2023年河北省衡水市桃城区衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高考数学模拟试卷（一）（含答案解析）

2023年河北省衡水市桃城区衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高考数学模拟试卷（一）

1.  已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数的虚部为(    )

A. 3 B. 4 C.  D.

3.  八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中给出下列结论，其中正确的结论为(    )

A. 与的夹角为
B.
C.
D. 在上的投影向量为其中为与同向的单位向量

4.  从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在某款计算器上计算时，需依次按下“Log”、“”、“a”、“b”、“”6个键．某同学使用该计算器计算时，误将“Log”、“”、“b”、“，”、“a”、“”这6键，所得到的值是正确结果的倍，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知实数，，，且，则必有(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在棱长为6的正方体中，M是BC的中点，点P是正方形面内包括边界的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是(    )

A. 36 B. 24 C.  D.

9.  2022年1月，社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占、、和，则适合表示上述调查结果的是(    )

A. 柱形图 B. 茎叶图 C. 扇形图 D. 频率分布直方图

10.  已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是(    )

A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为
C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列

11.  已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(    )

A. 存在P使得 B. 的最小值为
C. 若，则的面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值

12.  曲线的曲率就是针对曲线上㭉个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数(    )

A. 若函数则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B. 若是二次函数．则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C. 若函数，则函数的值域为
D. 若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为

13.  设…，则a除以9所得的余数为__________.

14.  规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，则母球A的球心运动的直线方程为______ .
 

15.  已知正实数x，y满足，则的最大值为______.

16.  已知菱形ABCD的边长为2，将沿BD折起，使得点A至点P的位置，得到四面体当二面角的大小为时，四面体的体积为______；当四面体的体积为1时，以P为球心，PB的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线在内部的长为______.

17.  已知，抛物线与x轴正半轴相交于点设为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
求数列的通项公式；
设，求证：且

18.  已知中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
求角A的大小；
设点D为BC上一点，AD是的角平分线，且，，求的面积．

19.  如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，
求证；
求异面直线AG和CE所成角的余弦值．

20.  统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望；
另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
请从分层抽样的角度估计池塘乙电的鱼数.
统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

21.  已知双曲线C：的焦距为，且过点，直线l与曲线C右支相切切点不为右顶点，且l分别交双曲线C的两条渐近线与M，N两点，O为坐标原点.
求双曲线C的方程；
求证：面积为定值，并求出该定值.

22.  已知函数
若，求函数的单调递增区间；
设，是的两个不相等的正实数解，求证：

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：全集，，，
，，

故选：
先求出，，再求出
本题考查集合的交集及补集运算，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，所以虚部是
故选：
利用复数的除法法则计算得到，从而得到虚部．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：对于A：与的夹角为，故不正确；
对于B：，故不正确
对于C：，故正确；
对于D：在上的投影向量为其中为与同向的单位向量，故不正确．
故选：
利用正八边形的性质，向量的有关运算性质，即可判断出结论．
本题考查正八边形的性质，向量的有关运算性质，解题中需要一定的推理能力，属于中档题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：区间的整数有2，3，4，5，6，7，8，其中是质数的有2，3，5，
从属于区间的7个整数中任取两个数，
则至少有一个数是质数的概率为
故选：
利用古典概型、排列组合直接求解．
本题考查概率的计算，考查古典概型、排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：函数在上恰有3个零点，
由，且，可得，
所以，且，或，且，
解得，或，
故选：
由x的范围求得的范围，结合正弦函数的图象和零点，可得，且，或，且，解不等式可得所求取值范围．
本题考查三角函数的零点个数，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由题意可知，，，
又，
，
解得，
，即，
故选：
由题意可知，结合对数的运算性质可得，再化为指数式即可求出结果．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：令函数，
则，
故在上单调递增，
由，可得在上恒成立，
在上恒成立，
取，则，
当时，，即，，
当时，，即，，
故B，D不一定成立，
又当时，，所以，由换底公式得，
当时，，所以，得，故A正确，C错误，
故选：
令函数，求出函数的导数，根据函数的单调性以及a，b的范围分别判断即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：如图，易知，，
，，
又，，
，
在平面面内以DC为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建系如图，
根据题意可得，，设，
又，，
，
整理得，
在正方形面内包括边界，P是以为圆心，半径的圆上的点，
令，可得，
当P为圆Q与线段的交点时，P到底面ABCD的距离最大，最大距离为，
三棱锥的体积最大值是
故选：
易知，，从而得，，又，从而可得，在平面面内以DC为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建系如图，根据题意可得，，设，则可求出P的轨迹方程，最后再数形结合即可求解．
本题考查轨迹方程的求解，运动变化思想，锥体的体积公式的应用，属中档题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：因为上述结果是分类比例，所以适合表示上述结果的是柱状图和扇形图．
故选：
由实际问题中调查类型判断所用图示即可．
本题考查了数据分析中图示的应用，属于基础题．
 

10.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，由题意知当n为偶数时，，
当n为奇数时，，，
最大，
综上所述：数列的最大项为，故A正确；
对于B，当n为偶数时，，最小；
当n为奇数时，
综上所述：数列的最小项为，故B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列是递增数列，故C正确；
对于D，，，
，
，，，
又，，
数列为递减数列，故D错误．
故选：
分别在n为偶数和n为奇数的情况下，根据项的正负和的正负求出最大项和最小项，判断AB；利用和，判断
本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】ABC 

【解析】解：由椭圆的方程：，可得，，所以，
A中，离心率，故A正确；
B中，由题意得，
设，长分别为p，
，
当且仅当，时取等号，的最小值为，故B正确；
C中，由，可得，即，
所以，
所以，故C正确；
D中，当P不为椭圆的左右顶点时，，，可得，由椭圆的方程可得，，
则，故D不正确；
故选：
由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，求出离心率的值，判断A正确；设，长分别为p，利用可求最小值，判断B正确，由勾股定理及椭圆的定义可得的值，进而求出三角形的面积，判断C正确；设P的坐标，由题意可得P的横纵坐标的关系，求出直线PA，PB的斜率之积为定值，判断D正确．
本题考查椭圆的性质的应用，属中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，，，则，
又，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；
对于B，设，，，
则，当且仅当，即时，曲率取得最大值，故B错误；
对于C，，，，
当时，；当时，函数为增函数，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，，，
当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：
根据求导法则和运算性质分别求出选项的、，求出曲率的表达式，结合偶函数的定义、复合函数的单调性、基本不等式的应用依次判断即可．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】8 

【解析】

【分析】

可知，然后将化为，然后利用展开式求出其余数．
本题考查二项式定理的逆用，同时考查利用二项式定理解决整除问题，属于基础题．

【解答】

解：由已知得……，
上述展开式中，从第一项到倒数第二项，每一项都可以被9整除，故只需求出除以9的余数即可，
显然，故余数为
故答案为：

14.【答案】 

【解析】解：点，所在直线的方程为，如图所示，

可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，
设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为，此时，则，
解得，
即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标，
所以母球A的球心运动的直线方程为，即
故答案为：
求出BC所在的直线方程，得到碰撞时A的坐标，可得母球A球心运动的直线方程．
本题考查动点轨迹方程的求法，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，两边同时除以，得，
因为x，，所以，
设，则，递增，
所以由可得，
所以，，
设，则，
所以当时，，递增，时，，递减，
所以
故答案为：
把已知等式变形为：，利用函数的单调性得x，y的关系，这样把转化为x的函数，再利用导数求得最大值．
本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于难题．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图1，过点P作交CO的延长线于点F，则，

因为菱形ABCD的边长为2，，
所以，，
故四面体的体积为；
当四面体的体积为1时，此时，
解得：，，即O，F两点重合，
即底面BCD，如图2，

以P为球心，的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆，
落在内部的长为圆周长的一半，所以长度为
故答案为：，
画出图形，求出四面体的高，从而求出四面体的体积；通过分析得到，，即O，F两点重合，画出图形，得到落在内部的长为半径为1的圆周长的一半，从而求出答案．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：由题意，令，解得，
又A在x轴正半轴，故，
，故切线斜率，
抛物线在点处的切线方程为，
令，，
所以它在y轴上的截距
证明：由题意，，
故，
又对且时，，
，得证． 

【解析】先求解A坐标，求导，可得切线鈄率，利用直线方程的点斜式，即得解；
代入，可得，由，裂项相消，即可证明．
本题考查了导数的几何意义的应用以及裂项相消求和和数列不等式的证明问题，属于中档题．
 

18.【答案】解：在中，由正弦定理及得：，
由余弦定理得，
又，所以
是的角平分线，，
由可得，
因为，，即有，，
故 

【解析】由已知，根据正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可求，由，可得A的值．
是的角平分线，，进而由可求b，可求面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

19.【答案】证明：连接DE，

因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以，，
故，，
又因为，CE，平面CDE，
所以平面CDE，
因为平面CDE，
所以
解：由题意得：，，均为等边三角形且边长为1，
所以，
，
所以，
设异面直线AG和CE所成角为，
则 

【解析】作出辅助线，利用三线合一证明出，，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直；
用表达与，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值．
本题考查了空间中的垂直关系以及异面直线所成角的求解，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知的可能取值为0，1，2，
，，，
故的分布列为：

设池塘乙中鱼数为m，则，解得，故池塘乙中的鱼数为
设池塘乙中鱼数为n，令事件“再捉20条鱼，5条有记号”，事件“池塘乙中鱼数为n”，
则，由最大似然估计法，即求最大时n的值，其中，
，
当，时，，
当时，
当，201，时，
所以池塘乙中的鱼数为199或 

【解析】根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望；
根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值．
本题考查离散型随机变量的概率分布列及期望，是中档题．
 

21.【答案】解：设双曲线的焦距为2c，由题意可得：，解得：，，
所以双曲线的方程为：；
证明：设直线l的方程：，直线与曲线的右支相切切点不为右顶点
则，整理可得：，
，可得，①
设直线l与x轴交于一点D，则，
，
双曲线的渐近线的方程为，
联立，可得，
同理可得，
则，
由①及直线l与曲线C右支相切，m与k异号，
则 

【解析】由焦距可得c的值，将点A的坐标代入及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；
由可得渐近线的方程，设直线l的方程，分别与渐近线相交，求出M，N的坐标，设直线l与x轴的交点D，求出D的坐标，可得的面积为，的面积之和，代入面积公式可证的面积为定值
本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合，三角形的面积公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：依题意，，，
，
令，解，，
故函数的单调递增区间为
证明：依题意，，
所以，是的两个不相等的正实数解，
则，解得，

，
令，，，
则，
在上单调递减，
，
即 

【解析】求出函数的定义域，对函数求导，令导数，解可得函数的单调递增区间；
利用根的判别式和函数的单调性证明即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与计算能力，属于中档题．