第05讲 多边形的内角和与外角和（核心考点讲与练）（原卷版+解析版）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第05讲 多边形的内角和与外角和(核心考点讲与练)

一．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
二．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
三．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
四．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
五．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
六．平面镶嵌（密铺）
（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．
（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．
（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．

一．三角形内角和定理（共8小题）
1．（2020春•梁溪区期中）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，则∠BDE＝　 　°．

2．（2021春•徐州期末）如图，射线OX与射线OY互相垂直，点A、B分别在OX、OY上，连接AB．若AP平分∠BAX，BP平分∠ABY，求∠APB的大小．

3．（2021春•江都区校级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．





4．（2021春•广陵区校级期中）已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF．




5．（2021秋•徐州期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，将△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠C＝28°，则∠CDE＝　 　°．

6．（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP　 　“倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．





7．（2021秋•邗江区期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A＝36°，∠B为钝角，则符合条件的∠B度数为 　 　．
8．（2021春•江都区期中）图①，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．

（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
（2）若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数；
（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，其余条件不变，则∠D＝　 　（用含α，n的代数式表示）．













二．三角形的外角性质（共6小题）
9．（2021•东台市模拟）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．105° B．75° C．110° D．120°
10．（2021•镇江一模）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，直尺的一边与BC平行，则∠1＝　 　°．

11．（2021秋•港南区期中）如图，∠BDC＝110°，∠C＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（　　）

A．43° B．33° C．37° D．47°
12．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝　 　°．

13．（2021春•邗江区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，AE平分∠DAC．
（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度数．
（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，请探求∠BAE的度数与∠ADC、∠C度数之间的关系（用含m、n的代数式表示）．

14．（2021春•广陵区校级期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝　 　°；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　°；
（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（4）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）















三．多边形（共1小题）
15．（2021春•广陵区校级期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A．三角形的稳定性
B．长方形的对称性
C．长方形的四个角都是直角
D．两点之间线段最短
四．多边形的对角线（共2小题）
16．（2017•江阴市自主招生）四边形ABCD内部有1000个点，以顶点A、B、C、D、和这1000个点能把原四边形分割成n个没有重叠的小三角形，则个数n的值为（　　）
A．2002 B．2001 C．2000 D．1001
17．（2021春•大丰区月考）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，这个多边形的对角线有　 　条．
五．多边形内角与外角（共7小题）
18．（2019春•水城县期末）下列角度中，不能成为多边形内角和的是（　　）
A．600° B．720° C．900° D．1080°
19．（2021春•江都区期中）下列哪个度数不可能是一个多边形的内角和（　　）
A．360° B．600° C．900° D．1800°
20．（2021春•江都区校级月考）一个多边形的内角和大于1100°，小于1300°，这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
21．（2021•仪征市一模）如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 　 　°．

22．（2021秋•青山区期末）若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
23．（2021秋•秦淮区期中）如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．10 D．12
24．（2019秋•崇川区校级月考）已知某多边形的内角和与外角和之比为9：2，求这个多边形的边数和对角线的条数．
六．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
25．（2021秋•工业园区期末）某休闲广场的地面中间是1块正六边形地砖，周围是用正方形和正三角形地砖按如图方式依次向外铺设10圈而成，其中第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，则铺设该广场共用地砖 　 　块．


分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2021•连云港）正五边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
2．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角减去其外角为120°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．八 B．九 C．十 D．十二


3．（2021春•鼓楼区期末）从十边形的一个顶点出发分别连接这个顶点与其它的顶点，可把这个多边形分成（　　）个三角形．
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与A，O重合，则x可能是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2021春•溧阳市期末）若多边形的每个内角都相等，且它的每一个外角是它的邻补角的，则该多边形是（　　）
A．十边形 B．十二边形 C．十五边形 D．十六边形
6．（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝30°，则∠A的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
7．（2021春•仪征市期末）如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDC，则∠BDF的度数为（　　）

A．35° B．39° C．40° D．45°


二．填空题（共8小题）
8．（2021春•广陵区校级期中）在一个三角形中，三个内角之比为1：2：6，则这个三角形是 　 　三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
9．（2019秋•崇川区校级月考）一个六边形的所有内角都相等，它的每一个外角等于 　 　度．
10．（2021春•亭湖区校级期末）四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：4：3，则∠D＝　 　．
11．（2021春•高新区期末）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1+∠2＝144°，则∠B+∠C＝　 　°．

12．（2021•广陵区校级二模）多边形的每个内角的度数都等于140°，则这个多边形的边数为 　 　．
13．（2021春•惠山区期中）如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝130°，则∠BEC＝　 　．

14．（2019秋•兴化市月考）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝86°，则∠B＝　 　°．





15．（2021春•溧阳市期末）如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠CEF＝　 　°．

三．解答题（共9小题）
16．（2021春•玄武区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．试说明BE∥DF．请补充说明过程，并在括号内填上相应理由．
解：在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°．
∵∠A＝∠C＝90°（已知），
∴∠ABC+∠ADC＝　 　°．
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （　 　）．
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ADC）．
∴∠1+∠2＝　 　°．
在△FCD中，∠C＝90°，
∴∠DFC+∠2＝90°（　 　）．
∵∠1+∠2＝90°（已证），
∴∠1＝∠DFC（　 　）．
∴BE∥DF．（　 　）．






17．（2021秋•江油市月考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，F、H是BC上的点，FG⊥AC，HD⊥AC，垂足分别为G、D，在AB上取一点E，使∠BED+∠B＝180°，求四边形BEDH各内角的度数．






18．（2021春•望城区期末）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）画出下列图形：
①BC边上的高AD；
②∠A的角平分线AE．
（2）试求∠DAE的度数．

19．（2021春•雨山区校级月考）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比与它相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的边数以及它的内角和．







20．（2021春•徐州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝　 　度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为　 　．












21．（2021秋•台安县期中）已知一个正多边形内角和比外角和多720°，求此多边形的边数及每一个内角的度数．









22．（2021春•海陵区校级期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数．






23．（2021春•泰州期末）如图1，D为△ABC的边BC上一点，若∠ADC＝∠BAC，
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）如图2，若AE平分∠BAD，在图中找出与∠EAC相等的角，并加以证明．











24．（2021春•高邮市期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，点E在AB上，连接CE、DE．
（1）若∠1＝35°，∠2＝25°，则∠CED＝　 　°；
（2）若∠1＝∠2，求证：∠3+∠4＝90°．










题组B 能力提升练
一．选择题（共7小题）
1．（2021春•海陵区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
2．（2021春•东海县期末）如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（　　）

A．35°或20° B．20°或27.5°
C．35°或25°或32.5° D．35°或20°或27.5°
3．（2021•扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　）

A．220° B．240° C．260° D．280°
4．（2021秋•武陟县月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC的度数为（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°





5．（2021•盐都区二模）如图，在直角△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AD是∠CAB的平分线，交边BC于点D，过点C作△ACD中AD边上的高线CE，则∠ECD的度数为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
6．（2021春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
7．（2021春•丹阳市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（　　）

A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
二．填空题（共8小题）
8．（2021春•射阳县校级期末）如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝　 　°．

9．（2021春•江都区期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这个三角形称为理想三角形；如果一个内角是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为梦想三角形．若一个三角形既是理想三角形，也是梦想三角形，写出这个三角形的三个内角的度数（只写出一组） 　 　．
10．（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 　 　度．

11．（2021•越秀区校级二模）一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是　 　．
12．（2021春•锦江区校级期末）如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC＝135°，则∠EFC的度数是　 　．

13．（2021春•姑苏区校级期中）在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E，∠EDB的角平分线所在直线交AB于点H，交射线AG于点F，则∠B与∠AFD之间的数量关系是　 　．


14．（2021春•江都区期末）如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，则∠A'FC＝　 　°．

15．（2021春•江都区校级期末）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝　 　．
三．解答题（共8小题）
16．（2021春•广陵区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；
（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．


17．（2021春•泰州期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如三个内角分别为20°，40°，120°的三角形是“倍角三角形”．
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）△AOB　 　（填“是”或“不是”）倍角三角形；
（2）若△AOC为“倍角三角形”，求∠OAC；
（3）若△ABC为“倍角三角形”，求∠ACB．

18．（2021春•溧阳市期末）已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E、P分别是线段AB、BC上的动点．（E、P不与点B重合）

（1）如图1，若DE∥BC，则
①∠EDB的度数是 　 　°．
②当∠EDF＝∠DEF时，∠EPB＝　 　°；当∠DEF＝∠EFD时，∠EPB＝　 　°．
（2）如图2，若DE⊥AB，当△DEF中有两个相等的角时，求出∠EPB的度数．






















19．（2021春•东海县期末）如图1．△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°．则∠F的度数为 　 　；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M、N．若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与a+β满足的数量关系是 　 　；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．



















20．（2021春•江都区期末）直线m与直线n相交于C，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，∠ABC的平分线BP与∠DAB的平分线AE的反向延长线相交于点P．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，则∠P＝　 　；若∠ACB＝α，则∠P＝　 　（结果用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点F是直线n上一点，若点B在点C左侧，点F在点C右侧时，连接AF，∠CAF与∠AFC的平分线相交于点Q．
①随着点B、F的运动，∠APB+∠AQF的值是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
②延长AQ交直线n于点G，作QH∥CF交AF于点H，则＝　 　．














21．（2021春•江宁区月考）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．




















22．（2021春•江都区月考）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度数；
（2）如图1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度数；
（3）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．求证：BF∥OD；
（4）若∠F＝∠ABC＝40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．






















23．（2021春•江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有　 　个，以点O为交点的“8字型”有　 　个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．