4.4.2　计算函数零点的二分法

课标要求　1.了解用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解.

素养要求　用二分法求方程的近似解，体会“逐步逼近”的方法，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.

自 主 梳 理

用二分法求函数零点的一般步骤

已知函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε.用二分法求函数零点的一般步骤如下：

(1)在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0，零点位于区间[a，b]中.

(2)取区间[a，b]的中点，则此中点对应的横坐标为m＝.

(3)如果|m－a|<ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止.

(4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止.

(5)f(m)与f(a)同号，则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2).

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(×)

提示　如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.

(2)如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点的近似值.(√)

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(×)

提示　函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.

2.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A.0.9   B.0.7 

C.0.5   D.0.4

答案　B

解析　由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B.

3.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于(　　)

A.1   B.－1 

C.0.25   D.0.75

答案　C

解析　x1＝＝0.25.

4.二分法求函数的零点的近似值适合于(　　)

A.零点两侧函数值异号的函数

B.零点两侧函数值同号的函数

C.所有函数都适合

D.所有函数都不适合

答案　A

解析　由函数零点存在定理可知选A.

题型一　对二分法概念的理解

例1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为(　　)

(2)(多选)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是(　　)

A.f(x)在区间[a，b]内连续不断 B.f(a)·f(b)＜0

C.f(a)·f(b)＞0 D.f(a)·f(b)≥0

答案　(1)B　(2)AB

解析　(1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.

(2)由二分法的定义，知选AB.

思维升华　1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.

训练1 (1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)

(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.

答案　(1)B　(2)(1，2)

解析　(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.

(2)设f(x)＝2x＋3x－7，

f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，

f(2)＝3>0，

f(x)零点所在的区间为(1，2)，

∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).

题型二　用二分法求方程的近似解

例2 用二分法求方程x2－10＝0在区间[3.1，3.2]上的近似解(误差不超过0.001，即ε＝0.001).

解　设f(x)＝x2－10，则f(3.1)＝－0.39，

f(3.2)＝0.24.

取a0＝3.1，b0＝3.2，有f(a0)·f(b0)＜0.列表计算：

由于b6－a6＝0.001 5＜0.002＝2ε，计算停止，取＝x6＝＝3.161 75≈3.162为方程的近似解.

思维升华　给定ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0；

(2)求区间(a，b)的中点c；

(3)计算f(c)；

①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

③若f(a)·f(c)＞0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).

(4)重复第(3)步，可得到一系列有限区间，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半，当所在区间值小于2ε时，区间中点或区间端点就是函数f(x)的近似零点.

训练2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度为0.01).

解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.

取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).

如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：

因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.

[课堂小结]

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：

(1)在区间[a，b]上连续不断；

(2)f(a)·f(b)<0.

上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.

一、基础达标

1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1   B.x2 

C.x3   D.x4

答案　C

解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3左右两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.

2.为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(f(x)的值精确到0.01)如下表如示：

则函数f(x)的一个零点所在的区间是(　　)

A.(0.6，1.0)   B.(1.4，1.8)

C.(1.8，2.2)   D.(2.6，3.0)

答案　C

解析　∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，∴零点在区间(1.8，2.2)上.故选C.

3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)

A.|a－b|<0.1   B.|a－b|<0.001

C.|a－b|>0.001   D.|a－b|＝0.001

答案　B

解析　根据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算.

4.在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A.[1，4]   B.[－2，1]

C.   D.

答案　D

解析　∵第一次所取的区间是[－2，4]，

∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，

∴第三次所取的区间可能为，，，.

5.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)

A.1.5   B.1.25

C.1.375   D.1.437 5

答案　D

解析　由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5.

6.用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________.

答案　

解析　令f(x)＝ln x－2＋x，

∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，f ＝ln －<0，

∴下一个含根的区间是.

7.若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为______(只填序号).

①(－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；

⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞).

答案　③④⑤

解析　根据零点存在定理，f(x)在[2，3]，[3，4]，[4，5]内都有零点.

8.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________(用a表示).

答案　a2＝4b　－

解析　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b；

则令f(x)＝x2＋ax＋＝0，解得x＝－.

9.用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(误差为0.01).

解　由表中f(1.562 5)＝0.003，

f(1.556 2)＝－0.029.

∴f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.

又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，

∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一).

10.用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：

解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.列表计算：

∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，

∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.

二、能力提升

11.函数f(x)＝log3x－在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　f (1)＝－<0，f(3)＝>0，

f (2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，

f ＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，

因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.

12.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.

答案　4

解析　开区间(2，3)的长度等于1，

每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，

经过n此操作后，区间长度变为，

故有≤0.1，

即2n≥10，则n≥4，

所以至少需要操作4次.

13.已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实数根.

证明　∵f(1)>0，

∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，

即3(a＋b＋c)－b－2c>0.

∵a＋b＋c＝0，

∴a＝－b－c，－b－2c>0，

∴－b－c>c，即a>c.

∴f(0)>0，∴f(0)＝c>0，

∴a>0.

取区间[0，1]的中点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)

＝－a<0.

∵f(0)>0，f(1)>0，

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.

又f(x)为二次函数，最多有两个零点，

∴f(x)＝0在[0，1]内有两个实数根.

三、创新拓展

14.已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.01).

解　由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，

因此f(x)＝0的正根最多有一个.

因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，

所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：

因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，

所以方程的根的近似值为0.273 437 5，

即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.