第10章 二元一次方程组（易错30题专练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第10章二元一次方程组（易错30题专练）

一．选择题（共10小题）
1．（2018秋•大东区期末）若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝8是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（　　）
A．1 B．任何数 C．2 D．1或2
【分析】根据二元一次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意可知：
|2m﹣3|＝1，
解得：m＝2或m＝1，
m﹣2≠0，m≠2，
∴m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义、绝对值，解决本题的关键是掌握二元一次方程分定义．
2．（2018•双清区模拟）若方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先观察两方程组的特点，由于两方程组的形式相同，故可用换元法把它们化为同一方程组，再令其解相同即可．
【解答】解：令x+1＝m，y﹣2＝n，
∴方程组可化为，
∵方程组的解是，
∴x+1＝2，y﹣2＝﹣1，
解得．
故选：A．
【点评】此类题目较复杂，解答此类题目时要注意运用整体思想，用换元法求解．
3．（2013•泰安模拟）若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（　　）
A．1 B．任何数 C．2 D．1或2
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，|2m﹣3|＝1且m﹣2≠0，
所以，2m﹣3＝1或2m﹣3＝﹣1且m≠2，
解得m＝2或m＝1且m≠2，
所以m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程，要注意未知项的系数不等于0．
4．（2021春•新吴区月考）下列是二元一次方程的是（　　）
A．3x+4＝9 B． C．x2+y＝0 D．6x+y＝2
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：A．3x+4＝9，是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．，是分式方程，故本选项不合题意；
C．x2+y＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；
D.6x+y＝2，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
5．（2021•饶平县校级模拟）已知是方程组的解，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】先根据解的定义将代入方程组，得到关于a，b的方程组．两方程相减即可得出答案．
【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
两个方程相减，得5a﹣5b＝5，
∴a﹣b＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
6．（2021春•宿城区校级月考）关于x、y的两个方程组和具有相同的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1 B．5 C．6 D．不能确定
【分析】先联立不含a，b的两个方程，解方程组求出x，y的值，再代入含a，b的两个方程联立的方程组中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
②﹣①得：x＝4，
把x＝4代入①中得：8﹣y＝7，
解得：y＝1，
∴原方程组的解为：，
把代入方程组中可得：
，
①×3得：12a﹣6b＝6③，
③﹣②得：﹣b＝﹣3，
解得：b＝3，
把b＝3代入①中得：4a﹣6＝2，
解得：a＝2，
∴此方程组的解为：，
∴a+b＝2+3＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．
7．（2021春•越秀区期末）已知方程组的解满足x+y+1＞0，则整数k的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】①+②得出3x+3y＝k﹣1，求出x+y＝，根据已知得出不等式+1＞0，求出不等式的解集，再求出答案即可．
【解答】解：，
①+②得：3x+3y＝k﹣1，
x+y＝，
∵方程组的解满足x+y+1＞0，
∴+1＞0，
解得：k＞﹣2，
∴整数k最小值是﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识点，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
8．（2021春•饶平县校级期末）二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（　　）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于二元一次方程x+3y＝10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是非负整数，那么把最小的非负整数y＝0代入，算出对应的x的值，再把y＝1代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果．
【解答】解：∵x+3y＝10，
∴x＝10﹣3y，
∵x、y都是非负整数，
∴y＝0时，x＝10；
y＝1时，x＝7；
y＝2时，x＝4；
y＝3时，x＝1．
∴二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有4对．
故选：D．
【点评】由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，即此方程中两个未知数的值都是非负整数，这是解答本题的关键．
注意：最小的非负整数是0．
9．（2021•武进区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（　　）
A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．
故选：B．
【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．
10．（2022•泗洪县一模）已知二元一次方程组，则x+y的值等于（　　）
A．﹣2 B． C．9 D．22
【分析】根据绝对值的意义把原方程组化为四个二元一次方程组，再分别解方程组即可得到x、y的值，进而可得x+y．
【解答】解：当x≥0，y≥0时，
原方程可转化为，
解得，不符合题意，故舍去；
当x≥0，y≤0时，
原方程可转化为，
解得，
此时x+y＝﹣＝；
当x≤0，y≥0时，
原方程可转化为，不符合题意，故舍去；
当x≤0，y≤0时，
原方程可转化为，
解得，不符合题意，故舍去；
综上，x+y＝．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，根据绝对值的意义把原方程组转化为不含绝对值的方程组是解题关键．
二．填空题（共11小题）
11．（2021春•姑苏区期末）已知方程2x﹣3y﹣4＝0，用含x的代数式表示y＝　　．
【分析】要把方程2x﹣3y﹣4＝0写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其它的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1．
【解答】解：2x﹣3y﹣4＝0，
移项得：3y＝2x﹣4，
系数化1得：y＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其它的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可．
12．（2021春•高邮市期末）已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y＝　5﹣3x　．
【分析】先用含有x的式子表示t，然后代入y＝3t﹣1中，直接求解．
【解答】解：∵x＝2﹣t，
∴t＝2﹣x，
代入y＝3t﹣1得，y＝3（2﹣x）﹣1＝5﹣3x，
即y＝5﹣3x．
故答案为：5﹣3x．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，消去t表示出y是解本题的关键．
13．（2015•滨州模拟）若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　2　．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程中，那么可以得到一个含有未知数a，b的二元一次方程2a+b＝0，然后把6a+3b+2适当变形，可以求出6a+3b+2的值．
【解答】解：把代入方程2x+y＝0，得2a+b＝0，
∴6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝2．
故答案为：2．
【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a，b为未知数的方程．
注意：运用整体代入的方法进行求解．
14．（2021•徐州模拟）已知方程组的解也是方程4x﹣3y+k＝0的解，则k的值为 　﹣5　．
【分析】先用加减消元法解方程组，再把x、y的值代入方程求出k的值．
【解答】解：，
①×2得2x﹣2y＝10③，
③﹣②得x＝﹣10，
把x＝﹣10代入①得y＝﹣15，
∴此方程组的解；
把x＝﹣10，y＝﹣15，代入4x﹣3y+k＝0得，
4×（﹣10）﹣3×（﹣15）+k＝0，
解得k＝﹣5；
故答案为：﹣5
【点评】题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
15．（2020•无锡）已知方程组，则x+3y的值为 　9　．
【分析】把第一个方程减去第二个方程即可得到x+3y的值．
【解答】解：，
①﹣②得，x+3y＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的解法．解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
16．（2020秋•龙泉驿区期中）若方程（a﹣4）x|a|﹣3+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　﹣4　．
【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣4≠0且|a|﹣3＝1，求出即可．
【解答】解：∵方程（a﹣4）x|a|﹣3+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，
∴a﹣4≠0且|a|﹣3＝1，
解得：a＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出a﹣4≠0且|a|﹣3＝1是解此题的关键．
17．（2020•姜堰区二模）已知关于x、y的方程组的解满足3﹣x+2y＝0，则k的值为　5　．
【分析】解关于x、y的方程组，把解代入3﹣x+2y＝0，求出k的值即可．
【解答】解：解关于x、y的方程组，
①×3﹣②得：x＝3k+2，③
把③代入①，得
y＝k+2，④
把③、④代入3﹣x+2y＝0，得
3﹣（3k+2）+2（k+2）＝0，
解得k＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
18．（2018春•镇江期末）写出二元一次方程x+2y＝7的一对正整数解 　（答案不唯一）　．
【分析】根据方程的解满足方程，可得答案．
【解答】解：写出二元一次方程x+2y＝7的一组解为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程是解题的关键．
19．（2019•婺城区一模）试写出一个以为解的二元一次方程组　　．
【分析】本题是一个开放性的题目，答案不唯一，只有举出一个方程组，把x＝3，y＝﹣1代入方程组，每个方程的左右两边分别相等即可．
【解答】解：∵当x＝3，y＝﹣1时，x+y＝2，x﹣y＝4，
符合条件的一个方程组是，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，本题具有一定的代表性，是一道开放性的题目，答案不唯一，再如：等．
20．房间里有凳子（3条腿）、椅子（4条腿）若干张，每张凳子或椅子只能坐1人．一些人进来开会，只坐凳子或只坐椅子都不够坐，但每人都有椅子或凳子坐，且还有空位，已知凳子、椅子都坐满时，人腿、凳腿、椅腿之和为32，则房间里共有　5　个人、　2　张凳子、　4　张椅子．
【分析】每个凳子坐上人以后，有3+2＝5条腿；每个椅子坐上人以后，有4+2＝6条腿；设房间里有x人，y张凳子，z把椅子
（x，y，z为自然数），由题意可知：2x+3y+4z＝32，根据方程讨论符合题意的x、y的取值，即可确定其值．再根据凳子和椅子数确定人数．
【解答】解：设房间里有x人，y张凳子，z把椅子
由题意得，
∴32＝2x+3y+4z＞5x+z＞5x，
又∵x是整数，
∴4≤x≤6；
①当x＝4时，y≤3，z≤3，
∴2x+3y+4z＜32，与32＝2x+3y+4z矛盾，故不符合题意，舍去；
②当x＝6时，32＝2x+3y+4z＞5x+z＝30+z，
∴z＜2，
∴z＝1，
∴y＝，与y是整数相矛盾，故不符合题意，舍去；
③当x＝5时，y＝2，z＝4．
答：房间里共有5人、有2条凳子、有4把椅子．
故答案为：5、2、4．
【点评】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出方程并讨论符合条件的未知数的取值是解题的关键．
21．（2016春•洪山区期末）已知方程组与有相同的解，则m+n＝　3　．
【分析】先解不含m，n的方程组解得x，y的值，再代入含m，n的方程组求出m，n，再求出m+n．
【解答】解：∵与有相同的解，
∴解方程组得，
∴解m、n的方程组得
∴m+n＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是由不含m，n的方程和含m，n的方程构成新的方程组求解．
三．解答题（共9小题）
22．（2021•秦淮区二模）解方程组．
【分析】对原方程组进行整理后，直接利用加减消元法求解即可．
【解答】解：原方程组化简，得，
①﹣②得，﹣2x＝﹣2，
∴x＝1，
把x＝1代入①得，1﹣2y＝3，
∴y＝﹣1．
所以原方程组的解为：．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，正确运用加减消元法将方程组化为一次方程是解答此题的关键．
23．（2021春•江都区月考）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法，把①代入②解方程组即可得到答案；
（2）将原方程去分母后整理，再利用加减消元法求解可得答案．
【解答】解：（1），
把①代入②得：y﹣2（﹣2+3y）＝9，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得，x＝﹣2+3×（﹣1）＝﹣5，
所以原方程组的解为：．
（2）原方程整理得：，
①×4+②×3得，25x＝23，
∴x＝，
把x＝代入②得，3×﹣4y＝1，
∴y＝，
所以原方程组的解为：．
【点评】此题考查的是解方程组，掌握代入消元法和加减消元法求解是解决此题的关键．
24．（2021春•东台市月考）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减法解答即可；
（2）原方程组化简后，利用加减法解答即可．
【解答】解：（1）解方程组，
①+②，得：3x＝9，
解得：x＝3，
将x＝3代入①，得：3﹣y＝4，
解得：y＝﹣1，
所以原方程组的解为：；
（2）原方程组变形为：，
①﹣②得，4y＝16，
解得，y＝4，
把y＝4代入①得，x＝10，
则方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，恰当的使用代入法和加减法是解题的关键．
25．（2021春•江都区校级期末）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求a，b，c的值．
【分析】根据方程组解的定义即可求a、b、c的值．
【解答】解：∵，
甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，
∴，
解得：．
【点评】本题考查一次方程组解的定义，将甲、乙二人的解正确代入方程得到关于a、b、c的方程是求解本题的关键．
26．（2021春•饶平县校级期末）某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种派加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产多少瓶？
【分析】本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结果即可．
【解答】解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，由题意，得

解得：
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，要能根据题意得出等量关系，列出方程组是解答本题的关键．
27．（2019春•南京期末）为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．
根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
小明：小华：
（1）根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x表示的意义
小明：x表示　甲工程队修建的天数　；
小华：x表示　甲工程队修建的长度　．
（2）求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？
【分析】（1）根据甲每天修的米数乘以天数加上乙每天修的米数乘以天数相加等于总米数可得小明的x表示何意；根据甲修建的米数除以甲每天修的加上乙修建的米数除以乙每天修建的，可得小华的x表示何意；
（2）设甲工程队修建x千米，乙工程队修建y千米，根据修建总长度36千米及两工程队共需修建500天，可列方程组求解．
【解答】解：（1）小明：x表示甲工程队修建的天数；小华：x表示甲工程队修建的长度．
故答案为：甲工程队修建的天数；甲工程队修建的长度．
（2）设甲工程队修建x千米，乙工程队修建y千米，由题意得：

解得
答：甲工程队修建12千米，乙工程队修建24千米．
【点评】本题考查了设不同的未知数，从而列不同的方程组，来解决同一个问题的方法，这需要明确不同变量之间的数量关系才能解决．
28．（2021春•饶平县校级期末）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若（4x+2）2y＝1，直接写出k的值；
（4）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
【分析】（1）用加减法（或代入法）解方程组即可；
（2）计算x+y，得到关于k的不等式，解不等式即可；
（3）因为1n＝1，（a≠0）时，a0＝1，（﹣1）2n＝1（n为正整数）得到三个关于k的方程，求出k即可；
（4）用含m的代数式表示出k，根据k≤1，确定m的取值范围，由m为正整数，得m的值．
【解答】解：（1）
②+①，得4x＝2k﹣1，
即x＝；
②﹣①，得2y＝﹣4k+3
即y＝
所以原方程组的解为
（2）方程组的解x、y满足x+y＞5，
所以+＞5，
整理得﹣6k＞15，
所以k＜﹣；
（3）由于a0＝1（a≠0），（4x+2）2y＝1，
所以2y＝0，
即2×＝0
解得：k＝；
因为1n＝1，（4x+2）2y＝1，
所以4x+2＝1
即4×+2＝1
解，得k＝0．
因为（﹣1）2n＝1（n为正整数），（4x+2）2y＝1，
所以4x+2＝﹣1，2y为偶数
所以4×+2＝﹣1
解，得k＝﹣1．
当k＝﹣1时，2y＝2×＝7为奇数，不合题意，舍去．
所以当k＝0或时，（4x+2）2y＝1．
（4）m＝2x﹣3y＝2×﹣3×
＝7k﹣5
即m＝7k﹣5
∴k＝
由于k≤1
∴≤1
解得m≤2
又因为m为正整数，所以m＝1或2．
答：m的值为1或2．
【点评】本题考查了方程组的解法、0指数幂的意义、及不等式的解法．注意（3）的三种情况中，容易遗漏或出错．
29．（2018春•丹阳市期末）阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　20　cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．

【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积；
（2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组；
（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴xy＝10×6＝60．
故每个小长方形的面积为60；

（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，解得，
则12x+y＝12×1+8＝20．
即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．

（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得，
∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．
故答案为：64．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
30．某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．

根据上表的表格中的数据，求a、b、c．
【分析】首先假设每月用水量为xm3，支付水费为y元．根据x的取值范围，列出y关于x的表达式y＝．再根据表中二、三月的用水量及水费，求得b的值，a、c间的数值关系．采用反证法证明一月份用水量即水费符号①式，求得c的值，那么a也即可确定．至此问题解决．
【解答】解：设每月用水量为xm3，支付水费为y元．
则y＝，
由题意知：0＜c≤5
∴8＜8+c≤13
从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，
故用水量15m3、22m3均大于最低限量am3，
将x＝15，x＝22分别代入②式，
得
解得b＝2，2a＝c+19 ⑤
再分析一月份的用水量是否超过最低限量，
不妨设9＞a，将x＝9代入②，得
9＝8+2（9﹣a）+c，即2a＝c+17 ⑥
⑥与⑤矛盾．
故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，
则8+c＝9，
∴c＝1
代入⑤式得，a＝10．
答：a＝10，b＝2，c＝1．
【点评】解决本题的关键是列出支付水费y关于每月用水量x的函数关系式，最根据表中的数据分析依次得到c、b、a值．