2023年山东省青岛市胶州市部分学校中考数学模拟试卷（B卷）（含解析）

这是一份2023年山东省青岛市胶州市部分学校中考数学模拟试卷（B卷）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省青岛市胶州市部分学校中考数学模拟试卷（B卷）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数3的相反数是(    )
A. 3 B. 13 C. −13 D. −3
2. 下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 据新闻联播报道，2023年五一节假期全国接待游客2.74亿人次，同比增长70.83%.用科学记数法表示数据2.74亿为(    )
A. 274000000 B. 2.74×108 C. 0.274×109 D. 2.74×109
4. 一个凹形零件如图，则其俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 下列从左到右的计算结果中，正确的是(    )
A. (a−3)2=a2−9 B. (−a3)2=a5
C. a3÷(12a2)=2a D. −a⋅(−a)3=−a4
6. 如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=80°，那么∠BOD的度数为(    )
A. 160°
B. 135°
C. 80°
D. 40°
7. 从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是(    )


A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
8. 如图，在△ABC中，AB

A. S△AEFS△DFC=(EFDF)2 B. DA平分∠BDE
C. ∠CDE=∠BAD D. ∠EDC=∠EAC
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算： 3×2−1+20230−sin60°= ______ ．
10. 小明从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计______ 鱼池的鱼的数量较多.(填甲或乙)
11. 五一节期间，小明一家从A城到青岛旅游，自驾轿车走高速的路程约为360km，坐动车去旅游的路程为405km.已知动车的平均速度是轿车的平均速度的3倍；而时间节省2.5小时.设轿车的平均速度为x km/h，则列方程为：______ ．
12. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为20，则△DEF的周长是______ ．

13. 四边形ADBF是菱形，E是AD的中点，连接FE交BD延长线一点C，连接AC.若AB=8，∠ADB=60°，则AC的长等于______ ．

14. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴一个交点是(3,0)，下列四个结论：
①a=−c3；②，ac>(b2)2；③bc=32；④当−1a−b．
其中，正确的结论有______ 个.

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题4.0分)
如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线l1、l3表示直路，而l2表示弯路.想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等.求点P位置．

16. (本小题8.0分)
计算：
(1)解不等式组5x≥3(x−2)12x<1−13x，并写出x的正整数解；
(2)若x+y=−2，求代数式(x2−y2)⋅(yx+x2+y2x2−xy)的值．
17. (本小题6.0分)
如图所示.图1是一个不透明的盒子，装有标有数字1、2、3的三个球(除标号不同外，其它完全相同)；图2是一个标有数字−1、−2、−3的转盘(被等分成三等分)．
小明从盒子里任意摸出一个球，将数字记作x；小亮随意转动转盘，当指针停止后，指针所指数字记作y，这样确定一个点P的坐标(x,y)
(1)用树状图或表格法表示出点P所有可能的坐标情况．
(2)求点P满足x+y<0的概率．

18. (本小题6.0分)
2023年4月23日是第28个世界读书日.学校为营造“爱读书、多读书、读好书”浓厚氛围，开展了“书香校园，阅读有我”的读书活动.在5月份，为了解九年级学生的读书情况，随机调查了九年级40名学生读书数量(单位：本)，并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4 2 2 3 3 4 4 4 4 3 4
4 5 6 7 3 6 7 5 8 3 4 7 3 4 6 5 5 5 7 8
数据整理
本数
0 2 4 6 组别
A
B
C
D
频数
4
m
12
n
数据分析绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图：
依据统计信息回答问题：
(1)在统计表中，m= ______ ；在条形统计图中，补全组别B的条形图示．
(2)在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为______ 度；
(3)若该校九年级学生人数为240人，请根据上述调查结果，估计该校九年级学生读书在4本以上的人数．


19. (本小题6.0分)
A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地.甲在早上7：00出发，乙在8：00出发.如图是甲，乙离开A地的距离y甲(km)、y乙(km)随行驶时间x(h)变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______ km/h；乙的速度为______ km/h．
(2)在几点时，乙追上甲？

20. (本小题6.0分)
如图所示，九年级数学兴趣小组想知道河对岸的电线杆A、B之间的距离，他们在这岸与AB平行的直线l上取C、D两点，测得CD=20米，∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=37°.求电线杆A、B之间的距离(精确到0.1).(参考数据： 3≈1.73，tan37°≈34，sin37°≈35，con37°≈45)

21. (本小题6.0分)
阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题．
设n是正整数，
材料1：
a1=1a2=11+2=22×3=13a3=11+2+3=23×4=16a4=11+2+3+4=24×5=110
…
问题：(1)用含n的代数式表示an= ______ (写最简结果)；
材料2：s1=a1=1
s2=a1+a2=1+22×3=2(11×2+12×3)=2(11−12+12−13)=2(1−13)=43
s3=a1+a2+a3=1+22×3+23×4=2(11×2+12×3+13×4)
=2(11−12+12−13+13−14)=2(1−14)=32
问题：(2)用含n的代数式表示sn= ______ (写最简结果)；
(3)当n无限增大时，sn接近于一个常数，这个常数是______ ．
22. (本小题8.0分)
某服装经销商计划购进A型、B型两种型号的童装.若购进8件A型童装和5件B型童装需用2200元；若购进4件A型童装和6件B型童装需用1520元．
(1)求每件A型童装和每件B型童装的进价各多少元；
(2)该经销商计划用不超过11800元成本，购进A型童装和B型童装共75件.假若A型童装的定价为298元；B型童装的定价为198元，且全部以定价售完该批童装.则该经销商获得最大利润是多少？
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x与双曲线y=k2x在第一象限内交于点A(1, 3).⊙P与直线y=k1x和x轴正半轴相切于点B和C.且OB= 3．
(1)直线的关系式为______ ；双曲线的关系式为______ ．
(2)判断圆心P是否在双曲线上，并说明理由．
(3)若在x轴上一点Q(a,0)，且S△AQC=2S△AOC，直接写出字母a的值．

24. (本小题8.0分)
证明如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
(1)求证：BE=DF；
(2)当______ 时，四边形DEBF是矩形．
要求：从下面列出的三个条件中，选一个条件填在横线上，使命题成立.并写出证明过程．
①AC：BD=2；②BD=2OE；③AD⊥BD

25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B.点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交线段AB于点M，已知点A(4,0)，且AC=5．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求当M是PQ中点时的P点坐标；
(3)作PN⊥AB，垂足为N，连接PB，PA．
请从下列两个问题中任选一个问题完成.若两个问题都被做了，则按照第一个题给分．
问题①：求PN的最大值；
问题②：求△PAB的面积最大值．
(4)连接OM，当x为何值时，四边形OMPB为平行四边形？四边形OMPB能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：实数3的相反数是−3．
故选：D．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3.【答案】B 
【解析】解：2.74亿=274000000=2.74×108．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】D 
【解析】解：从上面看，可得选项D的图形．
故选：D．
根据俯视图是从上面看到的图形求解即可．
本题主要考查了判断简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：(a−3)2=a2−6a+9，故选项A错误，不符合题意；
(−a3)2=a6，故选项B错误，不符合题意；
a3÷(12a2)=2a，故选项C正确，符合题意；
−a⋅(−a)3=a4，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
根据完全平方公式可以判断A；根据幂的乘方可以判断B；根据单项式除以单项式可以判断C；根据同底数幂的乘法可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵∠DCE+∠BCD=180°，∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵∠DCE=80°，
∴∠A=80°，
∴∠BOD=160°．
故选：A．
根据圆内接四边形的性质证得∠DCE=∠A，在根据圆周角定理求出∠BOD即可．
本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

7.【答案】D 
【解析】解：由图可得，
xA−=4.9+5+5+5+5+5.1+5.17≈5，
xB−=4.4+5+5+5+5.2+5.3+5.47≈5，
故反映出这两组数据之间差异不能反映出这两组数据之间差异，故选项A不符合题意；
A和B的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项B和C不符合题意；
由图象可得，A种数据波动小，比较稳定，B种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据之间差异，故选项D符合题意；
故选：D．
根据统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意，本题得以解决．
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】A 
【解析】解：∵△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，AB=AD，∠E=∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴∠ADE=∠ADB，
∴DA平分∠BDE，
故选项B正确；不符合题意；
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠FAE，
∵△AFE∽△DFC，
S△AEFS△DFC=(EFCF)2，
故选项A错误；不符合题意；
∴∠FAE=∠CDF，
∴∠BAD=∠CDF，
∴C、D不符合题意；
故选：A．
由旋转的性质得出∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，AB=AD，∠E=∠C，进而得出∠B=∠ADB，得出∠ADE=∠ADB，得出DA平分∠BDE，即可得出答案．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握旋转的性质，等边对等角等知识是解题的关键．

9.【答案】1 
【解析】解：原式= 3×12+1− 32
= 32+1− 32
=1，
故答案为：1．
根据负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

10.【答案】甲 
【解析】解：由题意可得，
甲鱼池中的鱼苗数量约为：100÷5100=2000(条)，
乙鱼池中的鱼苗数量约为：100÷10100=1000(条)，
∵2000>1000，
∴初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可．
本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是求出两个鱼池中鱼苗的数量．

11.【答案】360x−4053x=2.5 
【解析】解：设轿车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为3x km/h，
由题意得：360x−4053x=2.5．
故答案为：360x−4053x=2.5．
设轿车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为3x km/h，根据坐动车的所用的时间比坐轿车所用的时间少2.5小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．

12.【答案】30 
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．
∴△ABC的周长：△DEF的周长=2：3，
∵△ABC的周长为20，
∴△DEF的周长=30，
故答案为：30．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

13.【答案】8 3 
【解析】解：∵四边形ADBF是菱形，
∴AF=DB=AD，AF/​/DB，
∴△AEF∽△DEC，
∵E是AD的中点，
∴AFDC=AEDE=1，
∴AF=DC，
∴DB=AD=DC，
∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=60°，
∵∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC+∠DCA=2∠DAC=∠ADB=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=∠DAB+∠DAC=90°，
∴AC=AB⋅tan60°=8× 3=8 3，
故答案为：8 3．
由菱形的性质得AF=DB=AD，AF/​/DB，则△AEF∽△DEC，所以AFDC=AEDE=1，则AF=DC，所以DB=AD=DC，由∠ADB=60°，可证明△ABD是等边三角形，则∠DAB=∠ABD=60°，可求得∠DAC=30°，则∠BAC=90°，所以AC=AB⋅tan60°=8 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角形函数与解直角三角形等知识，证明DB=DA=DC是解题的关键．

14.【答案】2 
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴一个交点是(3,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0，
又∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∴c=−3a，
即a=−c3，
故①正确；
∵a<0，c>0，
∴ac<0，
(b2)2>0，
∴ac<(b2)2，
故②错误；
∵b=−2a，c=−3a，
∴bc=−2a−3a=23，
故③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∵当−10，
∴am2+bm+c>0，
∴am2+bm+c>a−b+c，
∴m(am+b)>a−b，
故④正确．
综上所述，正确的有2个．
故答案为：2．
根据抛物线的对称轴和与x轴的交点可以求出抛物线与x轴的另一交点，从而求出b=−2a，c=−3a，可以判断①②③；再根据函数的性质判断④．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解决本题的关键．

15.【答案】解：设l1和l3交于点E，
以点E为圆心，以适当的长为半径画弧分别交l1，l3于点M，N，
分别以MN为圆心，以大于12MN为半径画弧在l1，l3的内部交于点F，
作射线EF，
连接BC，
分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于T，H，
作直线TH与射线BF交于点P，
则点P为所求作的点．

理由如下：
由作图可知：EF为直线l1，l3夹角的平分线，点P在EF上，
∴点P到l1和l3的距离相等，
由作图可知：直线TH为线段BC的垂直平分线，点P在TH上，
∴TB=TC．
∴点P点P到l1和l3的距离相等，且到点B和C的距离也相等． 
【解析】设l1和l3交于点E，先作出∠E的平分线EF，再作出线段BC的垂直平分线TH，EF与TH相交的点即为所求作的点P．
此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握利用直尺和圆规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，理解角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

16.【答案】解：(1)5x≥3(x−2)①12x<1−13x②，
由①得：5x≥3x−6，
解得：x≥−3，
由②得：3x<6−2x，
解得：x<65，
则原不等式组的解集为：−3≤x<65，
那么它的正整数解为是1；
(2)(x2−y2)⋅(yx+x2+y2x2−xy)
=(x+y)(x−y)⋅[yx+x2+y2x(x−y)]
=(x+y)(x−y)⋅[y(x−y)x(x−y)+x2+y2x(x−y)]
=(x+y)(x−y)⋅xy−y2+x2+y2x(x−y)
=(x+y)(x−y)⋅ xy+x2x(x−y)
=(x+y)(x−y)⋅x(x+y)x(x−y)
=(x+y)2，
∵x+y=−2，
∴原式=(−2)2=4． 
【解析】(1)解不等式组求得其解集后即可求得它的正整数解；
(2)将原式根据分式的运算法则化简后代入数值计算即可．
本题考查解一元一次不等式组及分式的化简求值，(2)中正确化简求得(x+y)2是解题的关键．

17.【答案】解：(1)画树状图为：

共有9种等可能的结果，它们是：(1,−1)，(1,−2)，(1,−3)，(2,−1)，(2,−2)，(2,−3)，(3,−1)，(3,−2)，(3,−3)；
(2)点P满足x+y<0的结果数为3，
所以点P满足x+y<0的概率=39=13． 
【解析】(1)利用树状图展示所有9种等可能的结果；
(2)先确定点P满足x+y<0的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．

18.【答案】18  108 
【解析】解：(1)由数据统计可知m=4÷10%−4−12−6=18，n=6，

故答案为：18；
(2)扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为：360°×124+18+12+6=108°，
故答案为：108；
(3)240×12+640=108(人)，
答：该校九年级240名学生中读书在4本以上的人数大约有108人．
(1)根据数据的统计的方法即可得出m、n的值，并补全条形统计图；
(2)求出样本中C部分所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
(3)求出样本中，读书在4本以上的人数所占的百分比，估计总中读书在4本以上的人数所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．

19.【答案】60  100 
【解析】解：(1)甲的速度为：300÷5=60(km/h)，乙的速度为：300÷(4−1)=100(km/h)，
故答案为：60；100；
(2)设甲出发x h时乙追上甲，
根据题意得：60x=100(x−1)，
解得x=2.5，
∴甲出发2.5h时乙追上甲，
即早上9：30乙追上甲．
(1)根据“速度=路程÷时间”可得答案；
(2)根据甲、乙的速度以及两人所走路程相等列出方程，解方程即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握图中所给信息．

20.【答案】解：过点A作AE⊥l，垂足为E，

设CE=x米，
∵CD=20米，
∴DE=CE+CD=(x+20)米，
∵∠ACB=15°，∠BCD=120°，
∴∠ACE=180°−∠ACB−∠BCD=45°，
在Rt△AEC中，AE=CE⋅tan45°=x(米)，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴tan37°=AEED=xx+20=34，
∴x=60，
经检验：x=60是原方程的根，
∴AE=60米，
∴河的宽度为60米；
过点B作BF⊥l，垂足为F，

则CE=AE=BF=60米，AB=EF，
∵∠BCD=120°，
∴∠BCF=180°−∠BCD=60°，
在Rt△BCF中，CF=BFtan60∘=60 3=20 3米，
∴AB=EF=CE−CF=60−20 3≈25.4(米)，
∴古树A、B之间的距离为25.4米． 
【解析】过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE=x米，则DE=(x+20)米，先利用平角定义求出∠ACE=45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，过点B作BF⊥l，垂足为F，CE=AE=BF=60米，AB=EF，先利用平角定义求出∠BCF=60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

21.【答案】2n2+n 2nn+1  2 
【解析】解：(1)由题知，an=11+2+3+⋯⋯+n=2n(n+1)=2n2+n．
即an=2n2+n．
故答案为：2n2+n；
(2)由题知，
sn=a1+a2+a3+…+an=1+22×3+23×4+…+2n(n+1)
=2[11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)]
=2(11−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1)
=2(1−1n+1)
=2nn+1．
故答案为：2nn+1；
(3)由(2)知：sn=2nn+1，
将sn变形得：sn=2nn+1=2(n+1)−2n+1=2−2n+1．
则当n无限大时，2n+1无限接近于0．
所以sn无限接近于2，即这个常数是2．
故答案为：2．
(1)根据表达式中分母上两个乘数和前面a的下标数之间的关系，可得出an的表达式．
(2)根据所给示例，找出规律(括号中的数，消完后，就只剩下首和尾)，进而得出结果．
(3)对(2)中求出的代数式，进行变形处理，便可得出这个常数．
本题考查了代数式的运算过程中的规律问题．

22.【答案】解：(1)设每件A型童装的进价x元，每件B型童装的进价y元，
由题意得：8x+5y=22004x+6y=1520，
解得：x=200y=120，
答：每件A型童装的进价200元，每件B型童装的进价120元；
(2)设购进A型童装a件，则B型童装(75−a)件，利润为z元，
由题意得：z=(298−200)a+(198−120)(75−a)，
即：z=20a+5850，
∵200a+120(75−a)≤11800，
∴a≤35，
∵20>0，
∴z随a的增大而增大，
∴当a=35时，z取最大，最大值为：20×35+5850=6550，
答：经销商获得最大利润是6550元． 
【解析】(1)根据”购进8件A型童装和5件B型童装需用2200元；若购进4件A型童装和6件B型童装需用1520元“列方程组求解；
(2)先列出利润的函数，再根据一次函数的性质求解．
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，找到相等关系是解题的关键．

23.【答案】y= 3x  y= 3x 
【解析】解：(1)把点A(1, 3)分别代入直线y=k1x与双曲线y=k2x得，
∴ 3=k1， 3=k21，
∴k1= 3，k2= 3，
∴直线的关系式为y= 3x；双曲线的关系式为y= 3x；
故答案为：y= 3x；y= 3x；
(2)圆心P在双曲线上，
理由：过A作AD⊥x轴于D，
∵点A(1, 3)，
∴AD= 3,OD=1，
∴tan∠AOD=ADOD= 3，
∴∠AOD=60°，
连接OP，PC，
∵P与直线y=k1x和x轴正半轴相切于点B和C，
∴OC=OB，∠POC=12∠AOC=30°，∠PCO=90°，
∵OB= 3，
∴OC= 3，
∴PC= 33OC=1，
∴P( 3,1)，
当x= 3时，y= 3 3=1，
∴圆心P是双曲线上；
(3)∵S△AQC=2S△AOC，
∴12| 3−a|× 3=2×12× 3× 3，
解得a=3 3或− 3．
(1)把点A(1, 3)分别代入直线y=k1x与双曲线y=k2x，即可得到结论；
(2)过A作AD⊥x轴于D，解直角三角形得到∠AOD=60°，连接OP，PC，根据切线的性质得到OC=OB，∠POC=12∠AOC=30°，∠PCO=90°，求得P( 3,1)，当x= 3时，y= 3 3=1，于是得到圆心P是双曲线上；
(3)根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

24.【答案】② 
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，
又∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE=EO=FO=FC=12AO=12CO，
在△BOE和△DOF中，
EO=FOBO=DO∠EOB=∠FOD，
∴△BOE≌△DOF(SAS)，
∴BE=DF．
(2)②BD=2OE，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，
又∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE=EO=FO=FC=12AO=12CO，
在△BOE和△DOF中，
EO=FOBO=DO∠EOB=∠FOD，
∴△BOE≌△DOF(SAS)，
∴∠EBD=∠FDB，BE=DF，
即BE/​/DF，BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OE=12EF，
又∵BD=2OE，
∴BD=EF，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
(1)根据△BOE≌△DOF求证BE=DF；
(2)根据△BOE≌△DOF求证BE=DF，∠EBD=∠FDB，进而求证四边形DEBF是平行四边形，再根据所选条件证明四边形DEBF是矩形．
本题重点考察三角形全等证明以及平行四边形的证明，熟练掌握三角形全等的证明方法以及平行四边形的证明方法是本题的解题关键．

25.【答案】解：(1)∵A的坐标是(4,0)，
∴OA=4，
∵AC=5，
∴OC=1，
∴C的坐标是(−1,0)，
把A、C坐标代入y=ax2+bx+3，
得到：16a+4b+3=0a−b+3=0，
∴a=−34b=94，
∴抛物线解析式是y=−34x2+94x+3；
(2)当x=0时，y=3，
∴B的坐标是(0,3)，
设P的坐标是(m,−34m2+94m+3)，
∵M是PQ中点，
∴MQ=12PQ=12×(−34m2+94m+3)=−38m2+98m+32，
∵MQ//OB，
∴△AMQ∽△ABO，
∴AQ：AO=QM：OB，
∴(4−m)：4=(−38m2+98m+32)：3，
∴m=1或m=4(舍)，
∴−34m2+94m+3=92，
∴P的坐标是(1,92)；
(3)①设P的坐标是(x,−34x2+94x+3)，由勾股定理得AB= OA2+OB2=5，
∵△AMQ∽△ABO，
∴AQ：AO=AM：AB=MQ：OB，
∴(4−x)：4=AM：5=MQ：3，
∴AM=54(4−x)，MQ=34(4−x)，
∴PM=−34x2+3x，
∵∠PNM=∠MQA=90°，∠PMN=∠AMQ，
∴△PMN∽△AMQ，
∴PN：AQ=PM：AM，
∴PN：(4−x)=(−34x2+3x)：54(4−x)，
∴PN=−35x2+125x=−35(x−2)2+125，
∴PN的最大值是125；
(4)∵PM//OB，
∴PM=OB时，四边形OMPB是平行四边形，
∴−34x2+3x=3，
∴x=2，
∴当x=2时，四边形OMPB是平行四边形，
此时OQ=2，MQ=32，
∴OM= OQ2+MQ2=52，
∴OM≠OB，
∴四边形OMPB不可能是菱形． 
【解析】(1)求出C的坐标，把A、C的坐标代入y=ax2+bx+3，求出a、b的值即可得到抛物线解析式；
(2)设P的坐标是(m,−34m2+94m+3)，由M是PQ中点，得到MQ=−38m2+98m+32，由△AMQ∽△ABO，得到(4−m)：4=(−38m2+98m+32)：3，求出m=1，得到−34m2+94m+3=92，因此P的坐标是(1,92)；
(3)P的坐标是(x,−34x2+94x+3)，由勾股定理得AB= OA2+OB2=5，由△AMQ∽△ABO，得到(4−x)：4=AM：5=MQ：3，因此AM=54(4−x)，MQ=34(4−x)，得到PM=−34x2+3x，由△PMN∽△AMQ，得到PN：(4−x)=(−34x2+3x)：54(4−x)，因此PN=−35x2+125x=−35(x−2)2+125，得到PN的最大值是125；
(4)由PM=OB时，得到−34x2+3x=3，因此x=2时，四边形OMPB是平行四边形，求出OQ=2，MQ=32，由勾股定理得到OM= OQ2+MQ2=52，故OM≠OB，因此四边形OMPB不可能是菱形．
本题考查二次函数的综合应用，综合应用二次函数的性质，平行四边形，菱形的有关知识点是解题的关键．