第06讲 幂的运算（核心考点讲与练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第06讲 幂的运算(核心考点讲与练)

一．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
二．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
三．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
四．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
五．科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
六．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
七．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
八．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

一．同底数幂的乘法（共6小题）
1．（2021•清江浦区一模）a2•a3＝（　　）
A．a2+a3 B．a6 C．a5 D．6a
【分析】利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加即可得到答案．
【解答】解：a2•a3＝a5，
故选：C．
【点评】本题考查同底数的幂相乘，掌握其法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
2．（2021•沙坪坝区校级二模）计算x8•x2的结果是（　　）
A．x4 B．x6 C．x10 D．x16
【分析】利用幂的乘法公式“an•am＝an+m”求解．
【解答】解：x8•x2＝x8+2＝x10．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，直接套用公式an•am＝an+m即可．
3．（2021春•江阴市校级月考）已知：2m＝1，2n＝3，则2m+n＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】直接利用同底数幂的乘法以及积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：∵2m＝1，2n＝3，
∴2m+n＝2m×2n＝1×3＝3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法以及积的乘方运算，正确掌握相关性质是解题关键．
4．（2021春•镇江期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝32，则x的值为（　　）
A．29 B．4 C．3 D．2
【分析】根据规定可得关于x的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：
22×2x+1＝32，
即22×2x+1＝25，
∴2+x+1＝5，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算以及解一元一次方程，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（2021春•常熟市期中）计算a2•a2的结果是（　　）
A．a4 B．a3 C．a2 D．a
【分析】根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：a2•a2＝a2+2＝a4．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6．（2021春•江都区月考）填空：a•a2＝　a3　．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进而得出答案．
【解答】解：a•a2＝a3．
故答案为：a3．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二．幂的乘方与积的乘方（共6小题）
7．（2021•武进区模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据合并同类项的运算法则判断A，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断B和D，根据同底数幂的乘法运算法则判断C．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝a6，故此选项符合题意；
C、原式＝a5，故此选项不符合题意；
D、原式＝a2b2，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
8．（2021春•睢宁县月考）计算（0.25）2019×（﹣4）2020等于（　　）
A．﹣1 B．+1 C．+4 D．﹣4
【分析】利用积的乘方的法则对所求的式子进行运算即可．
【解答】解：（0.25）2019×（﹣4）2020
＝（0.25）2019×（﹣4）2019×（﹣4）
＝[0.25×（﹣4）]2019×（﹣4）
＝（﹣1）2019×（﹣4）
＝﹣1×（﹣4）
＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用．
9．（2021•高邮市二模）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a5 B．5a2b﹣3a2b＝2
C．a4•a2＝a6 D．（3ab2）3＝9a3b6
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故A不符合题意；
B、5a2b﹣3a2b＝2a2b，故B不符合题意；
C、a4•a2＝a6，故C符合题意；
D、（3ab2）3＝27a3b6，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2021秋•江油市期末）已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则24m+10n＝　a4b2　．
【分析】对已知条件进行整理，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵2m＝a，32n＝b，
∴25n＝b，
∴24m+10n
＝（2m）4•210n
＝（2m）4•（25n）2
＝a4b2．
故答案为：a4b2．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的法则的掌握与应用．
11．（2021春•宜兴市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　3　，（﹣2，4）＝　2　，（，﹣8）＝　﹣3　；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），
他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
∴3x＝4，即（3，4）＝x．
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．
【分析】（1）根据题意可得43＝64，（﹣2）2＝4，（﹣）﹣3＝﹣8，进而求解．
（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，进而求解．
（3）设（3，20）＝a，（3，5）＝b，则3a＝20，3b＝5，再根据（3，9）＝2及同底数幂的除法法则求解．
【解答】解：（1）∵43＝64，（﹣2）2＝4，（﹣）﹣3＝﹣8，
∴（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣，﹣8）＝﹣3．
故答案为：3，2，﹣3．
（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，
则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
∴4x×4y＝5×6＝30，
∴4x×4y＝4z，
∴x+y＝z，即（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）设（3，20）＝a，（3，5）＝b，
∴3a＝20，3b＝5，
∵（3，9）＝2，
∴（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝2a﹣b，
∵32a﹣b＝（3a）2÷3b＝202÷5＝80，
∴2a﹣b＝（3，80），即（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝（3，80）．
【点评】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法及除法运算法则．
12．（2021春•宜兴市月考）（1）若x2n＝2．求（﹣3x3n）2﹣4（﹣x2）2n的值；
（2）规定a⊗b＝2a÷2b．
①求2⊗（﹣3）的值；
②若2⊗（x﹣1）＝16，求x的值．
【分析】（1）把所求的式子进行整理，再整体代入运算即可；
（2）①根据所给的运算，代入求值即可；
②利用所给的运算，代入求解即可．
【解答】解：（1）（﹣3x3n）2﹣4（﹣x2）2n
＝9x6n﹣4x4n
＝9（x2n）3﹣4（x2n）2
＝9×23﹣4×22
＝9×8﹣4×4
＝72﹣16
＝56；
（2）①2⊗（﹣3）
＝22÷2﹣3
＝4
＝4×8
＝32；
②∵2⊗（x﹣1）＝16，
∴22÷2（x﹣1）＝24，
∴2﹣（x﹣1）＝4，
解得：x＝﹣1．
【点评】本题主要考查幂的乘方，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
三．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
13．（2021春•睢宁县月考）2019年末，引发疫情的冠状病毒，被命名为COVID﹣19新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径约是新冠病毒的直径为0.00000012m，该数值用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣7m C．12×10﹣7m D．1.2×107m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000012m＝1.2×10﹣7m，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
14．（2021秋•海门市期末）将数0.0002022用科学记数法表示为 　2.022×10﹣4　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将数0.0002022用科学记数法表示为2.022×10﹣4．
故答案为：2.022×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
四．科学记数法—原数（共2小题）
15．（2021•射阳县二模）已知一种细胞的直径约为2.13×10﹣4cm，请问2.13×10﹣4这个数原来的数是（　　）
A．21300 B．2130000 C．0.0213 D．0.000213
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：2.13×10﹣4＝0.000213，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
16．（2021春•灌云县期末）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×109，则原数中“0”的个数为 　7　个．
【分析】将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数．
【解答】解：∵8.15×109＝8150000000，
∴原数中有7个0，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查科学记数法与原数的转化，解题的关键在于先求出原数．
五．同底数幂的除法（共4小题）
17．（2021秋•南通期中）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2）2＝﹣4 B．a2+a3＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．x6÷x2＝x4
【分析】利用幂的乘方的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣2）2＝4，故A不符合题意；
B、a2与a3不属于是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（3a2）2＝9a4，故C不符合题意；
D、x6÷x2＝x4，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（2021春•金坛区期末）若2x÷4y＝8，则2x﹣4y+2＝　8　．
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则求解即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：∵2x÷4y＝2x÷22y＝2x﹣2y＝8＝23，
∴x﹣2y＝3，
∴2x﹣4y+2
＝2（x﹣2y）+2
＝2×3+2
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
19．（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；
（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，
∴103m+2n＝（10m）3•（10n）2＝53×22＝125×4＝500；
（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，
∴3m﹣2n＝4，
∴2n﹣3m＝﹣4，
∴（﹣3）2n﹣3m＝．
【点评】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
20．（2021春•睢宁县月考）计算
（1）已知am＝2，an＝3，求：
①am+n的值；
②a2m﹣n的值；
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【分析】（1）①利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入运算即可；
②利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入运算即可；
（2）利用幂的乘方，同底数幂的乘法的法则对已知条件进行整理，从而可得到关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①am+n
＝am×an
＝2×3
＝6；
②a2m﹣n
＝a2m÷an
＝（am）2÷an
＝22÷3
＝4÷3
＝；
（2）∵2×8x×16＝223，
∴2×23x×24＝223，
则21+3x+4＝223，
∴1+3x+4＝23，
解得：x＝6．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
六．零指数幂（共3小题）
21．（2021•泰州）（﹣3）0等于（　　）
A．0 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），化简进而得出答案．
【解答】解：（﹣3）0＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
22．（2021春•沭阳县期末）已知（a+1）0＝1，则a的取值范围是 　a≠﹣1　．
【分析】零指数幂：a0＝1（a≠0）．
【解答】解：根据题意知，a+1≠0．
解得a≠﹣1．
故答案是：a≠﹣1．
【点评】本题主要考查了零指数幂，注意：00无意义．
23．（2013春•吉州区期末）若（a﹣2）a+1＝1，则a＝　﹣1或3或1　．
【分析】本题考查的知识点有：①任何一个不为零的数的零次幂为1，②1的任何次幂都为1，③﹣1的偶数次幂为1．
【解答】解：①当a﹣2＝1时，a＝3．
②当a+1＝0且a﹣2≠0时，a＝﹣1．
③当a﹣2＝﹣1 a+1＝2时，a＝1
a的值为3或﹣1或1．
【点评】1的指数幂运算，1的任何次幂都是1；零指数幂的性质，任何一个不为零的数的零次幂都为1；﹣1的偶数次幂为1．
七．负整数指数幂（共6小题）
24．（2021春•宜兴市月考）已知a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（　　）
A．an与bn B．an与b﹣n
C．a2n与（﹣b）2n D．a2n+1与b2n+1
【分析】根据互为相反数的两个数的奇次方仍互为相反数判断即可．
【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b，
A．当n偶数时，an＝bn，当n奇数时，an与bn互为相反数，故A不符合题意；
B．当n偶数时，an与b﹣n互为倒数，当n奇数时，an与b﹣n互为负倒数，故B不符合题意；
C．a2n＝（﹣b）2n，故C不符合题意；
D．a2n+1与b2n+1互为相反数，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了负整数指数幂，相反数，熟练掌握互为相反数的两个数的奇次方仍互为相反数是解题的关键．
25．（2021秋•港南区期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（　　）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2＝﹣，c＝（﹣5）0＝1，
∴c＞a＞b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
26．（2020春•会宁县期末）下列运算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．a4﹣a4＝a0
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则及合并同类项法则计算．
【解答】解：A、中a5+a5＝2a5错误；
B、中a6×a4＝a10错误；
C、正确；
D、中a4﹣a4＝0，错误；
故选：C．
【点评】本题考查的知识点很多，掌握每个知识点是解题的关键．
27．（2021春•射阳县校级期末）若实数m，n满足|m﹣|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣2+n0＝　5　．
【分析】根据绝对值、偶次幂的性质求出m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|m﹣|+（n﹣2021）2＝0，
∴m﹣＝0，n﹣2021＝0，
∴m＝，n＝2021，
∴m﹣2+n0＝+n0
＝4+1
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查非负数的性质，负整数指数幂，理解绝对值、偶次幂的非负性以及负整数指数幂的性质是正确解答的关键．
28．（2021春•盐都区月考）定义一种新运算nxn﹣1dx＝an﹣bn，例如2xdx＝k2﹣m2，若﹣x﹣2dx＝﹣1，则k＝　﹣2　．
【分析】直接已知得出k﹣1﹣2﹣1＝﹣1，进而得出答案．
【解答】解：∵﹣x﹣2dx＝﹣1，
∴k﹣1﹣2﹣1＝﹣1，
∴k﹣1＝﹣1+
则k﹣1＝﹣，
＝﹣，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及新运算，正确将原式变形是解题关键．
29．（2021春•盐都区月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
【分析】（1）首先把负整数指数的幂化为11111，然后进行比较，即可得出答案；
（2）等式的值为1，可以是非零数的0次幂，也可以是1的任何次方，也可以是﹣1的偶次幂，分别计算即可．
【解答】解：（1）a＞c＞b，理由如下：
a＝（2﹣4）11111＝（）11111＝（）11111，
b＝（3﹣3）11111＝（）11111＝（）11111，
c＝（5﹣2）11111＝（）11111＝（）11111，
∵＞，
∴（）11111＞（）11111＞（）11111，
∴a＞c＞b；
（2）当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时2x+3＝﹣4037≠0，符合题意；
当2x+3＝1时，x＝﹣1，符合题意；
当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2，此时x+2020＝2018，符合题意．
综上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2020．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，注意（1）中底数越大，幂越小．

分层提分

题组A 基础过关练

一．选择题（共5小题）
1．（2021春•江都区校级月考）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．a5+a3＝a8
C．（a3）2＝a5 D．a5÷a5＝1（a≠0）
【分析】根据整式的乘除运算法则、加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B．a5和a3不是同类项，无法合并，故B不符合题意；
C．原式＝a6，故C不符合题意
D．原式＝1，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
2．（2021春•江都区校级期中）计算0.256×（﹣32）2等于（　　）
A．﹣ B． C．1 D．﹣1
【分析】逆用幂的乘方的公式，把0.256转化为指数是2的形式，再逆用积的乘方的公式即可．
【解答】解：原式＝[（）3]2×322
＝（×32）2
＝（）2
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握公式（ab）n＝anbn的逆用是解题的关键．
3．（2021秋•晋州市期末）下列各式中，计算结果为m8的是（　　）
A．m2•m4 B．m4+m4 C．m16÷m2 D．（m2）4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别计算判断即可．
【解答】解：A．m2•m4＝m6，故此选项不合题意；
B．m4+m4＝2m4，故此选项不合题意；
C．m16÷m2＝m14，故此选项不合题意；
D．（m2）4＝m8，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2021春•亭湖区期末）计算的结果是（　　）
A．22021 B． C．2 D．
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：
＝22020×2×（）1010
＝（22）1010×（）1010×2
＝41010×（）1010×2
＝（4×）1010×2
＝11010×2
＝1×2
＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方和有理数的混合运算，能正确运用积的乘方的逆运算进行计算是解此题的关键．
5．（2021•徐州）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）3＝a9 B．a3•a4＝a12 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3
【分析】运用同底数幂乘除法法则、幂的乘方进行计算．
【解答】解：A．（a3）3＝a9，故A正确，本选项符合题意；
B．a3•a4＝a7，故B错误，选项不符合题意；
C．a2+a3不能合并，故C错误，选项不符合题意；
D．a6÷a2＝a4，故D错误，选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的运算，正确利用幂的运算法则进行计算是解题的关键．
二．填空题（共15小题）
6．（2021秋•海安市期中）已知3x+1＝27，则x＝　2　．
【分析】把27转化为33，从而可得x+1＝3，即可求解．
【解答】解：3x+1＝27，
则3x+1＝33，
故x+1＝3，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握．
7．（2021秋•南通期中）已知x，y为正整数且y＝5x，则9x+y÷27y﹣x＝　1　．
【分析】利用幂的乘方对所求的式子进行整理，再利用同底数幂的除法法则进行运算即可．
【解答】解：∵y＝5x，
∴9x+y÷27y﹣x
＝32x+2y÷33y﹣3x
＝32x+2y﹣3y+3x
＝35x﹣y
＝35x﹣5x
＝30
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2021春•广陵区校级期中）若3•9n•27n＝321，则n＝　4　．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘，同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后再根据指数相等列式求解即可．
【解答】解：∵3•32n•33n＝31+2n+3n＝321，
∴1+2n+3n＝21，
解得n＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，关键是化为同底数的幂相乘，运用法则进行运算．．
9．（2021春•江都区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．则：（2，）＝　﹣2　．
【分析】根据新定义的运算和表示方法求解即可．
【解答】解：∵，
∴（2，）＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提，理解新定义的运算是解决问题的关键．
10．（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于 　8　．
【分析】把8x•4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整体代入即可．
【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，
∴3x+2y＝3，
∴8x•4y
＝23x•22y
＝23x+2y
＝23
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
11．（2021春•射阳县校级期末）若实数m，n满足|m﹣|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣2+n0＝　5　．
【分析】根据绝对值、偶次幂的性质求出m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|m﹣|+（n﹣2021）2＝0，
∴m﹣＝0，n﹣2021＝0，
∴m＝，n＝2021，
∴m﹣2+n0＝+n0
＝4+1
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查非负数的性质，负整数指数幂，理解绝对值、偶次幂的非负性以及负整数指数幂的性质是正确解答的关键．
12．（2021春•镇江期末）若（2m）2•2n＝44，其中m，n都是正整数，则符合条件的m，n的值有 　3　组．
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，求出2m+n＝8，再求出二元一次方程的正整数解即可．
【解答】解：（2m）2•2n＝44，
22m•2n＝（22）4，
22m+n＝28，
2m+n＝8，
n＝8﹣2m，
∵m，n都是正整数，
∴8﹣2m＞0，m＞0，
∴0＜m＜4，
∴整数m为1，2，3，
当m＝1时，n＝6，
当m＝2时，n＝4，
当m＝3时，n＝2，
即符合条件的m，n的值有3组，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解二元一次方程，幂的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能求出方程2m+n＝8是解此题的关键．
13．（2021春•镇江期末）已知一个正方体棱长是4×103米，则它的体积是 　6.4×1010　立方米．
【分析】先根据题意列出算式（4×103）3，再根据幂的乘方与积的乘方求出答案即可．
【解答】解：正方体的体积是（4×103）3＝64×109＝6.4×1010（立方米），
故答案为：6.4×1010．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，科学记数法﹣表示较大的数和认识立体图形等知识点，能熟记（am）n＝amn和（ab）n＝anbn是解此题的关键．
14．（2021春•东海县期末）已知2x+5y＝3，则4x•25y的值是 　8　．
【分析】根据乘方的性质以及同底数的幂的乘法法则，将4x•25y变形为22x•25y＝22x+5y，代入后即可求解．
【解答】解：原式＝22x•25y＝22x+5y，
∵2x+5y＝3，
∴原式＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘的性质，运用整体代入法求解是关键．
15．（2021春•靖江市期末）若m，n均为正整数，且2m﹣1×4n＝32，则m+n的所有可能值为 　4或5　．
【分析】先根据同底数幂的乘法和乘方进行变形：2m﹣1×22n＝2m﹣1+2n＝25，得到m+2n﹣1＝5，由m和n为正整数进行讨论即可得到答案．
【解答】解：∵原式＝2m﹣1×22n＝2m﹣1+2n＝25，
∴m+2n﹣1＝5，
∴n＝，
∵m，n为正整数，
∴当m＝2时，n＝2，
当m＝4时，n＝1，
∴m+n＝2+2＝4或m+n＝4+1＝5．
故答案为：4或5．
【点评】本题主要考查了乘方和同底数幂的乘法运算法则，能够灵活运用同底数幂的运算法则及其逆运算法则进行变形是解答此类问题的关键．
16．（2021春•姜堰区期末）若ax＝4，ay＝2，则ax﹣2y的值为 　1　．
【分析】将ax﹣2y化为ax÷（ay）2再整体代入计算即可．
【解答】解：因为ax＝4，ay＝2，
所以ax﹣2y＝ax÷（ay）2＝4÷22＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握同底数幂除法的计算方法以及积的乘方与幂的乘方进行计算是正确判断的前提．
17．（2021春•高邮市期末）若am＝3，an＝，则am﹣n＝　9　．
【分析】利用同底数幂的除法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：因为若am＝3，an＝，
所以am﹣n＝am÷an＝3÷＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查同底数幂的除法，掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是正确计算的前提．
18．（2021春•仪征市期末）已知am＝10，bm＝2，则（ab）m＝　20　．
【分析】根据积的乘方将（ab）m变形为am×bm，再代入计算即可．
【解答】解：因为am＝10，bm＝2，
所以（ab）m＝am×bm＝10×2＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查积的乘方与幂的乘方，理解积的乘方的计算法则是正确解答的前提．
19．（2021春•常州期末）已知a+3b﹣2＝0，则4a×82b＝　16　．
【分析】由a+3b﹣2＝0可得a+3b＝2，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可．
【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，
∴a+3b＝2，
∴4a×82b＝22a×26b＝22a+6b＝22（a+3b）＝24＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
20．（2021春•常州期末）我们知道，同底数幂的除法法则为：am÷an＝am﹣n（其中a≠0，m、n为整数），类似地，现规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m﹣n）＝h（m）÷h（n）．若h（1）＝2，则h（2021）÷h（2013）＝　256　．
【分析】将h（2021）÷h（2013）变形为h（2021﹣2013），再把h（1）＝2代入计算即可．
【解答】解：∵h（m﹣n）＝h（m）÷h（n），h（1）＝2，
∴h（2﹣1）＝h（2）÷h（1）＝h（1），
即h（1）＝h（2）÷h（1），
∴h（2）＝4＝22，
同理，h（3﹣2）＝h（3）÷h（2），
即h（1）＝h（3）÷h（2），
∴h（3）＝4×2＝23，
..．
∴h（2021）÷h（2013）＝h（2021﹣2013）＝22021÷22013＝28＝256．
故答案为：256．
【点评】考查了同底数幂的除法，有理数的混合运算，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
21．（2021春•江都区校级期中）（1）已知2x+4y﹣3＝0，求4x×16y的值．
（2）已知x2m＝2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．
【分析】（1）由2x+4y﹣3＝0可得2x+4y＝3，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则解答即可；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：（1）由2x+4y﹣3＝0可得2x+4y＝3，
∴4x×16y
＝22x•24y
＝22x+4y
＝23
＝8；
（2）∵x2m＝2，
∴（2x3m）2﹣（3xm）2
＝4x6m﹣9x2m
＝4×（x2m）3﹣9x2m
＝4×23﹣9×2
＝4×8﹣18
＝32﹣18
＝14．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
22．（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；
（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，
∴103m+2n＝（10m）3•（10n）2＝53×22＝125×4＝500；
（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，
∴3m﹣2n＝4，
∴2n﹣3m＝﹣4，
∴（﹣3）2n﹣3m＝．
【点评】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
23．（2021春•江都区校级期中）计算：
（1）；
（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．
【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；
（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则化简即可；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2
＝0；
（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6
＝2x6．
【点评】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
24．（2021春•广陵区校级期中）（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值．
（2）若2×8x×16x＝222，求x的值．
【分析】（1）根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算；
（2）根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算．
【解答】解：（1）因为xm＝2，xn＝3，
所以xm＝2，x2n＝9，
所以xm•x2n＝18，
xm+2n＝18；
（2）因为2×8x×16x＝222，
所以2×23x×24x＝222，
所以21+3x+4x＝222，
所以1+3x+4x＝22，
所以7x＝21，
所以x＝3．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则是解题的关键．
25．（2021春•江都区期中）已知2m＝3，2n＝5．
（1）求23m+2n的值；
（2）求22m﹣23n的值．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法的逆运算，以及幂的乘方的逆运算对式子进行转化，再代入相应的值运算即可；
（2）利用幂的乘方的逆运算对式子进行转化，再代入相应的值运算即可；
【解答】解：∵2m＝3，2n＝5，
∴（1）23m+2n
＝23m×22n
＝（2m）3×（2n）2
＝33×52
＝27×25
＝675；
（2）22m﹣23n
＝（2m）2﹣（2n）3
＝32﹣53
＝9﹣125
＝﹣116．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的逆运算以及幂的乘方的逆运算的掌握．
26．（2021春•江都区校级期中）计算：
（1）已知|x|＝x+2，求20x20+5x+2的值．
（2）已知：9n+1﹣32n＝72，求n的值．
【分析】（1）根据绝对值的性质求出x的值，再代入所求式子计算即可；
（2）根据72＝9×8，而9n+1﹣32n＝9n×8，得出9n＝9，从而得出n的值．
【解答】解：（1）∵|x|＝x+2，
∴x＜0，
∴﹣x＝x+2，
解得x＝﹣1，
∴原式＝20×1﹣5+2＝17；
（2）：∵9n+1﹣32n＝9n+1﹣9n＝9n（9﹣1）＝9n×8，而72＝9×8，
∴当9n+1﹣32n＝72时，9n×8＝9×8，
∴9n＝9，
∴n＝1．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（2021春•盐城期末）计算22021×（）1010的值为（　　）
A．22021 B． C．2 D．（）2021
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：
＝2
＝
＝
＝
＝11010×2
＝1×2
＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方和有理数的混合运算，能正确运用积的乘方的逆运算进行计算是解此题的关键．
2．（2019春•芮城县期末）“已知：am＝2，an＝3，求am+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（　　）
A．同底数幂的乘法 B．积的乘方
C．幂的乘方 D．同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可．
【解答】解：am+n＝am•an，
∴解决这个问题需要逆用同底数幂的乘法．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．
二．填空题（共2小题）
3．（2021春•玄武区校级期中）若（2x﹣3）x+3﹣1＝0，则x＝　﹣3或2或1　．
【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及﹣1的偶次幂为1计算即可．
【解答】解：∵（2x﹣3）x+3﹣1＝0，
∴（2x﹣3）x+3＝1，
①当x+3＝0，即x＝﹣3时，（﹣9）0＝1；
②当2x﹣3＝1，即x＝2时，15＝1；
③当2x﹣3＝﹣1，即x＝1时，（﹣1）4＝1；
故答案为﹣3或2或1．
【点评】本题主要考查了零次幂和﹣1的偶次幂，熟记相关定义是解答本题的关键．
4．（2019春•溧水区期中）计算：22018•（﹣）2019＝　﹣　．
【分析】（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）；（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）．
【解答】解：原式＝22018•（﹣）2018•（﹣）
＝[2×]2018
＝（﹣1）2018
＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练运用公式是解题的关键．
三．解答题（共16小题）
5．（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝　3　，（﹣2，﹣32）＝　5　；
②若，则x＝　±2　．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；
因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；
②由新定义的运算可得，
x﹣4＝，
因为（±2）﹣4＝＝，
所以x＝±2，
故答案为：①3，5；②±2；
（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，
因为5×6＝30，
所以4a•4b＝4c，
所以a+b＝c．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提，理解新定义的运算是解决问题的关键．
6．（2021春•毕节市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．
（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：（1）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝311，
∴31+2m+3m＝311，
∴1+2m+3m＝11，
解得：m＝2；

（2）∵2a＝3，4b＝5，8c＝5，
∴2a＝3，4b＝22b＝5，8c＝23c＝5，
∴8a+c﹣2b＝23（a+c﹣2b）
＝23a×23c÷26b
＝（2a）3×23c÷（22b）3
＝33×5÷53
＝．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2021春•福田区校级期中）若x＝2m+2，y＝3+4m．
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x＝3，求此时y的值．
【分析】（1）将x＝2m+2代入y＝4m+3＝3+（2m）2，据此可得；
（2）将x＝3代入（1）中所求代数式计算可得．
【解答】解：（1）∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m+2，
∴2m＝x﹣2，
∵y＝4m+3，
∴y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7；

（2）把x＝3代入y＝x2﹣4x+7＝4．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．
8．（2021春•商河县校级月考）已知ax•ay＝a4，ax÷ay＝a
（1）求x+y与x﹣y的值．
（2）求x2+y2的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案；
（2）首先计算x、y的值，然后可得x2+y2的值．
【解答】解：（1）∵ax•ay＝a4，ax÷ay＝a，
∴x+y＝4，x﹣y＝1；

（2），
解得：，
x2+y2＝8.5．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法，关键是掌握计算法则．
9．（2020秋•路北区期中）比较3555，4444，5333的大小．
【分析】由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111，所以逆用幂的乘方的运算性质，可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数即可．
【解答】解：∵3555＝35×111＝（35）111＝243111，
4444＝44×111＝（44）111＝256111，
5333＝53×111＝（53）111＝125111，
又∵256＞243＞125，
∴256111＞243111＞125111，
即4444＞3555＞5333．
【点评】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
10．（2019秋•杭州期中）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0，，b的形式，试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．
【分析】由于有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，则＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．
【解答】解：由题可得：a≠0，a+b＝0，
∴＝﹣1，b＝1，
∴a＝﹣1，
又∵2n﹣1为奇数，﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数，﹣1的偶数次方得1，
∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知条件求出未知数a，b的值．
11．（2019春•泉山区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；
②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．
【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，
∴1+7x＝22，
∴x＝3；

②∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
12．（2018秋•武冈市期末）阅读材料：
（1）1的任何次幂都为1；
（2）﹣1的奇数次幂为﹣1；
（3）﹣1的偶数次幂为1；
（4）任何不等于零的数的零次幂为1．
请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2016的值为1．
【分析】分为2x+3＝1，2x+3＝﹣1，x+2016＝0三种情况求解即可．
【解答】解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1，此时x+2016＝2015，则（2x+3）x+2016＝12015＝1，所以x＝﹣1符合题意．
②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2016＝2014，则（2x+3）x+2016＝（﹣1）2014＝1，所以x＝﹣2符合题意．
③当x+2016＝0时，x＝﹣2016，此时2x+3＝﹣4029，则（2x+3）x+2016＝（﹣4029）0＝1，所以x＝﹣2016符合题意．
综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2，或x＝﹣2016时，代数式（2x+3）x+2016的值为1．
【点评】本题主要考查的是零指数幂的性质、有理数的乘方，分类讨论是解题的关键．
13．（2018春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　2　，（5，1）＝　0　，（3，）＝　﹣2　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），
（3）小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
【解答】解：（1）∵52＝25，∴（5，25）＝2；
∵50＝1，∴（5，1）＝0；
∵3﹣2＝，∴（3，）＝﹣2；
故答案为2，0，﹣2；
（3）①（8，1000）﹣（32，100000）
＝（23，103）﹣（25，105）
＝（2，10）﹣（2，10）
＝0；
②设3x＝4，3y＝5，则3x•3y＝3x+y＝4×5＝20，
所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y，
∴（3，20）﹣（3，4）
＝x+y﹣x
＝y
＝（3，5），
即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）
【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方根式是解题的关键．
14．（2018春•蚌埠期末）已知（am）n＝a6，（am）2÷an＝a3
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）求4m2+n2的值．
【分析】（1）由已知等式利用幂的运算法则得出amn＝a6、a2m﹣n＝a3，据此可得答案；
（2）将mn、2m﹣n的值代入4m2+n2＝（2m﹣n）2+4mn计算可得．
【解答】解：（1）∵（am）n＝a6，（am）2÷an＝a3，
∴amn＝a6、a2m﹣n＝a3，
则mn＝6、2m﹣n＝3；

（2）当mn＝6、2m﹣n＝3时，
4m2+n2＝（2m﹣n）2+4mn
＝32+4×6
＝9+24
＝33．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的除法的运算法则．
15．（2018春•新区期中）已知常数a、b满足3a×32b＝27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，求a2+4b2的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵3a×32b＝27，
∴3a+2b＝33，
故a+2b＝3，
∵（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，
∴52a+4b÷53ab＝1，
∴2a+4b﹣3ab＝0，
∵a+2b＝3，
∴6﹣3ab＝0，
则ab＝2，
∴a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab
＝32﹣4×2
＝1．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
16．（2018春•兴化市期中）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若9×27x＝317，求x的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．
【分析】（1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（2）根据同底数幂的除法法则解答；
（3）利用作差法比较大小．
【解答】解：（1）∵9×27x＝317，
∴33x+2＝317，
∴3x+2＝17，
∴x＝5；

（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a3x﹣2y＝（a3x）÷（a2y）＝（ax）3÷（ay）2＝（﹣2）3÷32＝﹣8÷9＝﹣；

（3）令5m＝t，则25m＝（52）m＝（5m）2＝t2，
∴x＝×25m+×5m+＝，y＝，
∴y﹣x＝＝＞0，
∴x＜y．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
17．阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算以下各对数的值：log24＝　2　，log216＝　4　，log264＝　6　；
（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；
（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：
logaM+logaN＝　logaMN　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．
【分析】（1）根据an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），进而得出答案；
（2）利用（1）中所求进而得出答案；
（3）利用（2）中所求规律进而得出答案；
（4）利用发现的规律进而分析得出答案．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；
故答案为：2，4，6；

（2）由（1）得：log2 4+log2 16＝log2 64；

（3）由（2）得：logaM+logaN＝loga MN；
故答案为：loga MN；

（4）记loga M＝m，loga N＝n，
则M＝am，N＝an，
所以MN＝am•an＝am+n，
所以loga MN＝loga am+n＝m+n，
所以loga M+loga N＝loga MN．
【点评】此题主要考查了新定义以及同底数幂的乘法运算，正确发现新定义的意义是解题关键．
18．（2017秋•虎林市期末）已知3m＝2，3n＝5．
（1）求3m+n的值；
（2）32m﹣n的值．
【分析】（1）直接根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）把原式化为（3m）2÷3n，再把3m＝2，3n＝5代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3m＝2，3n＝5，
∴3m+n＝3m•3n＝2×5＝10；

（2）∵3m＝2，3n＝5，
∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝22÷5＝．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
19．（2017春•鼓楼区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．
（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】（1）由3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x＝312得出6x＝12，即可得出答案；
（2）将5m＝x+3代入y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2可得答案．
【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x．
∵36x＝312，
∴6x＝12，
∴x＝2．

（2）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
20．（2021春•岳麓区月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　，D（16）＝　4　．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．
【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．
【解答】解：（1）∵21＝2，
∴D（2）＝1，
∵24＝16，
∴D（16）＝4，
故答案为：1；4．
（2）①∵21＝a，
∴a＝2．
∴23＝23．
∴D（a3）＝3．
②D（15）＝D（3×5），
＝D（3）+D（5）
＝（2a﹣b）+（a+c）
＝3a﹣b+c，

＝（a+c）﹣（2a﹣b）
＝﹣a+b+c．
D（108）＝D（3×3×3×2×2），
＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）
＝3×D（3）+2×D（2）
＝3×（2a﹣b）+2×1
＝6a﹣3b+2．
，
＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）
＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]
＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]
＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]
＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2
＝5a﹣3b﹣c﹣2，
【点评】主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力．