2023年山东省青岛市西海岸新区中考数学模拟试卷(含解析)

这是一份2023年山东省青岛市西海岸新区中考数学模拟试卷(含解析)，共35页。试卷主要包含了下列计算正确的是，若，则＝　 　等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省青岛市西海岸新区中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题）
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．近年来，我国能源保供稳价政策有力推进，能源先进产能平稳有序释放，规模以上工业原煤、原油、天然气和电力生产同比保持增长．其中2022年1—11月份，我国生产原煤40.9亿吨．40.9亿用科学记数法表示为（　　）
A．40.9×108 B．4.09×109 C．4.09×108 D．0.409×1010
3．下列计算正确的是（　　）
A．﹣（2x2）3＝8x6 B．x5÷x2＝x3
C．3x2×2x3＝6x6 D．
4．将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）

A．9.6 B．4 C．5 D．10
6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（　　）
年龄（岁）
14
15
16
17
18
人数（人）
1
4
3
2
2
A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，15
7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（　　）

A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
8．如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共6小题）
9．若，则＝　 　．
10．某品牌瓶装饮料每箱的价格为26元，某商店对该瓶饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有　 　瓶．
11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕．若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE＝1，则ED＝　 　．

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象交BC于点D，交AB于点E．若BD＝2CD，S四边形ODBE＝6，则k的值为 　 　．

13．如图，在扇形AOB中，点C在线段OB上，连接AC，将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在上，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　．

14．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022＝　 　．

三．解答题（共11小题）
15．已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：平行四边形ABCD，使点C到∠O两边的距离相等．


16．计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
17．（100分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x＜100，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　 　，扇形统计图中A组占 　 　%；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．

18．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 　 　；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）

19．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）

20．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
21．【探究函数y＝x+的图象与性质】
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是　 　；
（2）下列四个函数图象中，函数y＝x+的图象大致是　 　；

（3）对于函数y＝x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0，∴y＝x+＝（）2+（）2＝（﹣）2+　 　．
∵（﹣）2≥0，∴y≥　 　．
【拓展说明】
（4）若函数y＝（x＞0），求y的取值范围．
22．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．

23．如图，抛物线与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）D为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE⊥x轴于点E，交抛物线于点F，若DE＝DF，求点D的坐标．
（3）P是第四象限内抛物线上一点，已知∠PBA＝∠BAO，则点P的坐标为 　 　．

24．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝　 　米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场EF的长；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？

25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点E，其中OA＝6cm，OB＝8cm，动点M从点C出发，以1cm/s的速度在CB上向点B运动，动点N同时从点B出发，以2cm/s的速度在BO上向点O运动．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设它们运动时间是ts．
（1）请直接写出BM，BN的长度；
（2）当t为何值时，△MNB与△OBC相似；
（3）记△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式，并求出S的最小值及此时t的值．



参考答案
一．选择题（共8小题）
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．近年来，我国能源保供稳价政策有力推进，能源先进产能平稳有序释放，规模以上工业原煤、原油、天然气和电力生产同比保持增长．其中2022年1—11月份，我国生产原煤40.9亿吨．40.9亿用科学记数法表示为（　　）
A．40.9×108 B．4.09×109 C．4.09×108 D．0.409×1010
【分析】科学记数法：用科学记数法表示较大的数时，注意a×10n中a的范围是1≤a＜10，n是正整数，
解：40.9亿＝4.09×109．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法的应用，掌握该方法是解题关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A．﹣（2x2）3＝8x6 B．x5÷x2＝x3
C．3x2×2x3＝6x6 D．
【分析】直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、零指数幂的性质分别计算得出答案．
解：A、﹣（2x2）3＝﹣8x6，故此选项错误；
B、x5÷x2＝x3，故此选项正确；
C、3x2×2x3＝6x5，故此选项错误；
D、×40＝，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，是一列两个全等的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）

A．9.6 B．4 C．5 D．10
【分析】根据垂径定理求出AE可得AC的长度，利用△AEO∽△AFC，求出CF，即可求解．
解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝5，
∴AE＝，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴，即：，
∴，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF＝＝9.6．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（　　）
年龄（岁）
14
15
16
17
18
人数（人）
1
4
3
2
2
A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，15
【分析】根据众数的定义，出现最多的数据是众数；中位数是位于中间的数，即第6、7名队员，在求出这两个数的平均数即可．
解：∵年龄为15岁出现了4次，为最多次，故众数为15，
∵第6、7名队员的年龄分别为16、16，故中位数为16，
故选：A．
【点评】本题考查了众数及中位数的概念，在确定中位数的时候应该先排序，确定众数的时候一定要仔细观察．
7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（　　）

A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0＝∠B′FO＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，
∴∠B′OF＝45°，
在Rt△B′OF中，
OF＝OB′•cos45°＝2×＝，
∴B′F＝，
∴点B′的坐标为：（，﹣）．
故选：D．

【点评】此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
8．如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
解：①∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
则：2a+b＝0正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是B（4，0），则与x轴的另一个交点是（﹣2，0），
故②正确；
③将抛物线向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜4时，有图象可知y2＜y1正确；
⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，
则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
即y1＝y2，
∴x1、x2关于函数的对称轴对称，
由①知函数对称轴为直线x＝﹣＝1，
故（x1+x2）＝1，
∴⑤不正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．若，则＝　13　．
【分析】设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入原式计算即可．
解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10．某品牌瓶装饮料每箱的价格为26元，某商店对该瓶饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有　10　瓶．
【分析】首先设该品牌饮料一箱有x瓶，根据题意可得不搞活动时饮料每瓶元，搞活动时每瓶元，根据“相当于每瓶比原价便宜了0.6元”可得方程﹣＝0.6，再解方程即可．
解：设该品牌饮料一箱有x瓶，由题意得：
﹣＝0.6，
解得：x1＝﹣13（不合题意舍去），x2＝10，
经检验：x＝10是原分式方程的解．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，表示出搞活动时和不搞活动时饮料每瓶的价格，根据价格关系列出方程．
11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕．若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE＝1，则ED＝　3　．

【分析】由折叠的性质得出∠EPQ＝∠EPF＝∠DPF＝90°，AE＝EP，BE＝EP，CD＝PD，则可求出AB＝2，则可求出PD的长，则可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵折叠矩形后，A，B，C恰好都落在同一点P上，
∴∠EPQ＝∠EPF＝∠DPF＝90°，AE＝EP，BE＝EP，CD＝PD，
∴E，P，D三点共线，Q，P，F三点共线，AE＝BE，
∵AE＝1，
∴AB＝2AE＝2，
∴CD＝2，
∴PD＝2，
∴DE＝PE+PD＝1+2＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，求出AB的长是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象交BC于点D，交AB于点E．若BD＝2CD，S四边形ODBE＝6，则k的值为 　3　．

【分析】设点D的坐标为：，则，根据S四边形ODBE＝6，得出S四边形ODBE＝S矩形OABC﹣S△OAE﹣S△OCD，即可求出k的值．
解：∵BD＝2CD，四边形OABC为矩形，
∴设点D的坐标为：，则，
∵S四边形ODBE＝6，
∴S四边形ODBE＝S矩形OABC﹣S△OAE﹣S△OCD，
∴6＝3m×﹣﹣，
∴2k＝6，
解得：k＝3，
故答案为：3．

【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是理解k的意义．
13．如图，在扇形AOB中，点C在线段OB上，连接AC，将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在上，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 　﹣　．

【分析】连接OD，交AC于E，根据翻折变换得出AD＝AO＝2＝OD，求出△AOD是等边三角形，求出AE的长，根据图形得出阴影部分的面积＝扇形AOD的面积﹣三角形AOD的面积，再求出扇形AOD和三角形AOD的面积即可．
解：连接OD，交AC于E，

∵将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在上，OA＝2，
∴AC垂直平分OD，AD＝OA＝2＝OD，
∴OE＝DE＝1，△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
由勾股定理得：AE＝＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOD﹣S△AOD
＝﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，翻折变换等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
14．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022＝　　．

【分析】设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，利用反比例的解析式和反比例函数图象上点的坐标的特征求得点P1，P2，P3，P4，P5的坐标（用含m的代数式表示），进而得到每个小直角三角形的高，依据每个小直角三角形的底均为m，利用三角形的面积公式即可求得S1，S2，S3，S4，S5的值，依此规律即可得出结论．
解：设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，
则P1（m，），P2（2m，），P3（3m，），P4（4m，），P5（5m，），
∴P1A1＝，P2A2＝，P3A3＝，P4A4＝，P5A5＝，
∴S1＝＝1，
＝，
，
，
，
由此可得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度得到相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
15．已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：平行四边形ABCD，使点C到∠O两边的距离相等．


【分析】作∠TOB的平分线OP，在射线OP上任意取一点C，连接BC．，分别以A，C为圆心BC，AB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求．
解：如图，四边形ABCD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
16．计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【分析】（1）先通分，再把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可；
（2）利用解一元一次不等式组的方法进行求解，再确定其最大整数解即可．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
故原不等式组的解集为：1≤x＜4，
则其最大的整数解是：3．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
17．（100分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x＜100，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了 　400　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　60　，扇形统计图中A组占 　5　%；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．

【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出抽取的学生数，再进一步求出m和A组所占的百分数即可；
（2）求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
（3）由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可解答．
解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵A组的人数为20人，
∴扇形统计图中A组占的百分比为：×100%＝5%．
故答案为：400，60，5；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：

（3）360°×＝201.6°．
答：优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为201.6°．
【点评】本题考查扇形统计图、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是正确计算的前提．
18．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 　　；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）

【分析】（1）由题意得出从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，利用概率公式求解即可；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
解：（1）∵随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，
∴从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，
∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计是数字6的概率为，
故答案为：；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，
∴其中有一幅是祖冲之的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
19．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）

【分析】（1）根据题意可得∠ACM＝β，AC＝100米，根据锐角三角函数即可得无人机的飞行高度AM；
（2）根据题意可得∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，作BG⊥MC于点G交AC于点H，由△HBA∽△HGC，可得AB：GC＝BH：HG，即30：GC＝60：140，解得GC的长，根据锐角三角函数即可求出标志物DE的高度．
解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，α
∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），
答：无人机的飞行高度AM为200米；
（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，
如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，

∵AB∥CM，
∴∠BAH＝∠ACM＝β，
∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），
∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），
∵AB∥CM，
∴△HBA∽△HGC，
∴AB：GC＝BH：HG，
∴30：GC＝60：140，
解得GC＝70（米），
∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，
∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），
∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，
∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈138.2（米）．
答：标志物DE的高度为138.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握方向角和仰角俯角定义．
20．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【分析】（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，利用总价＝单价×数量，结合购进两种绿植46盆共花费390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰（46﹣m）盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买两种绿植的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，
依题意得：，
解得：．
∵8×2＝16，16＜38，
∴符合题意．
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰（46﹣m）盆，
依题意得：m≥2（46﹣m），
解得：m≥．
设购买两种绿植的总费用为w元，则w＝9m+6（46﹣m）＝3m+276，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥，且m为整数，
∴当m＝31时，w取得最小值，最小值＝3×31+276＝369．
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21．【探究函数y＝x+的图象与性质】
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是　x≠0　；
（2）下列四个函数图象中，函数y＝x+的图象大致是　C　；

（3）对于函数y＝x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0，∴y＝x+＝（）2+（）2＝（﹣）2+　2　．
∵（﹣）2≥0，∴y≥　2　．
【拓展说明】
（4）若函数y＝（x＞0），求y的取值范围．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以直接写出x的取值范围；
（2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从而可以解答本题；
（3）根据目中的式子，可以把未填写的补充完整；
（4）根据（3）中的结论可以求得y的取值范围．
解：（1）∵y＝x+，
∴x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）∵函数y＝x+，
∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，
故选：C；
（3）∵x＞0，
∴y＝x+＝（）2+（）2＝（﹣）2+2．
∵（﹣）2≥0，
∴y≥2，
故答案为：2、2；
（4）∵x＞0，
∴y＝＝x﹣5+＝（x﹣4+）﹣1＝（）2﹣1≥﹣1，
即y的取值范围是y≥﹣1．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
22．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，且AD＝BC，根据点C是BE的中点，得到BC＝CE，等量代换得AD＝CE，又因为AD∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
23．如图，抛物线与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）D为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE⊥x轴于点E，交抛物线于点F，若DE＝DF，求点D的坐标．
（3）P是第四象限内抛物线上一点，已知∠PBA＝∠BAO，则点P的坐标为 　（，﹣）　．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设D（n，﹣n+2），则F（n，﹣n2+n+2），E（n，0），则DE＝﹣n+2，DF＝﹣n2+n+2+n﹣2＝﹣n2+n，即可求解；
（3）在Rt△BOQ中，BQ2＝OB2+OQ2＝4+（4﹣BQ）2，得到BQ＝，进而求出Q（，0），即可求解．
解：（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+2，
设D（n，﹣n+2），则F（n，﹣n2+n+2），E（n，0），
∴DE＝﹣n+2，DF＝﹣n2+n+2+n﹣2＝﹣n2+n，
∵DE＝DF，
∴﹣n+2＝﹣n2+n，
解得n＝2或n＝4（舍），
∴D（2，1）；

（3）设BP与x轴交于点Q，

∵∠PBA＝∠BAO，
∴BQ＝AQ，
在Rt△BOQ中，BQ2＝OB2+OQ2＝4+（4﹣BQ）2，
解得BQ＝，
∴AQ＝，OQ＝，
∴Q（，0），
由点B、Q的坐标，同理可得直线BQ的表达式为：y＝﹣x+2②，
联立①②并解得：（不合题意的值已舍去），
故答案为：（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键．
24．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝　（39﹣3x）（x≥10）　米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场EF的长；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？

【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，求出关于EF的长x的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
解：（1）①设EF的长为x米，
∵点F在线段BC上，
∴DE＝36﹣2x﹣（x﹣3）＝（39﹣3x）（米）．
∵BC≤9，即DE≤9，
∴x≥10，
故答案为：（39﹣3x）（x≥10）；
②设EF的长为x米，
x（39﹣3x）＝66，
3x2﹣39x+66＝0，
（x﹣11）（3x﹣6）＝0，
x1＝11，x2＝2（不合题意，舍去），
答：饲养场的长EF为11米；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，EF的长为x米，
①点F在线段BC上，
则S＝x（39﹣3x）＝﹣3x2+39x＝﹣3（x﹣）2+，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝时，S有最大值，S最大值＝，x≥时，S随x的增大而减小，
∵BC＝9米，
∴BF＝39﹣3x≤9，解得：x≥10，
∴x＝10时，S有最大值，S最大值＝﹣3×102+39×10＝90（平方米）；
②点F在线段BC的延长线上，
则S＝（39﹣3x+9）x＝﹣x2+24x＝﹣（x﹣8）2+96，
∵a＝﹣＜0，
∴x＝8时，S有最大值，S最大值＝96，BF＝（39﹣3x+9）＝12，
∴x＝8时，S最大值＝96（平方米）；
∵96＞90，
∴饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点E，其中OA＝6cm，OB＝8cm，动点M从点C出发，以1cm/s的速度在CB上向点B运动，动点N同时从点B出发，以2cm/s的速度在BO上向点O运动．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设它们运动时间是ts．
（1）请直接写出BM，BN的长度；
（2）当t为何值时，△MNB与△OBC相似；
（3）记△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式，并求出S的最小值及此时t的值．

【分析】（1）由BM＝BC﹣CM得出结果；
（2）分为△BMN∽△BCO或△BMN∽△BOC，当时，△BMN∽△BCO，从而，进而得出结果；同里得出△BMN∽△BOC的情形；
（3）S＝S△BEM+S△BEN﹣S△BMN，分别表示出三角形BMN，BEN和三角形BMN的面积，进一步得出结果；
解：（1）∵四边形AOBC是矩形，
∴BC＝OA＝6，
∴BM＝BC﹣CM＝6﹣t，BN＝2t，
（2）∵∠MBN＝∠OBC，
∴△BMN∽△BCO或△BMN∽△BOC，
当时，△BMN∽△BCO，
∴，
∴t＝，
当时，△BMN∽△BOC，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或；
（3）如图，
作EG⊥BC于G，EH⊥OB于H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠OBC＝90°，OE＝CE，
∴EG∥OB，
∴△CEG∽△COB，
∴，
∴EG＝，
同理可得：EH＝BC＝3，

S＝S△BEM+S△BEN﹣S△BMN，
∵＝（6﹣t）×4＝12﹣2t，
×2t＝3t，
＝﹣t2+6t，
∴S＝12﹣2t+3t+t2﹣6t＝t2﹣5t+12＝（t﹣）2+，
∴当t＝时，S最大值为＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的基础知识．