2023届河北衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高三模拟（一）数学试题含解析

2023届河北衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高三模拟（一）数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求解集合与集合的补集，利用交集运算求解即可.

【详解】解：因为全集，集合，，

则，，故.

故选：B.

2．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则计算得到，从而得到虚部.

【详解】，所以虚部是．

故选：A

3．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（    ）

A．与的夹角为

B．

C．

D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）

【答案】C

【分析】结合正八边形的性质以及向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】，所以的夹角为，A选项错误.

由于四边形不是平行四边形，所以，

是等腰直角三角形，所以，，

所以，C选项正确.

结合图像可知在上的投影向量与的方向相反，所以D选项错误.

故选：C

【点睛】4．从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型公式、组合定义进行求解即可.

【详解】区间的整数共有7个，则质数有2，3，5，7共4个；非质数有3个；

设事件：从属于区间的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，

由，

故选：

5．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.

【详解】因为，，其中，解得：，

则，要想保证函数在恰有三个零点，

满足①，，令，解得：；

或要满足②，，令，解得：；

经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，

综上：的取值范围是.

故选：C.

【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.

6．在某款计算器上计算时，需依次按下“Log”､“（”､“a”､“，”､“b”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算（，）时，误将“Log”､“（”､“b”､“，”､“a”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的倍，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题可得，然后利用换底公式及指数式对数式互化即得.

【详解】由题可知，

∴，又，，

∴，，

∴，即.

故选：D.

7．已知实数，，，且，则必有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设函数，利用导数得出其单调区间，取，从而可判断选项的正误，得出答案.

【详解】令函数，则.

所以单调递增，由，可得在上恒成立，在上恒成立.

取，则

当时，，即，；

当时，，即，.故B，D不一定成立.

又当时，，所以，由换底公式得；

当时，.所以，得. 所以选项A正确

故选: A

8．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是正方形面内(包括边界)的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（    ）

A．36 B．24 C． D．

【答案】D

【分析】要求三棱锥的体积最大，只需高最大，利用三角形相似与二次函数的性质可求得高的最大值，即可求解

【详解】因为在棱长为6的正方体中，是的中点，

点是正方形面内(包括边界)的动点，且满足，

所以，

所以，

即，

过点作交于点，

则易知为三棱锥的高，

欲使三棱锥的体积最大，只需高最大，

设，又，

则，化简得，

由二次函数的性质可知当时，的最大值为36，

所以最大值为，即三棱锥高的最大值为，

所以三棱锥的体积的最大值为：.

故选：D．

二、多选题

9．2022年1月，社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道､大部分知道､少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%､49.0%､34.6%和3.8%，则适合表示上述调查结果的是（    ）

A．柱形图 B．茎叶图 C．扇形图 D．频率分布直方图

【答案】AC

【分析】由实际问题中调查类型判断所用图示即可.

【详解】解：因为上述结果是分类比例，所以适合表示上述结果的是柱状图和扇形图.

故选：AC

10．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（    ）

A．数列的最大项为 B．数列的最小项为

C．数列为递增数列 D．数列为递增数列

【答案】ABC

【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.

【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；

当为奇数时，，，最大；

综上所述：数列的最大项为，A正确；

对于B，当为偶数时，，，最小；

当为奇数时，；

综上所述：数列的最小项为，B正确；

对于C，，，

，

，，，

数列为递增数列，C正确；

对于D，，，

；

，，，又，

，数列为递减数列，D错误.

故选：ABC.

11．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．存在P使得 B．的最小值为

C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值

【答案】ABC

【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.

【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，

所以，，，，，

对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；

对于B选项，记，则，

由余弦定理：

，当且仅当时取“=”，B正确；

对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；

对于D选项，设，则，，于是,故错误.

故选：ABC

12．曲线的曲率就是针对曲线上㭉个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．（    ）

A．若函数f（x）=．则曲线y=f（x）在点（-，-）与点（，）处的弯曲程度相同

B．若是二次函数．则曲线的曲率在顶点处取得最小值

C．若函数，则函数的值域为

D．若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据求导法则和运算性质分别求出选项的，求出曲率的表达式，结合偶函数的定义、复合函数的单调性、基本不等式的应用依次判断即可.

【详解】对于A，，，则，

又，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；

对于B，设，，

则，当且仅当，

即时，曲率取得最大值，故B错误；

对于C，，

，

当时，；当时，函数为增函数，

所以的最大值为，故C正确；

对于D，，

，

当且仅当时，等号成立，故D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．设，则除以9所得的余数为______．

【答案】8

【分析】根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果.

【详解】因为，

所以，，

所以除以9所得的余数为8．

故答案为：8

14．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______．

【答案】

【分析】求出所在的直线方程，得到碰撞时的坐标，可得母球球心运动的直线方程.

【详解】点，所在直线的方程为，如图所示

可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，设，两球碰撞时，球的球心坐标为，此时，则，解得，即，B两球碰撞时，球的球心坐标

所以母球的球心运动的直线方程为，即．

故答案为：

15．已知正实数，满足，则的最大值为______．

【答案】

【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．

【详解】由得，所以，，

因为，所以，

设（），则，递增，

所以由得，所以，

，

设，则，

所以时，，递增，时，，递减，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于较难题．

四、双空题

16．已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.

【答案】     ##    

【分析】画出图形，求出四面体的高，从而求出四面体的体积；通过分析得到，，即O，F两点重合，画出图形，得到落在内部的长，从而求出答案.

【详解】

如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，

因为菱形的边长为2，，

所以，，

故四面体的体积为；

当四面体的体积为1时，此时，

解得：，，即O，F两点重合，

即PO⊥底面BCD，如图2，

以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆，

落在内部的长为圆周长的一半的三分之一，所以长度为.

故答案为：，

五、解答题

17．已知，抛物线与轴正半轴相交于点．设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距．

(1)求数列的通项公式；

(2)设， 求证： （且）．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先求解坐标，求导，可得切线斜率，利用直线方程的点斜式，即得解；

（2）代入，可得，由，裂项相消，即可证明

【详解】（1）由题意，令，解得

又在轴正半轴，故

，故切线斜率

抛物线在点处的切线方程为

令

所以它在轴上的截距．

（2）由题意，

故

又对且时

得证

18．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.

(1)求角的大小；

(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案

（2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可

【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..

由余弦定理得，

又，所以

（2） 是的角平分线，，

由可得

因为，，即有，，

故

19．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.

(1)求证EG⊥AB；

(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)

【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直；

（2）用表达与，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接DE，

因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，

所以，

故，

又因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以.

（2）由题意得：均为等边三角形且边长为1，

所以

，，

所以

，

设异面直线AG和CE所成角为，

则

20．统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;

(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.

（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.

（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)（i）200；（ii） 199或200

【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，

（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.

【详解】（1）,

故分布列为：

.

（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.

（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”

则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,

当时，

当时，

当时

所以池塘乙中的鱼数为199或200.

21．已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析，面积为.

【解析】（1）根据题意可得关于、、的方程组，求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程；

（2）设直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出、所满足的等式，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式可计算出的面积.

【详解】（1）设双曲线的焦距为，

由题意可得：，则双曲线的方程为；

（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，

设直线的方程为，

则消得，

，①

设与轴交于一点，，

，

双曲线两条渐近线方程为：，

联立，联立，

则（定值）.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出，并求出点、的坐标，再结合三角形的面积计算出为定值.

22．已知函数.

（1）若，求函数的单调递增区间；

（2）设，是的两个不相等的正实数解，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）求出导数，令，解出不等式即可；

（2）依题意可知，是的两个不相等的正实数解，可建立不等式求出的取值范围，在利用韦达定理将化为关于的函数，再构造函数，利用导数即可证明.

【详解】（1）依题意，，，

，

令，故，解得，

故函数的单调递增区间为.

（2）依题意，，所以，是的两个不相等的正实数解；

则，解得，

，

令，，，

则，∴在上单调递减.

∴，

即.

【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查利用导数证明不等式，属于较难题.