限时小练30　指数函数的图象与性质(二)

1.若＜，则实数a的取值范围是(　　)

A.(1，＋∞)   B.

C.(－∞，1)   D.

答案　B

解析　原式等价于2a＋1＞3－2a，

解得a＞.

2.函数y＝的定义域________，值域________.

答案　[0，＋∞)　[0，1)

解析　∵1－≥0，∴≤1，

解得x≥0，故定义域为[0，＋∞)，

令t＝1－(x≥0)，∴0≤t<1，

∴值域为[0，1).

3.已知函数f(x)＝是奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)用定义证明函数f(x)在R上的单调性；

(3)若对任意的x∈R，不等式f(x2－x)＋f(2x2－k)>0恒成立，求实数k的取值范围.

(1)解　∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，

∴f(0)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝2x－2－x，满足f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数.∴a＝1.

(2)证明　任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，

且x1<x2，

则2x1<2x2，>，

于是f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋＝(2x1－2x2)＋<0，

即f(x1)<f(x2)，

故函数f(x)在R上是增函数.

(3)解　∵f(x2－x)＋f(2x2－k)>0，

∴f(x2－x)>－f(2x2－k).

∵f(x)是奇函数，

∴f(x2－x)>f(k－2x2).

又由f(x)在R上是增函数，

得x2－x>k－2x2，

即k<3x2－x对任意的x∈R恒成立.

∵当x＝时，3x2－x取得最小值－，

∴k<－.