轴，延长交轴于点，通过已知条件易证三角形为等腰三角形，则推出，从而推出的坐标表，通过待定系数法求直线的解析式；依据既是抛物线的交点也是直线交点，构建一元二次方程，即可求出值.
【解析】（1）解：抛物线与坐标轴交于，，三点，且点和在轴上，在轴上
设，，
当时




或
，
当时


设直线的解析式为：
将点和点代入中，

直线的解析式为：
故答案为：；
（2）解：过点作轴交于于点，过点作交与点

点的纵坐标与点的纵坐标相同
为抛物线上的一点
设
又点在直线上，直线的解析式为：


又

，


的最大值为
故答案为：
（3）解：过点作轴，延长交轴于点

，




为等腰三角形

在中，



设直线的解析式为：
将点和点代入中，

直线的解析式为：
是直线和抛物线的交点，
令



（舍去）或
故答案为：
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查的是待定系数求解析式，平行线分线段成比例定理的推论，角度的存在性等相关内容，解本题的关键在于是否能将面积比转化为线段比，解本题的难点在于是否能通过已知角度条件建立有关的一次函数解析式.
10．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）过点作轴于点，交于点，利用，将三角形的面积转化为二次函数求最值，进行求解即可；
（3）过点在轴右侧作直线交轴于点，使，过点作于点，则：，可得：，当三点共线时，的值最小，即为的长，进行求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，解得：，
∴；
（2）解：，当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
过点作轴于点，交于点，设，则：，

∴，
∴；
∵，
∵点P为下方抛物线上一动点，
∴，
∴当时，的面积最大为，此时，即：；
（3）解：过点在轴右侧作直线交轴于点，使，过点作于点，则：，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，即为的长，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
11．(1)
(2)①；②

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）作轴，在上截取，则，证明，可证平分，求出的解析式，与二次函数解析式联立即可求出点P的坐标；
（3）作，交于点N，证明，结合，可求出，则当取得最大值时，k值最大，设，求出直线的解析式，可得，进而可求出结论．
【解析】（1）把、代入，得
，
∴，
∴；
（2）①令中，得，
∴．
作轴，在上截取，则，
连接交抛物线于点P，则P满足．

∵，，
∴，
∵轴，
∴．
∵，，
∴，
∴，即平分．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵
解得（舍去），．
当时，，
∴；
②作，交于点N，

∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴当取得最大值时，k值最大．
设，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
则M为，
∴
∴当时，有最大值，
∴k有最大值．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题，数形结合是解答本题的关键．
12．(1)
(2)或
(3)或或或或或

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出直线的解析式，令过点且与y轴平行的直线交于点，设，则，可得，求出的值即可得点坐标；
（3）设直线l与x轴的交点为F，根据角的关系可得，求出，再用待定系数法求出直线的解析式，设，，分三种情况讨论：①当为正方形的对角线时，；②当为正方形的对角线时，；③当为正方形的对角线时，；根据正方形的对角线互相平分，对角线长与边长的关系，利用勾股定理和中点坐标公式建立方程组，求解点M的坐标即可．
【解析】（1）将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令过点且与y轴平行的直线交于点，
设，则，
，
，
解得或，
或；
（3）存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，
理由：设直线l与x轴的交点为F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，

①当为正方形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
②当为正方形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
③当为正方形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：M点坐标为或或或或或．

【点评】本题考查待定系数法的应用，二次函数的图象及性质，解直角三角形，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键．
13．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为；
(2)的最小值为，此时
(3)存在，点的横坐标为

【分析】（1）依题意与轴交于点，抛物线对称轴为，得出，进而令，得出点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于点，得出，则，设，则的纵坐标为，,根据二次函数的性质即可求解；
（3）取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，依次求得直线，，的解析式，联立抛物线与直线解析式即可求解．
【解析】（1）解：∵与轴交于点，抛物线对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），
令，即,
解得：，
∴，
∵，设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）过点作轴交于点，

∴
∵，
∴
∴，
设，则的纵坐标为，
,
解得：，
∴
∴，
∴
∵，抛物线开口向下，有最大值，
当，时取得最大值，最大值为，
即的最小值为，此时；
（3）解：∵，
∴，
如图所示，取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
∴，解得：
∴直线的解析式为

则，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
联立
解得：
∴
设直线的解析式为
则
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：（舍去）或
∴的横坐标为．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，角度问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
14．(1)，
(2)，当时，S有最大值，最大值为
(3)或

【分析】（1）将代入即可求出点A和点B的坐标，将代入，求出点C的坐标，再用待定系数法，即可求出直线的解析式；
（2）根据题意，将n用m表示出来，根据三角形的面积公式，即可得出S关于m的函数关系式，将其化为顶点式，即可求出最值；
（3）根据平面直角坐标系中点的坐标和旋转的性质，将的坐标用m表示出来，再代入即可进行解答．
【解析】（1）解：将代入得：，
解得：，
∴，
将代入得：，
∴，
设直线的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）∵轴，，
∴ ，
∴，
∴，
∵把代入得：，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为．
（3）∵以点D为中心，顺时针旋转得到，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴点的横坐标为：，点的纵坐标为：，
即，
把代入得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
∴点D的坐标为：或．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，旋转的性质．
15．(1)；点的坐标为
(2)或
(3)存在；

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；把代入抛物线解析式，求出y的值，即可得出点C的坐标；
（2）连接，根据点的横坐标为，得出，根据，用m表示出的面积，从而得出关于m的方程，解方程即可；
（3）过点作于，先求出，根据，得出，当的面积取到最大值时，的长度取到最大值，求出面积的最大值为4，即可求出结果．
【解析】（1）解：把点 ，代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，则，
∴点的坐标为；
（2）解：连接，如图所示：

∵点的横坐标为，
∴，
∴

，
当时，，
解得：或；
（3）解：如图，过点作于，

∵，，
∴，
，
，
∴当的面积取到最大值时，的长度取到最大值，
，
∴当时，存在最大值4，此时，
∴Q到的距离存在最大值，最大值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，将求Q到距离的最大值转化为求的面积最大值．
16．(1)，
(2)存在，
(3)，

【分析】（1）已知抛物线过、两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）如图2，连接，过点作轴于点，设，，可得，，，根据，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由在抛物线的对称轴上，设出坐标为，，如图所示，过′作′对称轴于，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用得到′，由全等三角形的对应边相等得到′||，，表示出′坐标，将′坐标代入抛物线解析式中求出相应的值，即可确定出的坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线≠与轴交于点，和点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：，，；
（2）解：存在．
理由：如图，连接，，过点作轴于点，设，，

∵于点，当线段的长度最大时，的面积最大，
∴，，，
∴••••
••

，
∴当时，最大，此时，；
（3）∵抛物线的对称轴为，点在抛物线的对称轴上，
∴设，，
∵线段绕点逆时针旋转后，点的对应点′恰好也落在此抛物线上，
①当≥时，
∴′，′，
如图，过′作′对称轴于，设对称轴于轴交于点．
∴′′′，
∴′，
在′与中，
，
∴′，
∴′，，
∴′，，
代入得：，
解得：，舍去，
②当时，要使，由图可知点与点重合，
∵，
∴，
∴，．
∴满足条件的点的坐标为，或，．

【点评】的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
17．(1)，
(2)8
(3)或；；

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于点P，交于点E，连接，，则点，根据旋转的性质可得点，再求出直线的解析式，可得点，再由直线与图象W有公共点，可得点D在线段上运动，设点，，则，再由，即可求解；
（3）根据题意可得点D在点M的上方或直线的下方运动，可得t的取值范围；设点A关于抛物线对称轴的对称点，则点，连接交抛物线对称轴于点D，则最小值为的长，求出，可得周长的最小值；根据题意可得当最大时，四边形面积最大，过点F作轴于点H，再求出直线的解析式，设点，则点，可得，可得，即可求解．
【解析】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，设抛物线的对称轴交x轴于点P，交于点E，连接，，则点，

∵线段绕点O旋转得到线段，，
∴点，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点，
∵直线与图象W有公共点，
∴点D在线段上运动，
设点，，则，
∵，
当点D在线段上时，此时，
∴，
∴当时， 最大，最大值为8；
当点D在线段上时，此时，
，
∴当时， 最大，最大值为2；
综上所述，最大，最大值为8；
（3）解：∵直线与图象W没有公共点，
∴点D在点M的上方或直线的下方运动，
∴或；
∵，，
∴，
∵的周长，
∴当最小时，的周长最小，
如图，设点A关于抛物线对称轴的对称点，则点，连接交抛物线对称轴于点D，则最小值为的长，

，
∴周长的最小值是；
∵四边形面积，
∴当最大时，四边形面积最大，
如图，过点F作轴于点H，

设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴当时，最大，最大值为，
∴四边形面积的最大值为，
故答案为：或；；．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考压轴题．
18．(1)
(2)当P点坐标为时，
(3)Q的坐标为或

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，过P作轴于点E，交直线于点，先用待定系数法求得直线解析式为，，则，当最大时，四边形的面积最大，所以，所以，然后利用求二次函数最值方法即可求解；
（3）分两种情况：①当以为平行四边形的边时，②当以为平行四边形的对角线时，分别求解即可．
【解析】（1）解：把、代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点P在抛物线上，
∴可设，
过P作轴于点E，交直线于点，如图1：

∵，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线解析式为，，
∴，
当最大时，四边形的面积最大，
∴，
，
∴当时，最大值为8，此时，
∴当P点坐标为时，，
故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积；
（3）解：当以为平行四边形的边时，则在x轴上方有平行四边形，在x轴下方不存在平行四边形，
∵，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，(不符合题意，舍去)，
当时，，
∴；
当以为平行四边形的对角线时，则有平行四边形，
∵，
∴点P、Q关于线段AB中点对称，
设，则，
∴，
解得：，(不符合题意，舍去)，
综上，存在一点Q，Q的坐标为或，使得以点组成的四边形是平行四边形．

【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，本题属二次函数与面积、特殊四边形的综合题目，难度一般，属中考常考题目．