2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与角度附答案

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2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与角度附答案
1．如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．
（1）求直线BD的解析式；
（2）P为抛物线上一点，当点Р到直线BD的距离为时，求点P的坐标；
（3）如图2，直线交抛物线与M，N两点，C为抛物线上一点，当时，请探究点C到MN的距离是否为定值．






2．已知地物线与轴交于点，点在该抛物线上
（1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示；
（2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式；
（3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标．


3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与轴交于点．点为轴负半轴上一点，且，点，分别在线段和上．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）若线段被垂直平分，求的长．
（3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点，使得，再在这个二次函数的图象上取一点（不与点，，重合），使得，求点的坐标．








4．已知：抛物线交轴于，两点
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为1，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，连接，，且，在的上方作，分别交的延长线，轴于点，，连接，且，交于点，若点是的中点，求的值．







5．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．抛物线的对称轴与轴交于点E，点P在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线CM与轴交于点D，若，求点P的坐标；
（3）请探索：是否存在这样的点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．








6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为C(3，6)，与轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．








7．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E，若DE∶OE＝3∶4，求点D的坐标
②是否存在点D，使得DBA的度数恰好是BAC的2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，请说明理由．






8．如图，抛物线与x轴交于点和B两点，点在抛物线上．
　　　　
（1）直接写出B点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标；
（3）如图2，直线与抛物线交于点E、F，连接、分别交y轴于点M、N，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标．








9．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．








10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且点D的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，作轴于点E，点F在线段OC上，，线段BF和CE交于点G，当，求点P的坐标，并求此时的面积．




11．如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线经过A、B、C三点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标．
（3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图1，抛物线与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B 重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的长．









13．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线的顶点是，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．






14．如图1，抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；
（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标．








15．如图1，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点．

(1)求点B和点C的坐标；
(2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值．







16．已知如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，．

(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线第三象限部分上的一点，若满足，求点的坐标；
(3)若是轴上一点，在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出点的坐标，若不存在，请说明理由；








17．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求m的值．









18．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，若．

(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接，平面内存在点D，连接，使，连接，设P的横坐标为t，点D的横坐标为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交直线于点E，连接，作轴交的延长线于点F，交x轴于点G，点Q为抛物线第二象限上一点，连接，求线段的长．

参考答案：
1．（1）；（2）或；（3）C到MN的距离为定值
【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可；
（2）如图，连接 延长至 使 可得 证明 可得到的距离为： 过作的平行线，交抛物线于 求解为： 联立 解方程组可得答案；
（3）如图，过作于 证明 可得 联立： 可得 设 则 可得又 可得 解方程并检验可得结论．
【解析】解：（1）令 则

令




设为

解得：
直线为：
（2）如图，连接 延长至 使
由


同理：


到的距离为：
过作的平行线，交抛物线于

由中点坐标公式可得：
设为
为：

解得：
或
（3）如图，过作于








联立：
解得：

设 则






检验：不合题意舍去，取为定值．
所以点C到MN的距离为定值．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点坐标问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
2．（1）；（2）；（3），
【分析】（1）直接根据对称轴为代入a，b计算即可得出答案；
（2）首先根据点B的坐标及等边三角形求出AC，OC的长度，然后利用勾股定理求出AO的长度，从而得出c的值，最后将点B代入解析式中即可求解；
（3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P的位置从而可确定出点P的坐标．
【解析】（1）∵，
∴．
（2）∵为等边三角形，轴，，
∴，，
在中，

∴
把代入，得，
∴．
（3）如图，由（2）知为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点为圆心，为半径作圆，经过点．
∵在轴上，
∴点即为圆与轴的交点，
∵，
∴，
∵，
∴，
由轴对称性可知，．

【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键．
3．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把抛物线解析式写成交点式，根据常数项等于4列方程即可；
（2）连结．过点作于，根据垂直平分线性质，得到DQ∥BC，△QHD为等腰直角三角形,再根据，设，，则，根据列方程即可；
（3）过点作于，过作于．先求出G点坐标，再求出，设，．表示E点坐标代入解析式即可．
【解析】解：（1）二次函数的图象经过，两点，抛物线解析式可写成，即，
∴
∴
∴二次函数解析式为：．
（2）连结．
∵．
∴，．
∴．
∵线段被垂直平分．
∴，CQ=CP，
∵CD=CD，
∴△CDG≌△CDP，
∴．
∵
∴．
∴．
∴，
∴．
过点作于，．
设，，则，∴．
AH+DH=AD，
∴，
解得，．
∴．
∴．

（3）∵
∴，
∴．
过点作于，过作于．
∵
∴．
∵，．
∴．
∴．
∴．
设，．∴．
∴，代入得，
，
解得，（舍去），．
∴．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
4．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把A(-1，0)代入抛物线，即可求解；
（2）过点作轴于点，轴于点，先求出AB=2，再得出四边形是矩形，最后利用三角形的面积公式得出结果；
（3）先得出，，再得出，，在中，利用解直角三角形得出结果．
【解析】解：（1）∵抛物线经过点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）如图，过点作轴于点，轴于点，
当时，，解得，
∴，
∴
∵点的横坐标为，
∴当时，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴

（3）如图，在的延长线上取一点，使，连接
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，令
∵，
∴，
在中，
，
∴
∴
又∵，
∴，
又∵
∴，
过点作交的延长线于点，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
又∵，
∴，令，
∴
∴，
∴在中，
∴，，
过点作于点，
在中，
，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及的知识点有三角形全等、图形的面积计算、解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（1）y=-x2+2x+3；（2）P（1，2）或（1，-2）；（3）P（1，+1）或（1，--1）．
【分析】（1）设抛物线为y=a（x-1）2+4，然后将点（2，3）代入求出a即可解答；
（2）先求出点C的坐标，然后运用待定系数法确定直线CM的解析式，然后确定点D的坐标，从而说明△DEM∽△AEP，最后根据相似三角形的性质建立方程求解即可；
（3）分两种情况讨论，当点P在x轴上方时，先判断出点A，B，N，P四点共圆，得出PF=AF=NP，然后运用勾股定理求得AF和NF,进而求得n，求得PF、PE即可确定点E的坐标；当点P在x轴下方时，由对称性即可解答．
【解析】解：（1）设抛物线为y=a（x-1）2+4.
∵抛物线过点（2，3）
∴3=a（2-1）2+4，解得a=-1
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；
（2）如图1，令y=0，则-（x-1）2+4=0，解得x=-1或x=3，

∴A（-1,0）,B（3，0），
令x=0，可得y=3
∴C（0，3），
∵M（1，4）
∴运用待定系数法可得：直线CM的解析式为y=x+3
令y=0，则x+3=0，x=-3，
∴D（-3，0）
∵∠DEM=∠AEP=90°，∠DMB=∠APE.
∴△DEM∽△AEP，
∴
∵A（-1，0），E（1，0），D（-3，0），M（1，4）.
∴DE=4，ME=4，AE=2.
∴，即PE=2
∴P（1，2）或（1，-2）；
（3）存在，P的坐标为（1，+1）或（1，--1），理由如下：
如图2，①当点P在x轴上方时，连接BP，

∵PE是抛物线的对称轴，
∴∠APE=∠BPE，∠APB=2∠APE
∵∠ANB=2∠APE
∴∠ANB=∠APB
∴点A，B，N，P四点共圆，
设圆心F的坐标为（1，n），即PF=AF=NF，
∵A（-1，0），N（2，3）
∴
∴n2+4=1+（3-n）2，解得n=1
∴F（1，1）,即PF=AF=
∴PE=+1，P（1，+1）；
②当点P在x轴下方时，由对称知，P（1，--1）；
综上，点P的坐标为P（1，+1）或（1，--1）．
【点评】本题主要考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、四点共圆、圆的性质，灵活运用方程解决几何问题成为解答本题的关键．
6．（1）；（2）；（3）D点坐标为，存在，Q点坐标为(0，)或(0，)
【分析】（1）通过设顶点式，再用待定系数法求解即可；
（2）先求出AB的解析式，进而求出E的坐标，从而利用割补法计算面积即可；
（3）作DG垂直于对称轴，在中求解即可得到D的坐标，此时以A为圆心，AC为半径作圆弧，与y轴交于点Q，则满足∠CQD＝60°，从而在 中计算即可得到结果．
【解析】（1）∵抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴设抛物线解析式为，
将B（0，3）代入可得，
∴,即．
（2）设直线AB：，
     将A(3,0)代入上式并解得，
∴直线AB：．
联立、，得，
解得，
∴E(9,-6)，
∴．
（3）设D点的坐标为，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
          
则，
∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，CG＝DG，
∴，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心、AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为⊙A的半径，
，
∴，
∴，
∴，
综上所述：Q点坐标为（0，）或（0，）．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，熟练求解函数解析式并进一步求解交点坐标是关键，同时灵活构造辅助线是解题的关键．
7．（1）；（2）；（3）①或；②存在，．
【分析】（1）分别当x=0和y=0代入直线AB解析式进行求解即可；
（2）由（1）分别把点A、B代入二次函数解析式进行求解即可；
（3）①过点D作DF⊥x轴，交AB于点F，设点，则有点，由题意易得，△DEF∽△OEB，进而可得，然后求解即可；
②过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，则有∠BAC=∠HBA，由∠DBA=2∠BAC可得∠HBA=∠DBH=∠BAC，进而可得，设点，则有，然后根据三角函数可求解．
【解析】解：（1）由题意得：
当x=0时，则，当y=0时，则，解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
把点A、B代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（3）①过点D作DF⊥x轴，交AB于点F，如图所示：

设点，则有点，
∴，
∵∠BOA=90°，
∴DF∥OB，
∴△DEF∽△OEB，
∵DE∶OE＝3∶4，OB=2，
∴，即，
解得：，
∵点D是直线AB上方抛物线上的点，
∴或；
②存在一点D，使得∠DBA=2∠BAC，理由如下：
过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，如图所示：

∴∠BAC=∠HBA，
∵∠DBA=2∠BAC，
∴∠HBA=∠DBH=∠BAC，
∵在Rt△AOB中，OB=2，OA=4，
∴，
∴，
设点，则有，
∴，
解得：，
∴
∴存在点D，使得∠DBA=2∠BAC，此时点．
【点评】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
8．（1），；（2）D坐标为；（3）证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）前求出抛物线的对称轴，根据对称轴求出点B坐标，再把点A和点C坐标代入解析式求出系数，得到解析式；
（2）延长交x轴于点M，得到，再过点C作于点Q，得到点M的坐标，求出DM的解析式，与抛物线联立得到点D坐标；
（3）设直线解析式为：，与抛物线联立，得到，再用韦达定理的公式表示出点E和点F横坐标的关系式，再根据，列式求出m和n的关系式，就可以得到结果．
【解析】解：（1）抛物线对称轴是，
∵，
∴B，
将点A和点C坐标代入解析式，得，解得，
∴抛物线解析式为：，
故答案是：，；
（2）如图，延长交x轴于点M，
∵，
∴，
∴，
过点C作于点Q，则，
∴点M坐标为，
∴直线的解析式为：，
由得或（舍），
∴点D坐标为；

（3）设直线解析式为：，则点
由得，
∴，∴①，
同理设直线的解析式为：，则点，即②，
由得，
∴③，④，
将①②代入③④得，
又，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴直线经过定点且定点坐标为．
【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，解析式求解的方法，与一次函数交点问题．
9．（1）y＝﹣x2+x+；（2）（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质及点A坐标可得抛物线的对称轴为直线x=1，可得﹣＝1，把点A坐标代入抛物线不等式可得0＝4a﹣2b+，解方程组求出a、b的值即可得答案；
（2）根据抛物线对称轴方程及点A坐标可得点D坐标，根据△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的可得出点R的纵坐标，代入抛物线解析式可求出点R横坐标，即可得答案；
（3）作△PEQ的外接圆R，根据圆周角定理可得∠PRE=90°，可得△PRE为等腰直角三角形，由在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°可得⊙R与直线MD相切，可得RQ⊥MD，根据对称轴可得点M坐标，即可得出DE、DE的长，根据勾股定理可求出DM的长，设点P（1，2m），根据等腰直角三角形的性质可得PH＝HE＝HR＝m，即可得出R（1+m，m），利用S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE可求出m的值，即可得点P坐标；根据DE=ME可得∠MDE=45°，可得点M符合题意，过点D作DF⊥DM交对称轴于F，可得∠FDE=45°，可得点F符合题意，根据DE=EF可求出点F坐标，综上即可得答案．
【解析】（1）∵A（-2，0），四边形OABC是平行四边形，
∴BC//OA，BC=OA=2，
∵抛物线与y轴交于点B，
∴抛物线的对称轴为直线x＝=1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②得，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）∵A（-2，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，
解得：yR＝±，
当y=时，，
解得：，，
∴R1（，）或R2（，），
当y=-时，，
解得：x3=，x2=，
∴R3（，）或R4（，）
综上所述：点R的坐标为（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）．
（3）作△PEQ的外接圆R，过点R作RH⊥ME于点H，
∵∠PQE＝45°，
∴∠PRE＝90°，
∵RP=RE，
∴△PRE为等腰直角三角形，
∵直线MD上存在唯一的点Q，
∴⊙R与直线MD相切，
∴RQ⊥MD，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=1时y==3，
∴点M坐标为（1，3），
∵D（4，0），
∴ME＝3，ED＝4﹣1＝3，
∴MD＝=，
设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
∵S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×ME•ED＝×MD×RQ+×ED•yR+×ME•RH，
∴×3×3＝××m+×4×m+×3×m，
解得m＝，
∴点P坐标为（1，），

∵ME=MD=3，
∴∠MDE=45°，
∴点P与点M重合时，符合题意，即P（1，3），
过点D作DF⊥MD，交对称轴于F，则∠FDE=45°，符合题意，
∴EF=DE=3，
∴点F坐标为（1，-3），
∴点P坐标为（1，-3），

综上所述：点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
10．（1）；（2）；（3）P(4，6)；的面积为10．
【分析】（1）首先根据抛物线得出点C的坐标为(0，8)，然后根据可求出点B的坐标为(6，0)，将点B和点D的坐标代入抛物线可求出a和b的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）如图所示，构造矩形DEFG，根据题意表示出点P的坐标为(t，)，然后分别表示出点E，F，G的坐标，即可表示出，，和的面积，进而表示出S与t之间的函数关系式；
（3）过点E作EN⊥BF于点N，过点F作FQ⊥CE于点Q，根据题意证明出，，然后根据等腰直角三角形的性质，勾股定理和相似三角形的性质表示出CQ，QG，GE的长度，最后在△OCE中根据勾股定理列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵抛物线，
∴当x=0时，y=8，
∴点C的坐标为(0，8)，OC=8，
∵，
∴，解得：BO=6，
∴点B的坐标为(6，0)，
∴将B(6，0)和D代入得：，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）如图所示，构造矩形DEFG，

设点P(t，)，
∵四边形DEFG是矩形，D，C(0，8)，
∴E，F，G，
∴，，，，，，

即；
（3）如图所示，过点E作EN⊥BF于点N，过点F作FQ⊥CE于点Q，

∵EN⊥BF，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，
由(2)知，，
∴，
∴，
在中，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴++＝，
解得：t=4，
∴，
∴P(4，6)，
∴．
【点评】此题考查了二次函数和几何综合题，二次函数表达式的求法等知识，解题的关键是设出点的坐标并表示出相关的线段长度．
11．（1）；（2）当时，的值取最小为；（3）存在，，
【分析】（1）求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式，将A、B、C三点坐标代入解析式组成方程组，解方程组即可；
（2）把抛物线的解析式化为顶点式，根据点的坐标与圆心连线交圆于P即可得出结果；
（3）分两种情况讨论，先求出，，再分别和抛物线联立组成方程组，解方程组即可．
【解析】解：（1）连接MC，
∵⊙M的圆心M（3，0），半径为5，
∴OA=AM-OM=5-3=2，OB=BM+OM==5+3=8，
∴A（-2，0）、B（8，0），
在Rt△OCM中，
∴OC==4，
C（0，-4），
∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
∴，
∴，
∴所求抛物线的关系式为：．

（2）连结MQ交⊙M于P，则PQ最短，
∵，
∴抛物线的顶点，
∵圆心M（3，0），
∴M、P、Q在平行于y轴的直线上，而⊙M的半径为5，
∴当时，的值取最小，
∴．

（3）∵C（0，-4），OC的中点为F，
∴，
分两种情况，BG在BF下方时，
连结FB，过点F作FH⊥BF交直线BG于H，过H作HE⊥y轴于E，
，
∴∠FHB=180°-∠BFH-∠FBH=180°-90°-45°，
∴∠FHB=∠FBH=45°，∠HFB=90°，
为等腰直角三角形，
∴FH=FB，
∵∠OFB+∠OBF=∠OFB+∠EFH=90º，
∴∠OBF=∠EFH，  
在△OFB和△EHF中，
，
∴△OFB≌△EHF（AAS），
∴OF=EH=2，OB=EF=8，
∴OE=OF+EF=2+8=10，
∵点H在第四象限，
∴点H（2，-10），

设HB的解析式为，
把，B（8，0）、代入，
，
解得，
∴，
点G是直线与抛物线的交点，
，
消去y得：
，
解方程得：
或8（舍），
则，
BG在FB上方时，
连结FB，过点F作FH1⊥BF交直线BG于H1，过H1作H1E1⊥y轴于E1，
∴，
∴∠FH1B=180°-∠BFH1-∠FBH1=180°-90°-45°=45°，
∴∠FH1B=∠FBH1=45°，∠H1FB=90°，
为等腰直角三角形，  
∴FH1=FB，
∵∠OFB+∠OBF=∠OFB+∠E1FH1=90º，
∴∠OBF=∠E1FH1，
在△OFB和△E1H1F中，
，
∴△OFB≌△E1H1F（AAS），
∴OF=E1H1=2，OB=E1F=8，
∴OE1=E1F-OF+ =8-2=6，
点H1在第二象限，
∴点H1（-2，6），

设H1B解析式为代入点坐标得
，
解得，
则，
点G是与抛物线的交点，
，
先去y得，
解得或8（舍），
则，
综上所述：或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式及圆的性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法及其用辅助线准确画出图形是解题的关键．
12．（1）；（2）；（3）2
【分析】（1）把于A（2，0），B（4，0）代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出D点的坐标，然后求出直线AD的解析式得到H的坐标，再根据求解即可；
（3）延长FG与x轴交于M，先证明△MAF≌△MGB，得到FM=BM，设M（m，0），则F（m，），则，，
则，由此求解即可．
【解析】
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．（1）；（2）或；（3）存在，或
【分析】（1）根据直线与抛物线的交点求得直线解析式，根据点B在x轴上，求得的坐标，设抛物线的解析式为，待定系数法求解析式即可；
（2）分类讨论，①当时, 如图，过点作轴于点，轴于点，证明，可得,求得，进而求得的坐标；②当时，证明，可得，求得,进而求得的坐标，综合①②即可；
（3）分类讨论，当在抛物线对称轴左边和右边两种情形讨论，①在左侧时，首先找到，延长交于抛物线的点即为所求的点，求得直线的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点的坐标；当点在抛物线的对称轴的右侧时，辅助线见解析图，求得直线的解析式，同理求得点再对称轴右侧的坐标．
【解析】（1）点在直线上，
，
解得，
直线解析式为，
点B在x轴上，
，
解得，
，
抛物线的顶点是，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：
，
解得，
，
即；
（2）①当时, 如图，过点作轴于点，轴于点，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
，
②当时，如图，

，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
综上所述点M的坐标为：或；
（3）存在，理由如下：
①当在的左侧时，如图，取点，连接并延长交二次函数于点，过点作轴，轴，

，
，
,，
，
是等腰，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与抛物线交于点，
则，
解得，，
，
②当在的右侧时，过点作交二次函数于点延长线交轴于点，过点作于点，过点作轴于点,

，
，
,，
四边形是正方形 ，
，，
，
，
，
，
，，
,，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为；
直线与抛物线交于点，则：
；
解得，；
．
综上所述，或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，根据题意分类讨论和作出图形是解题的关键．
14．（1），；（2）P（0，-4）；（3）点Q的坐标为，．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入二次函数解析式即可求出二次函数的解析式，再求出点D的坐标，设直线AD的解析式为，将点A和点D的坐标代入直线解析式，即可求出直线AD的解析式；
（2）根据题意表示出，再表示出，再求最值即可；
（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，证明△OCN≌△OCA（SAS），即可得出∠QAB＝∠NCA，分两种情况，点Q在AB上方和下方，求出直线AQ的解析式，与二次函数联立即可求出点Q的坐标．
【解析】（1）将A（-2,0），B（4,0）代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当x=2时，，
∴D（2，-4）
设直线AD的解析式为，
将A（-2,0）D（2，-4）代入，
得，解得
∴直线AD的解析式为
（2）根据题意作图，如图，

在上，当x=0时， ，
∴AD与y轴的交点M的坐标为（0，-2），
∴OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠OAB=45°，
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠PEF=∠OAB=45°，∠EPF=90°，
∴PF=PE，
设，
∴，
∵P在AD的下方，
∴-2