2023年广西南宁三十七中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广西南宁三十七中中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广西南宁三十七中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列调查活动，适合使用全面调查的是(    )A. 考查人们保护海洋的意识
B. 了解某班学生米跑的成绩
C. 调查某种品牌照明灯的使用寿命
D. 调查抗美援朝纪录片为了和平在线收视率4.  如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是(    )A.
B.
C.
D. 5.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(    ) 时间小时人数 A. ， B. ， C. ， D. ，8.  如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上处测得建筑物顶端的仰角为，沿方向前进到达处，在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度等于(    )
A.  B.  C.  D. 9.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 10.  数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为人，则可列方程为(    )A.  B.
C.  D. 11.  如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，推算第个图案中小五角星有(    )
 A. 颗 B. 颗 C. 颗 D. 颗12.  二次函数的图象如图所示下列结论：；；为任意实数，则；；若且，则，其中正确结论的个数有(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）13.  比较大小：        填“”，“”，“”．14.  若分式的值为，则的值是        ．15.  盒子里有四个分别写有，，，数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，从中随机取出一个小球后
放回，再随机取出一个，则两次抽出的小球数字之积为负数的概率是______．16.  如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为，墙上的影子长为，同一时刻一根长为的垂直于地面上的标杆的影长为，则树的高度为       
 17.  若实数、满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是        ．18.  如图，在菱形中，是锐角，过点作于点，作，交于点连结、，若，，则的面积为        ．
 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：．20.  本小题分
先化简，再求值，其中，．21.  本小题分
如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数．
22.  本小题分
某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生每人限报一课进行抽样调查，如图是根据收集的数据绘制的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
此次共调查了        名学生，扇形统计图中“科技制作”部分的圆心角是        度；
补全条形图；
现该校共有名学生报名参加这四个选修项目，请你估计大约有多少名学生选修“阅读写作”项目？23.  本小题分
某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量瓶与每瓶清洁剂的售价元之间满足一次函数关系：当销售单价为元时，销售量为瓶；当销售单价为元时，销售量为瓶．
求出与的函数关系式，并写出的取值范围；
设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？24.  本小题分
如图，是的直径，点，是上两点，连结，，，平分，过点作，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求线段的长．
25.  本小题分
如图，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．
是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，当取得最大值时，求点的坐标；
是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的边时，求点的坐标．
26.  本小题分
如图甲，正方形中，点为边上一点，点为边上一点，且，连接、交于点．

求证：；
如图乙，连接，若平分，求证：；
如图丙，在的条件下，连接，过点作交边于点，交于点，若，求线段的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
故的相反数是：．
故选：．
直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：根据平移的概念，观察图形可知图案通过平移后可以得到．
故选：．
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
本题主要考查利用平移设计图案，在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，叫做平移，掌握平移的定义是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：考查人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B.了解某班学生米跑的成绩，人数不多，适合全面调查，故本选项符合题意；
C.调查某种品牌照明灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D.调查抗美援朝纪录片为了和平在线收视率，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．
 4.【答案】 【解析】解：函数和的图象相交于点，
不等式的解集为．
故选：．
以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是以交点为分界进行判断．
 5.【答案】 【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
由式子在实数范围内有意义，可得，再解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：过三角形的角的顶点作，如图：

，
，
，
，，
，
．
故选：．
过三角形的角的顶点作，先根据平行线的性质推出，进而求出，再根据平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时．
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查了中位数、众数，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：由图和题意，得：，，，，
设，
在中，，，
，
，
在中，，
解得：，
经检验，是原方程的解；．
建筑物的高度等于
故选：．
设，易得，，利用，求出的值即可．
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：．
由同底数幂的除法法则、积的乘方和幂的乘方法则、单项式乘除法法则分别判断即可．
本题考查整了式的运算，掌握整式运算的相关法则是关键．
 10.【答案】 【解析】解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选：．
设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：第个图案中有颗五角星，，
第个图案中有颗五角星，，
第个图案中有颗五角星，，
第个图案中有颗五角星，，
，
第个图案中有颗五角星．
当时，，
故选：．
根据各图形中五角星个数的变化，可找出第个图案中有颗五角星，代入即可求出结论．
本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图形中五角星个数的变化，找出第个图案中有颗五角星是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，，，
，，故正确；
对称轴是直线，与轴交点在左边，二次函数与轴的另一个交点在与之间，，故正确；
对称轴是直线，图象开口向下，时，函数最大值是；为任意实数，则，，故错误；
，
由得，，故正确；
，，，，，，，，，故错误；
故正确的有个，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
本题考查了实数大小比较，掌握两个无理数的比较时，统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小是关键．
 14.【答案】 【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式的值为，则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．
 15.【答案】 【解析】解：画树状图如下：

由树状图可知共有种等可能结果，其中两个数字之积为负数有、、、，共有种结果，
两次抽出的小球数字之积为负数的概率是．
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两个数字之积为负数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 16.【答案】 【解析】解：设地面影长对应的树高为，
由题意得，，
解得，
墙上的影子长为，
树的高度为．
故答案为：．
设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出，然后加上墙上的影长即为树的高度．
本题考查相似三角形的应用，利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：，
，，
解得，，
当作腰时，三边为，，，不符合三边关系定理；
当作腰时，三边为，，，符合三边关系定理，周长为：．
故答案为：．
由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解即可求出的周长．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系，解题的关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．
 18.【答案】 【解析】解：连接，

，
，
，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
∽，
，
，
菱形的面积，
的面积的面积菱形的面积，
的面积，
，
，
的面积的面积，
的面积的面积，
的面积菱形的面积的面积的面积，

，
故答案为：．
连接，根据垂直定义可得，从而可得，再利用菱形的性质可得，，，，从而可得，进而可得，然后利用证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，，进而可得，即可得出是的垂直平分线，从而可得，最后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，进而求出的面积，的面积，的面积，即可利用的面积菱形的面积的面积的面积进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 19.【答案】解：

． 【解析】分别计算乘方，零指数幂，化简符号，再算加减法．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
 20.【答案】解：原式
，
当，时，
原式

． 【解析】先去括号，然后合并同类项，最后将，代入进行计算即可求解．
本题考查了整式的加减与化简求值，掌握去括号与合并同类项是解题的关键．
 21.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
；
解：，，
，
，
，
由可知，，
，
，即的度数为． 【解析】由证明≌，即可解决问题；
由等腰直角三角形的性质得，再求出，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 22.【答案】   【解析】解：名，
共调查了名学生，
扇形统计图中“科技制作”部分的圆心角是，
故答案为：，．
报名数学思维的学生人数为：人，
补全条形图如下：

名．
答：大约有名学生选修“阅读写作”项目．
用报名艺术鉴赏的学生人数除以所占百分比，求出总数，利用报名科技制作的学生人数所占的百分比，求出圆心角度数；
利用总数减去报名其它项目的学生人数求出报名数学思维的学生人数，补全条形图即可；
用样本中报名阅读写作项目的学生所占的比例，即可得出结论．
本题考查条形统计图．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比，求出总数是解题的关键．
 23.【答案】解：设与的关系式为，由题意得，图象过点与，
把与代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为，
每瓶清洁剂的售价不低于元且不高于元，
；
由题意可得：，
此时当时，最大，
又由可知：，
当时，随的增大而增大，
即当时，元，
答：该清洁剂销售单价定为元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大，最大利润是元． 【解析】利用待定系数法即可解决问题；
构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质是解题的关键．
 24.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
在圆上，
是的切线；
连接，，
为直径，
，
，
，
即，
，
，
即，
解得：负值舍去，
，
，
，
同理可得：，，
四边形内接于，
，
又，
，
，
∽，
，
即，
解得：． 【解析】证明，从而可知，由于，所以，所以是的切线；
连接，，根据三角函数的定义，利用勾股定理解直角三角形，分别求出，，，，证明∽，得到，即可求解．
本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是能根据切线的判定与性质和圆周角定理得到角．
 25.【答案】解：如图，

设直线的解析式为，
直线经过点，，
将，两点代入解析式得，，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
当时，最大，此时，，
；
如图，设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接，

点在线段的垂直平分线上，
，
，
轴，
，
，
轴，
直线的解析式为，抛物线的对称轴是直线，
当时，，
，
点的纵坐标为，
设的坐标为，
，
解得或，
点的坐标为或． 【解析】先求出直线的解析式，再设，知，从而得，据此可得答案；
先判断出轴，进而求出点的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，中表示出，中得到轴是解本题的关键．
 26.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即；
证明：如图，连接交于点，

由得，
，
平分，
，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，延长、交于点，

设，则，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得，
，，
作交于点，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
线段的长为． 【解析】由四边形是正方形得，，而，即可证明≌，得，则，所以；
连接交于点，先证明∽，得，变形为，再证明∽，得，即可推导出，所以，得，即可证明；
延长、交于点，设，则，先证明∽，推导出，再证明∽，推导出，由，得，则，再证明∽，得，所以，于是，则，所以，；作交于点，则，由勾股定理求得，则，再证明∽，得，则．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．