2023年宁夏银川市中关村教育集团中考数学一模试卷（含解析）

2023年宁夏银川市中关村教育集团中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截止年月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超亿人口，请将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一组数据，，，，对该组数据描述正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

5.  若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是(    )

A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

6.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

7.  在同一平面直角坐标系中，函数与其中，是常数，的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  因式分解          ．

10.  计算：______．

11.  某活动小组购买了个篮球和个足球，一共花费了元，其中篮球的单价比足球的单价多元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为______．

12.  如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与交于点，则的长为______．

13.  如图是根据甲、乙两人次射击的成绩环数制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳定？______ 填“甲”或“乙”

14.  如图，在中，，，，则的内切圆半径______．
 

15.  我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是          尺．

16.  如图，为了测量校园内旗杆的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点处，然后观测者沿着水平直线后退到点，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点，此时测得观测者观看镜子的俯角，观测者眼睛与地面距离，，则旗杆的高度约为______结果取整数，

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出与关于轴对称的；
以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为：，并写出点的坐标．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
化简：，并在，，中选择一个合适的值代入求值．

20.  本小题分
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样．
求甲乙两种类型笔记本的单价．
该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共件，且购买的乙的数量不超过甲的倍，则购买的最低费用是多少．

21.  本小题分
如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．
求证：四边形是平行四边形；
当时，求的长．

22.  本小题分
为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
本次调查的学生人数是______人；
图中是______度，并将图条形统计图补充完整；
请估算该校九年级学生自主学习时间不少于小时有______人；
老师想从学习效果较好的位同学分别记为、、、，其中为小亮随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮的概率．
 

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，交线段的延长线于点，连接．
求证：；
若，，求．

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、若，．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积．
 

25.  本小题分
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图所示，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
你能求出经过点的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
开动脑筋想一想，相信你能求出经过点的“蛋圆”切线的解析式．

26.  本小题分
综合与实践
我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，王老师启发学生将三角形的中线和中位线综合到一起做了专题探究，下面是某两个小组的探究内容．
知识储备
由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，是平行线分线段成比例的特例，也是相似三角形的典型模型之一．
知识应用
如图，在中，是边的中点，过点作交于点，当时， ______ ．
问题探究
兴趣小组在探究学习时，在中，作出中线，，与交于点，如图，根据中位线的性质，得到请同学们结合所学证明这一结论．
兴趣小组在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，则一定有请结合所学证明这一结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是；
故选：．
根据实数的大小比较法则即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较，熟练掌握掌握大于，负数小于，正数大于一切负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了三视图，熟练掌握从上面看到的图形是俯视图是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握应用科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，
所以这组数据的众数为，故选项A不合题意；
中位数为，故选项B不合题意；
平均数为，故选项C符合题意；
方差为，故选项D不合题意；
故选：．
将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
本题主要考查了方差，众数，中位数，算术平均数，掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，故A不符合题意；
，
，
，
，
，故B不符合题意；
，
，
，
，故C不符合题意，
，
，
，
不平行，故D符合题意．
故选：．
根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：若，，
则经过一、二、三象限，反比例函数位于一、三象限，
若，，
则经过一、三、四象限，反比例函数数位于二、四象限，
若，，
则经过一、二、四象限，反比例函数位于二、四象限，
若，，
则经过二、三、四象限，反比例函数位于一、三象限，
故选：．
根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据折叠的想找得到，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式．
先提取，然后用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
根据题意可得等量关系：个篮球的花费个足球的花费元，篮球的单价足球的单价元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】
解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：
，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
故答案为：．
利用勾股定理求出，再利用线段的垂直平分线的性质求出．
本题考查作图基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，
甲的方差为，
乙的方差为，
，
甲的成绩较稳定．
故答案为：甲．
方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．
本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
根据勾股定理，得，
如图，设的内切圆与三条边的切点分别为、、，

连接、、，
，，，
可得矩形，
根据切线长定理，得
，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
解得．
则的内切圆半径．
故答案为：．
在中，，，，根据勾股定理可得，设的内切圆与三条边的切点分别为、、，连接、、，可得，，，可得矩形，再根据切线长定理可得，所以矩形是正方形，可得，所以，，进而可得的内切圆半径的值．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理以及勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心，切线长定理以及勾股定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：设绳长是尺，则井深是尺，依题意有

解得，
则，
故井深是尺．
故答案为：．
可设绳长为尺，井深为尺，根据等量关系列出方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
在中，，
，
解得，
，
在中，，
解得，
旗杆的高度约为．
故答案为：．
由光的反射原理可得，在中，，，解得，则，在中，，解方程可求得．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为；
 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
把、、的坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称变换．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当或时，原式没有意义，
当时，
原式． 

【解析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
 

20.【答案】解：设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本单价为元，
答：甲类型的笔记本单价为元，乙类型的笔记本单价为元；
设甲类型笔记本购买了件，则乙类型的笔记本购买了件，购买总费用为元，
由题意得，，且
，
，
，
随的增大而减小，
时，最小，最小值为元，
答：最低费用为元． 

【解析】设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，列出分式方程，从而解决问题；
设甲类型笔记本购买了件，总费用为元，则乙类型的笔记本购买了件，列出关于的函数解析式，再根据的范围可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又因为，，
≌，
，
又因为，
四边形是平行四边形；
解：，四边形是平行四边形
四边形是菱形，
，，，
设，则
在中，根据勾股定理，有
，
解之得：，
，
在中，根据勾股定理，有
，
 ，
在中，根据勾股定理，有，
，
． 

【解析】根据矩形的性质得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
推出四边形是菱形，得到，，，设，则根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】      
 画树状图得：

共有种等可能的结果，选中小亮的有种，
． 

【解析】

解：自主学习的时间是小时的有人，占，
，
故答案为：； 

，
故答案为：；
；
补充图形如图：
故答案为：；

； 
故答案为：；

见答案
【分析】
由自主学习的时间是小时的有人，占，即可求得本次调查的学生人数；
由，；即可求得答案；
首先求得这名学生自主学习时间不少于小时的百分比，然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于小时的人数；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．  

23.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
；
解：，
，
在中，，
，
，
是的直径，
，
，，
∽，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
利用的结论可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，最后证明∽，利用相似三角形的性质求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，，
，
，，
，
，两点在直线上，
，，
直线的解析式为，
过点作于点，
，
，
，
∽
，
，，
，
，
反比例函数的解析式为；

由，解得或
，
过点作轴于点，



． 

【解析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
求出，两点坐标，代入直线的解析式求出，，再求出点的坐标，求出即可；
构建方程组求出点的坐标，再利用割补法求出三角形面积．
 

25.【答案】解：根据题意可得：，；
则设抛物线的解析式为，
又点在抛物线上，
，解之得：
分
自变量范围：分

设经过点“蛋圆”的切线交轴于点，连接，
在中，
，，
，
在中，
，，

点、的坐标分别为，分
切线的解析式为分

设过点，“蛋圆”切线的解析式为：分
由题意可知方程组只有一组解
即有两个相等实根，
分
过点“蛋圆”切线的解析式分 

【解析】易得点、的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把坐标代入即可．自变量的取值范围是点、之间的数．
先设出切线与轴交于点利用直角三角形相应的三角函数求得的长，进而求得点坐标，把、坐标代入一次函数解析式即可求得所求的解析式．
设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除，让跟的判别式为，即可求得一次函数的比例系数．
本题以半圆与抛物线合成的封闭图形“蛋圆”为背景，考查一次函数、二次函数有关性质，解题过程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程组相关知识与技能，是一道综合性很强的试题．
 

26.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
点是的中点，
，
，
，
故答案为：；
证明：连接，

中线与交于点，
是的中位线，
，，
∽，
，
；
证明：取的中点，连接，

点是的中点，
，，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
．
由，得∽，则，即可得出；
连接，根据三角形中位线定理得，，则∽，得，即可证明结论；
取的中点，连接，由三角形中位线定理得，，再利用证明≌，得，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．