2023年河北省石家庄市高考数学质检试卷（一）（含答案解析）

2023年河北省石家庄市高考数学质检试卷（一）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数z在复平面内对应的点为，则(    )

A. 8 B. 4 C.  D.

3.  截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜图观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线图的顶点到焦点的距离为(    )
 

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

4.  已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为(    )

A. 70 B. 72 C. 74 D. 76

5.  “”是“圆：与圆：有公切线”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位.现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为(    )

A. 96 B. 120 C. 144 D. 240

7.  设向量，满足，，若，，则向量与的夹角不等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列说法正确的是(    )

A. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，20，22的第80百分位数为16
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，则方差
D. 若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数和方差都会发生变化

10.  设函数的最小正周期为，则(    )

A.
B. 函数的图象可由函数的图象向左平移个长度单位得到
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 函数在区间上单调递增

11.  已知正方体的棱长为2，M，N分别是AB，的中点，则(    )

A.
B.
C. 知平面MND截此正方体所得截面的周长为
D. 三棱锥的体积为3

12.  设是定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则(    )

A. 为偶函数
B. 在上单调递减
C. 在区间上有4046个零点
D.

13.  曲线在点处的切线的斜率为______ .

14.  展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______ 用数字作答

15.  已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，B是C的上顶点，过的直线交C于P，Q两点，O为坐标原点，与的周长比为，则椭圆的离心率为______ ；如果，且，则的面积为______ .

16.  已知函数，则的最小值是______ .

17.  的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设
求C；
若，求

18.  植物生长调节剂是一种对植物的生长发育有调节作用的化学物质，它在生活中的应用非常广泛.例如，在蔬菜贮藏前或者贮藏期间，使用一定浓度的植物生长调节剂，可抑制萌芽，保持蔬菜新鲜，延长贮藏期.但在蔬菜上残留的一些植物生长调节剂会损害人体健康.某机构研发了一种新型植物生长调节剂A，它能延长种子、块茎的休眠，进而达到抑制萌芽的作用.为了测试它的抑制效果，高三某班进行了一次数学建模活动，研究该植物生长调节剂A对甲种子萌芽的具体影响，通过实验，收集到A的浓度与甲种子发芽率Y的数据.
表一

若直接采用实验数据画出散点图，如图1所示除了最后一个数据点外，其他各数据点均紧临坐标轴，这样的散点图给我们观察数据背后的规律造成很大的障碍，为了能够更好的观察现有数据，将其进行等价变形是一种有效的途径，通过统计研究我们引进一个中间量x，令，通过，将A浓度变量变换为A的浓度级变量，得到新的数据.
表二

如图2所示新数据的散点图，1散点的分布呈现出很强的线性相关特征.请根据表中数据，建立Y关于x的经验回归方程；
根据得到的经验回归方程，要想使得甲种子的发芽率不高于，估计A浓度至少要达到多少？
附：对于一组数据，，…，，其经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

19.  如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形且垂直于侧面SAB，O为AB的中点，，
证明：平面SOC；
侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

20.  已知等差数列的前n项和记为，满足
若数列为单调递减数列，求的取值范围；
若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求

21.  已知点在双曲线C：上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，
求双曲线C的方程；
若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个多选只按先做给分，证明：直线l过定点.
①；②

22.  伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数且，正整数n不小于2，那么研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题.
证明：当时，对任意恒成立；
证明：对任意，恒成立.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，，

故选：
可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：复数z在复平面内对应的点为，
则，
故，
所以
故选：
先求出z，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：如图所示建立直角坐标系，

设抛物线的标准方程为，
由题意可知点在抛物线上，
，解得，
焦点，
焦点到顶点的距离为
故选：
如图所示建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，由题意可知点在抛物线上，代入抛物线方程解得p，即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：数列为各项均为正数的等比数列，，，
设公比为q，且，
，
解得，舍，
故，
，
，
故选：
根据已知条件求得q以及通项公式，再根据等比数列的性质即可求解结论．
本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，
当两圆无公切线时，则两圆内含，
所以两圆的圆心距，
即，
解得，
当两圆有公切线时，则或，
故由”可以推出“圆：与圆：有公切线”，
反之由“圆：与圆：有公切线”推不出“”，
所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分不必要条件．
故选：
当两圆无公切线时，则两圆内含，求出a的取值范围，进而求出两圆有公切线时a的取值范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，
可分为两种情况：
1，1，1，3，且甲、乙分在同一所中学，故不同的安排方法种数为，
1，1，2，2，且甲、乙分在同一所中学，故不同的安排方法种数为，
故甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为种，
故选：
根据题意，可分为两种情况：1，1，1，3和1，1，2，2，再结合甲、乙分在同一所中学，最后用分类加法计数原理计算即可．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：设向量与的夹角为，，
向量，满足，，，
则，即，
故，
当时，，
则，
当时，不成立，
当时，，
则，
综上所述，，
所以
故选：
对算式两边同时平方，并对t分类讨论，即可求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：令，且，
则，
由得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减，
，即，
，，
，
又，即，
，
在上单调递增，则，
，即
又，，
，
，
故选：
构造函数，且，求出可得的单调性，分别判断a与b，c与a的大小关系，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和运用函数单调性比较大小，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】BC 

【解析】解：对于选项A，这组数据按从小到大的顺序排列共10个数字，由可得这组数据的第80百分位数为第8个数据与第9个数据的平均数，
又，
即这组数据的第80百分位数为18，
即选项A错误；
对于选项B，随机变量，且，则，即选项B正确；
对于选项C，随机变量，则，则方差，即选项C正确；
对于选项D，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数会增加正数x，方差不会发生变化，即选项D错误，
故选：
由离散型随机变量的期望与方差，结合百分位数及正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，重点考查了百分位数及正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义，属基础题．
 

10.【答案】ACD 

【解析】解：函数的最小正周期为，
，，故A正确；
把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的图象，
故B错误；
令，可得，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；
当，，函数在区间上单调递增，故D正确，
故选：
由题意，利用两角差的余弦公式化简，再根据函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查两角差的余弦公式，函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于基础题．
 

11.【答案】BC 

【解析】解：对A，B选项，建系如图，则根据题意可得：
，，，，，，
，，，
，，
与不平行，，选项错误，B选项正确；
对C选项，如图，取的中点Q，再取QB的中点P，
则易证四边形AQND为矩形，
，又易知，
，
易得平面MND截此正方体所得截面为梯形MPND，
又根据题意可得梯形MPND的周长为：
，选项正确；
对D选项，由C选项分析可知，
到平面MPND的距离等于B到平面MPND的距离的3倍，
三棱锥的体积
，选项错误．
故选：
对A，B选项，建系，根据向量法，即可求解；
对C选项，取的中点Q，再取QB的中点P，从而可得平面MND截此正方体所得截面为梯形MPND，再计算梯形各边，即可求解；
对D选项，由C选项分析易得：到平面MPND的距离等于B到平面MPND的距离的3倍，从而可得，再根据锥体的体积公式，计算即可得解．
本题考查向量法求解线线平行问题，向量法求解线线垂直问题，正方体的截面问题，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】AB 

【解析】解：因为的图象关于直线对称，
所以将的图象向右平移个单位得的图象关于y轴对称，
再将的横坐标扩大为原来的2倍得的图象关于y轴对称，
即为偶函数，A正确；
由题意可得当时令，
则在恒成立，所以单调递减，
又，所以当时，单调递增，
当时，，单调递减，因为是奇函数，
所以在上单调递减，B正确；
由A可得关于对称，结合是奇函数可得，
所以，即是以为周期的周期函数，
因为，结合单调性和关于对称可得在区间上有2个零点，
又因为是定义在R上的奇函数，，所以在区间上有6个零点，
所以在区间上有3036个零点，C错误；
因为，，，，
所以，D错误；
故选：
利用函数的平移变换和伸缩变换判断A，利用导函数研究的单调性，结合奇函数的性质判断B，利用是奇函数和是偶函数求得的周期判断
本题考查函数的性质，考查周期性，单调性，奇偶性，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的导数为，
所以在点处的切线的斜率为
故答案为：
根据导数的几何意义与导数的运算法则即可得解．
本题主要考查导数和函数的切线方程，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：展开式中奇数项二项式系数和为32，
所以，所以，所以，
故通项公式，
整理得，
令，
所以，
故常数项为
故答案为：
根据展开式中奇数项二项式系数和为32，计算n，再写出通项公式，求出常数项即可．
本题考查了二项式定理，属于基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：的周长为，
的周长为4a，
由题意可得，可得，而，
可得，即，，
解得；
再由，可得，，
所以椭圆的方程为：，焦点，，，
所以，所以直线PQ的斜率为，
设直线PQ的方程为，设，，
联立，整理可得：，
显然，解得，，
所以，
所以，
故答案为：；
由椭圆的定义可得与的周长，可得它们之比，由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率；再由的值，可得a的值，进而由离心率的值可得c的值，再求b的值，可得，B，的坐标，求出的斜率，由题意可得直线PQ的斜率，求出直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得P，Q的纵坐标，代入三角形的面积公式，可得的面积．
本题考查椭圆的性质的应用及椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 

16.【答案】7 

【解析】解：函数


，
，，，
令，，则，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
故的最小值是
故答案为：
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，推得，再结合换元法，并利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，由正弦定理可得，即，
所以根据余弦定理及中可得
根据题意，由正弦定理可得，
所以，
解得①，
因为②，
①②联立可解得或，
又因为，则，，舍去，
所以 

【解析】利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；
利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
，

，
；
由，解得，则
又，得，得，即，
要想使得甲种子的发芽率不高于，估计A浓度至少要达到 

【解析】由已知求得与的值，即可求得Y关于x的经验回归方程；
由求得x的最小值，代入，求解u值得结论．
本题考查线性回归方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】证明：设BD交OC于点M，
底面ABCD为矩形，在中，，
为AB的中点，，
在中，，
，
，
，，
，，，即，
，为等边三角形，为AB的中点，，
平面平面SAB，平面SAO，平面平面，，
平面ABCD，
平面ABCD，，即，
又，，SO，平面SOC，平面
解：由E在侧棱SD上，设，
底面ABCD为矩形，，
平面平面SAB，平面平面，，
平面
以O坐标原点，过点O作平行于AD的直线为z轴，以OB和OS所在直线分别为x轴和y轴，建立空间直角坐标系，

，为等边三角形，
为AB的中点，
，
，
，，
，
，
设平面SCD的法向量为，
，即，令，；
设平面ABE的法向量为，
由，可得，
令，，，
，
平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，
，
整理得，或，均符合，
或，
综上，侧棱SD上存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，
此时或， 

【解析】利用相似三角形和勾股定理证出，根据平面与平面垂直的性质和直线与平面垂直的性质，证得，根据直线和平面垂直的判定定理，证出平面SOC；
根据平面与平面垂直的性质以及为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角与平面与平面的夹角公式及关系，解出的值，求出存在点E，得出或
本题考查了线面垂直的证明以及两个平面的夹角计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：由得，，
若数列为单调递减数列，则满足恒成立，
即，得恒成立，
解得：，则的取值范围为；
根据题意数列为：
1，，，，，，，，，，，，⋯，可将数列分组：
第一组为：1，；
第二组为：，，；
第三组为：，，，；

第k组为：，，，；
则前k组一共有项，当时，项数为90，
故相当于是前12组的和再加上，1，2，，这五项，
即，
可看成是数列的前12项和，
 

【解析】利用递减数列的定义得到恒成立，即可求解；
根据条件分析新数列的特征，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算，即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程，
由题意可得过与x轴平行的直线方程为，
与两条渐近线的交点M，N的横坐标分别为，，
所以，可得，
设双曲线的方程为：，
将代入双曲线的方程：，交点，
所以双曲线的方程为：；
证明：设，，因为直线AP，BP分别为，，
用齐次式方程解答，设直线l的方程为，
设双曲线的方程为，
整理可得，
将式代入，
整理可得，
因为直线PA，PB的斜率存在且不为0，所以，
两边同时除以，整理可得：，
，且可得，，
若选①：，
可得，可得，
所以直线l的方程为，整理可得：，可得直线恒过定点；
若选②：，可得，整理可得，
所以可得，解得，，即直线恒过定点 

【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由题意可得M，N的坐标，进而可得a，b的关系，将P的坐标代入双曲线的方程，可得a，b的关系，进而求出a，b的值，可得双曲线的方程；
由直线PA，PB的斜率存在，用设齐次式方程解决此问题，设直线l的方程及椭圆的方程，代入整理，由直线PA，PB的斜率之和或斜率之积求出参数的关系，进而可证得直线l恒过的定点的坐标．
本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合应用，齐次方程的求解运算的应用，属于中档题．
 

22.【答案】证明：令，
当时，，原不等式成立；
当时，，
当时，，，单调递减；
当，，单调递增；
所以，即；
要证对任意，恒成立，只需证
，
即证，
由知对于任意正整数，
所以，
那么
，
下面证明成立，
要证成立，只需证，令即证明成立；
令，则；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，所以当时，，
所以，
所以上面式可化为

所以命题得证． 

【解析】构造函数，求导数，利用导数求出最小值，可证不等式；
把目标式转化为证明，通过贝努利不等式放缩，构造函数，等比数列求和等可证明结论成立．
本题考查了贝努利不等式放缩和等比数列求和公式，属于中档题．