2023年宁夏银川三中中考数学一模试卷（含解析）

2023年宁夏银川三中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  深圳市卫健委日称，截至月日时，全市指定接种门诊家，累计接种人．将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中与互为余角的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有个，黑球有个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在附近，则的值约为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表：

这些学生睡眠时间的众数、中位数是(    )

A. 众数是，中位数是 B. 众数是，中位数是
C. 众数是，中位数是 D. 众数是，中位数是

6.  端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋元，每天可售出袋；若售价每降低元，则可多售出袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到元？若设每袋粽子售价降低元，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，若的面积为，则函数的图象为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：______．

10.  计算：        ．

11.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为          ．

12.  如图，已知中，，，分别以点，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，，直线与交于点，若，，则______．

13.  在月份，某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是______月份．

14.  如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为：，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压        ．

15.  我国古代著名数学著作九章算术总共收集了个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点，寸，寸注：尺寸，则可得直径的长为        寸”．

16.  如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为______
，结果保留整数．

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于原点的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标．
画出将绕原点逆时针方向旋转度后的图形．

18.  本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
 

19.  本小题分
以下是某同学化简分式的部分运算过程：
原式



上面的运算过程中第        步出现了错误；错误原因是        ．
请你写出完整的解答过程．

20.  本小题分
为了解市区校落实双减政策的情况，有关部门抽查了校班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．

该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是______；
请把图条形统计图补充完整；
该校学生共人，则参加棋类活动的人数约为______；
该班参加舞蹈类活动的位同学中，恰有位男生分别用，表示和位女生分别用，表示，现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，，垂足为点，点是线段的中点．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具和摆件是其中的两款产品，玩具和摆件的批发价和零售价格如下表所示．

若该旗舰店批发玩具和摆件一共个，用去元钱，求玩具和摆件各批发了多少个？
若该旗舰店仍然批发玩具和摆件一共个批发价和零售价不变，要使得批发的玩具和摆件全部售完后，所获利润不低于元，该旗舰店至少批发玩具多少个？

23.  本小题分
如图，已知是以为直径的圆，为上一点，为延长线上一点，的延长线交于，．
求证：直线为的切线；
求证：．

24.  本小题分
如图，直线与双曲线交于、两点，点的坐标为，经过点直线与轴交于点．
 

求反比例函数的表达式以及点的坐标；

点是轴上一动点，连接，若是的面积的一半，求此时点的坐标． 

25.  本小题分
为了防止蚊虫污染饭菜，小丽用细竹篾编了一个罩子保护饭菜如图将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形小丽测得罩子的跨度为厘米，高度为厘米，小丽以罩子左边缘为原点、水平线为轴建立平面直角坐标系如图．
求罩子上最高的点的坐标；
求抛物线的函数表达式；
小丽的妈妈想购买一批直径为厘米，高度为厘米的盘子，要使罩子紧贴水平桌面，罩子内一排能放下个这样的盘子吗？请说明理由．

26.  本小题分
同学们还记得吗？图，图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为______；
【问题二】受图启发，兴趣小组画出了图：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为，求四边形的面积；
【问题三】受图启发，兴趣小组画出了图：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A符合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，故选项D不合题意；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查实数的运算、算术平方根，解答本题的关键是明确实数运算的计算方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不互余，故本选项错误；
B、与不互余，故本选项错误；
C、与不互余，故本选项错误；
D、与互余，故本选项正确．
故选：．
根据图形，结合互余的定义判断即可．
本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在附近，即概率约为．
根据黑球的频率稳定在附近得到黑球的概率约为，则可得摸到白球的概率约为，据此可得白球和黑球的个数总和，最后可求得黑球的个数．
【解答】
解：根据题意得：摸出白球的概率约为：，
则总的球数为：个，
黑球个数为：个．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当每袋粽子售价降低元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，
依题意得：．
故选：．
当每袋粽子售价降低元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，
点在第一象限且在函数的图象上，
，即．
一次函数的解析式为：，
一次函数的图象是经过点，的直线．
故选：．
先根据反比例函数系数的几何意义，求出的值等于，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点，即可确定选项．
考查了反比例函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象，解答此题的关键是根据反比例函数系数的几何意义求出的值，再根据一次函数解析式确定一次函数的图象与坐标轴的交点．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
为直角三角形，
由题意得，的面积的面积，
由图形可知，阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积，
阴影部分的面积扇形的面积，
故选：．
根据，，和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到的面积的面积，得到阴影部分的面积扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积扇形的面积是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
原式根据算术平方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值进行化简，再计算加减法即可．
本题主要考查实数的运算，涉及的知识点有：算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用平移的性质解决问题即可．
【解答】
解：，，
点向右平移个单位得到，
，
点向右平移个单位得到，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，直线是的垂直平分线，
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图象中的信息可知，月份的利润元，
月份的利润元，
月份的利润元，
月份的利润元，
故出售该种水果每斤利润最大的月份是月份，
故答案为：
根据图象中的信息即可得到结论．
本题考查了象形统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润售价进价是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图；、都与水平线的垂直，，是垂足，则；

，
∽；
，
与之比为：，
，即，
当时，，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压．
故答案为：．
首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，设的半径是寸，

，
寸，
，
，
，
寸，
故答案为：．
连接，设的半径是寸，由勾股定理，垂径定理，可得关于的方程，求出即可得到的长．
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接，构造直角三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图．

则，，，
在中，，
设，则，
，，
在中，
，
解得，
．
故答案为：．
过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
画如图，即为所求．
 

【解析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
 

18.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为：．
在数轴上表示如图：
 

【解析】先分别解两个不等式，在数轴上标出解集，然后写出解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】  分子相减时未变号 

【解析】解：第步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：；分子相减时未变号；
原式，
，
，
，
．
逐一检查每一步，发现错误，写出原因；
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查的总人数为人，
参加音乐类活动的学生人数为人，参加球类活动的人数的百分比为，
故答案为：；

补全条形图如下：


人；
如表：

或如图：

一男一女，
答：恰好选中一男一女的概率是．
先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；
根据中所求数据即可补全条形图；
总人数乘以棋类活动的百分比可得；
利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】证明：点是线段的中点，
，
，
是线段的垂直平分线，
，．
，
．
四边形是菱形；

四边形是菱形，
，
，
．
菱形的面积． 

【解析】由线段垂直平分线的性质和已知条件推知：四边形的四条边相等，继而证得四边形是菱形；
由勾股定理求得，然后由菱形的对角线互相平分推知；最后根据菱形的面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定和性质，此题是利用定义法推知四边形是菱形的．
 

22.【答案】解：设批发个玩具，个摆件，根据题意得：
，
解得：，
即玩具批发了个，摆件批发了个；
设至少批发个玩具，则批发了个摆件，根据题意得：
，
解得：，
即至少批发个玩具． 

【解析】根据“玩具和摆件一共个，用去元钱”以及图表数据可得相应的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
根据“玩具和摆件一共个批发价和零售价不变，批发的玩具和摆件全部售完后，所获利润不低于元”可得相应的一元一次不等式，解不等式即可得到答案．
本题考查了一元一次不等式，二元一次方程组的应用，熟练根据题意找出等量或不等关系列出方程或不等式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：是的直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线为的切线；
，，
∽，
，
． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后根据已知，和等腰三角形的性质可证，从而可得，进而可得，即可解答；
根据两角相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：把代入得，，
，
点在双曲线上，
，
反比例函数的表达式为，
直线经过点，
，
直线，
令，求得，
；

连接、，分别作轴于，轴于，
由题意得，
解得或，
，，
，，，
，
设，
，
，
，则，
或
点为或． 

【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征求得的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式以及直线的解析式，由直线的解析式即可求得的坐标；
连接、，分别作轴于，轴于，首先联立方程，求得交点、的坐标，从而求得，，，求得的面积，设，根据题意得出，从而求得的坐标．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式以及三角形面积等，求得的面积是解题的关键．
 

25.【答案】解：小丽测得罩子的跨度为厘米，高度为厘米，
罩子上最高的点的坐标为；
罩子上最高的点的坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把点代入得，，
，
抛物线的函数表达式为；
罩子内一排不能放下个这样的盘子．
理由：当时，即，
解得，
，
罩子内一排能放下个这样的盘子． 

【解析】根据抛物线的性质即可得到结论；
设抛物线的函数表达式为，把点代入，即可得到结论；
解方程求得当时，横坐标的值，求出两横坐标的差与 比较，即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：【问题一】正方形的对角线相交于点，
，，，
四边形是正方形，
，
，
≌，
，
故答案为：；

【问题二】如图，
连接，，
点是正方形的中心，
，
点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
≌，
，
；

【问题三】在直线上存在点，使为直角三角形，
当时，如图，延长，相交于点，

四边形和四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；

当时，如图，
同的方法得，∽，
，
，
，
或；

当时，如图，
过点作的平行线交的延长线于，延长，相交于，
同的方法得，四边形是矩形，
，，，
同的方法得，四边形是矩形，
，，
，
同的方法得，∽，
，
，
，
，
即的长度为或或或．
【问题一】利用判断出≌，即可得出答案；
先求出，再利用判断出≌，即可求出答案；
【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．