2023年河北省衡水市桃城区河北衡水中学高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2023年河北省衡水市桃城区河北衡水中学高考数学一模试卷（含答案解析），共17页。
2023年河北省衡水市桃城区河北衡水中学高考数学一模试卷1.  已知集合，，若，则实数m的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数，，当时，，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗称为接种率，那么1个感染者可传染的新感染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知角的顶点是坐标原点，始边是x轴的正半轴，终边是射线，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x，y之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：x12023252730yi233由表格中的数据可以得到y与x的经验回归方程为据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的样本数据是(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知中，，，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知正三棱柱，过底边BC的平面与上底面交于线段MN，若截面BCMN将三棱柱分成了体积相等的两部分，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 9.  某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图.下列结论正确的有(    )
 A. 该产品的年销量逐年增加
B. 该产品各年的月销量高峰期大致都在8月
C. 该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加
D. 该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳10.  已知函数的图像的对称轴方程为，则函数的解析式可以是(    )A.  B.
C.  D. 11.  红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”，B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是(    )A. 事件A与事件C是独立事件 B. 事件A与事件B是互斥事件
C.  D. 12.  已知椭圆C：与直线l：交于A，B两点，记直线l与x轴的交点E，点E，F关于原点对称，若，则(    )A.  B. 椭圆C过4个定点
C. 存在实数a，使得 D. 13.  已知向量，，若向量与平行，则实数t的值为______ .14.  分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图，正三角形ABC的边长为4，取各边的中点D，E，F作第2个三角形，然后再取各边的中点G，H，I作第3个三角形，以此方法一直进行下去.已知为第1个三角形，设前n个三角形的面积之和为，若，则n的最小值为______ .15.  如图，已知台体的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为若，，，则该台体的外接球的表面积为______ .
 16.  在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面或称椭圆面
如果用坐标平面，，分别截椭球面，所得截面都是椭圆如图所示，这三个截面的方程分别为，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线或主椭圆已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为______ .
17.  已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为
请指出这三个条件，并说明理由；
若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.18.  温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示.环境质量等级土壤各单项或综合质量指数灌溉水各单项或综合质量指数环境空气各单项或综合质量指数等级名称1清洁2尚清洁3超标各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标或周围环境地下水、地表水、大气等有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：

若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；
现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记z为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望.19.  已知数列，满足…，是等比数列，且的前n项和
求数列，的通项公式；
设数列，的前n项和为，证明：20.  如图所示，A，B，C，D四点共面，其中，，点P，Q在平面ABCD的同侧，且平面ABCD，平面
若直线平面PAB，求证：平面CDQ；
若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.
21.  已知函数，其中
当时，求函数的单调区间；
当时，恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：集合，或，
，
，
实数m的取值范围是
故选：
求出集合N，由，得到，由此能求出实数m的取值范围．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】A 【解析】解：，
则，
故，即
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】D 【解析】解：为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，
所以，即，
因为，
所以，解得，
则地疫苗的接种率至少为
故选：
由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出，代入不等式中求解，即可得到答案．
本题考查了函数的实际应用问题，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 4.【答案】B 【解析】解：角的顶点是坐标原点，始边是x轴的正半轴，终边是射线，
由已知可设角终边上一点，则，
所以，
可得
故选：
由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，利用二倍角的正切公式可求的值，进而利用两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 5.【答案】C 【解析】解：由表中数据可得，，
y关于x的经验回归方程为，可得，解得，
故y关于x的经验回归方程为，
对于A，当时，，残差的绝对值为，
对于B，当时，，残差的绝对值为，
对于C，当时，，残差的绝对值为，
对于D，当时，，残差的绝对值为
故选：
由表中数据可得、，写出y关于x的经验回归方程，再利用回归方程求出y关于x的经验值，计算残差的绝对值即可得出结论．
本题主要考查了线性回归方程和残差的应用问题，是基础题．
 6.【答案】B 【解析】解：由题可得，
所以²²，
故选：
根据向量的线性运算，可得，根据数量积公式，代入计算，即可得到答案．
本题考查平面向量数量积的运算性质，属于中档题．
 7.【答案】A 【解析】解：由题可知平面BMNC与棱柱上底面分别交于，，
则，，显然是三棱台，
设的面积为1，的面积为S，三棱柱的高为h，
，解得，
由∽，可得
故选：
利用棱柱，棱台的体积公式结合条件即可求解．
本题考查棱台的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 8.【答案】A 【解析】解：由于，，
则，
由于，
所以，
故外接圆的半径为，
所以


，
由于，
由于为锐角三角形，
所以，
所以，
故，即
故选：
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 9.【答案】ABD 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，该产品的年销量逐年增加，A正确；
对于B，由折线图可知，该产品各年的月销量高峰期大致都在8月，B正确；
对于C，2019年8月至9月，该产品销量减少，C错误；
对于D，由折线图可知，该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳，D正确．
故选：
根据题意，由折线图依次分析选项，综合可得答案．
本题考查统计图中的分析，涉及折线图的应用，属于基础题．
 10.【答案】BD 【解析】解：关于对称，不满足题意，所以A不正确；
，因为，所以B正确；
函数是偶函数，关于对称，所以C不正确；
函数满足，所以D正确；
故选：
利用函数的图象的对称性，判断选项即可．
本题考查函数的对称性的应用，是基础题．
 11.【答案】BCD 【解析】解：根据题意，A事件两瓶均为红色颜料，C事件为一瓶红色一瓶蓝色颜料，则事件A发生事件C必定不发生，
，，，，
故A，C不是独立事件，故A错误，C正确，
若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，
此时调出红色和调出绿色不同时发生，故A，B为互斥事件，故B正确，
，
若C事件发生，则甲有三种情况，
①甲取两瓶黄色，则概率为，
②甲取1瓶黄色和1瓶红色或1瓶黄色和1瓶蓝色，则概率为，
③甲取1瓶红色1瓶蓝色，则概率为，
则，故D正确．
故选：
根据独立事件和互斥事件的概念判断AB，根据条件概率公式判定C，求出B，C事件的概率判断
本题考查排列组合、独立事件、互斥事件、条件概率等基础知识，属于中档题．
 12.【答案】ABC 【解析】解：设，由得，
，则，
因为，所以，又，
所以，
所以，，故A正确；
所以，即椭圆过定点，，故B正确；
，由得，则，所以，则有，因为，所以的取值范围为，故C正确，D错误．
故选：
联立椭圆与直线方程，根据直线与椭圆的位置关系逐项求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系．
 13.【答案】 【解析】解：向量，，
则，
向量与平行，，
，解得
故答案为：
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
 14.【答案】3 【解析】解：根据题意，设第n个三角形的面积为，
分析可得：第个三角形的边长为第n个三角形边长的一半，则，
而第一个三角形的面积，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则前n个三角形的面积之和为，
若，解可得，故n的最小值为3；
故答案为：
根据题意，设第n个三角形的面积为，分析可得数列是首项为，公比为的等比数列，由此可得的表达式，解可得答案．
本题考查数列的应用，涉及等比数列的求和以及归纳推理的应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，连接，交于点，连接AC，BD交于点，
由球的几何性质可知，台体外接球的球心O在上，
由题知长方形ABCD与长方形相似，
则有，解得，

由题意可知，平面ABCD，平面，
，
设，，
，
同理可得，
，
设台体外接球O的半径为R，
则有，即，
解得，则，即该台体的外接球的半径，
该台体的外接球的表面积为
故答案为：
连接，交于点，连接AC，BD交于点，由球的几何性质可知，台体外接球的球心O在上，设，进而可得，求解即可．
本题考查空间几何体的外接球的表面积，考查转化能力，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：根据中心在原点、其轴与坐标轴重合的某椭球面的标准方程的定义，设此椭球面的标准方程为，
椭球面过点，
将它的坐标代入椭球面的标准方程，
得，，
椭球面的方程为
故答案为：
类比求曲线方程的方法，我们可以用坐标法，求空间坐标系中椭球面的方程．只需求出椭球面的长轴长，中轴长，短轴长，类比在平面直角坐标系中椭圆标准方程的求法，易得椭球面的方程．
本题考查合情推量，由于空间直角坐标系中椭球面标准方程与平面直角坐标系中椭圆标准方程相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法求解，属中档题．
 17.【答案】解：对于条件②，，
若函数的图象可以由的图象平移得到，
则，
由条件③相邻两条对称轴之间的距离为，可得的最小正周期为，
可得，与②矛盾；
对于条件④最大值为2，可得与②矛盾，
故只能舍弃条件②，
所以这三个条件为①③④．
由可得，
由条件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
时，，
时，，
时，，
又曲线的对称轴只有一条落在区间上，
所以，
即m的取值范围是 【解析】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
由条件②可得，由条件③可得，由条件④可得，推出条件②与③④都矛盾，从而可得结论；
由及条件①可求得的解析式，从而可求得的对称轴，结合题意即可求得m的取值范围．
 18.【答案】解：由题图知应对土壤做进一步调研的村有4个，记事件“抽取2个村应对土壤做进一步调研“，
则，所以抽取两个村应对土壤做进一步调研的概率为；
由题意知环境空气等级为尚清洁的村共5个，的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列为0123P所以 【解析】利用古典概型概率计算方法求解；
确定出的所有可能取值，再分别求出对应概率，列出分布列并求出期望．
本题考查统计图、古典概型、超几何分布的知识与方法，属于中档题．
 19.【答案】解：因为数列的前n项和，
所以当时，，即，
当时，，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
因为…，
所以当时，…，
两式相减得，，
又时，，满足上式，
所以，
因为，所以
证明：，
所以…，
所以，
要证，需证，需证，即证，
因为在上单调递增，
所以当时，取得最小值3，
所以恒成立，
故命题得证． 【解析】在中，分别令和，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而知，再利用的方法，求得，进而知；
裂项求和得，再采用分析法，结合函数的单调性，即可得证．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，裂项求和法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 20.【答案】证明：因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB，
因为，所以，
因为平面PAB，
因为，平面CDQ，平面CDQ，
所以平面平面PAB，
直线平面PAB，所以平面CDQ；
解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由可得，又因为，所以四边形APQC为平行四边形，

不妨取，由题意可得，，，，，
所以，，
设平面BPQ的一个法向量为，
则，令，则，，则，
易知平面CDQ，
则平面CDQ的一个法向量为，
所以，
锐二面角的余弦值为 【解析】通过证明平面平面PAB，可证平面CDQ；
以A为坐标原点，AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面BPQ，平面CDQ的一个法向量，利用向量法可求锐二面角的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
 21.【答案】解：当时，的定义域为，
则，
当时，即时，，函数单调递增，
当时，即时，，函数单调递减，
所以函数单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：设，由，
解得或，
①当时，，，
当时，单调递减，
所以，
若，则，
因为当且仅当时等号成立，
又因为，
所以，
此时不成立，即不合题意，
②当时，为减函数，
当时，，
令，则，
所以，
此时，
，
当时，单调递减，，
所以在上单调递减，又，
所以在上，
所以在上单调递减，又，
所以在上，
即当时，恒成立，
当时，
，
又，，
所以，
，
所以当时，恒成立，
故a的取值范围为 【解析】当时，的定义域为，求导，分析的符号，的单调性．
利用端点值确定a的必要性区间，利用三角函数的分界性，分区间讨论，利用放缩和估值法，讨论a的范围，进而可求．
本题考查导数的综合应用，考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．