2023年北京十九中、八一教育集团联考中考数学零模试卷（含解析）

2023年北京十九中、八一教育集团联考中考数学零模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列立体图形中，主视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年北京打造了一届绿色环保的冬奥会张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，，，，除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列图形中，对称轴条数最少的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒个单位长度的速度移动设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是(    )

A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 一次函数关系，正比例函数关系

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

10.  因式分解：____________．

11.  方程的解为        ．

12.  若点，在反比例函数为常数的图象上，则        填“”“”或“”

13.  某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一名参加禁毒知识比赛，三人选拔测试成绩的相关数据如下表所示，则成绩比较稳定的同学是        ．

14.  如图，在中，平分，垂足为，，，，则的长是        ．

15.  如图，是的直径，点在上，，，是的切线，          

 

16.  为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一、二、三名没有并列，对应名次的得分分别为，，且，，均为正整数分，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩同学第三轮的得分为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  已知，求代数式的值．

四、解答题（本大题共10小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
解不等式组：．

20.  本小题分
已知：如图，为锐角三角形，．
求作：点，使得，且．
作法：以点为圆心，长为半径画圆；
以点为圆心，长为半径画弧，交于点异于点；
连接并延长交于点．
所以点就是所求作的点．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接．
，
点在上．
，
______填推理的依据，
由作图可知，，
______．
．

21.  本小题分
如图，在菱形中，为，的交点，，，分别为，，的中点．

求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．

22.  本小题分
已知一次函数的图象经过，两点且与轴交于点．
求函数解析式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，是的直径，为上一点，为外一点，连接，，，，满足，．
证明：直线为的切线；
射线与射线交于点，若，，求的长．

24.  本小题分
数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省底面边长不超过，且不考虑接缝．

某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．
可以用含的代数式表示长方体的高为．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积侧面积．
得到与的关系式：        ；
列出与的几组对应值：

说明：表格中相关数值精确到十分位
表中        ．
在图的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：
结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为        时，需要的材料最省；当长方体包装盒表面积为时，底面边长约为        ．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且，
若，
点到轴的距离为        ；
已知点，，若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围；
已知点到轴的距离为，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．

26.  本小题分
在中，，，将线段绕点逆时针旋转角得到线段，连接，过点作于点，连接交，于点，．
当时，如图，依题意补全图形，直接写出的大小；
当时，如图，试判断线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
若为的中点，直接写出的长．
 

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，．
对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”．

在图中画出点；
连接，交线段于点求证：；
的半径为，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、、主视图是矩形，故A、、不符合题意；
B、主视图是三角形，故B正确；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

过点作，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可；
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图可知，且，
．
故选：．
根据各点在数轴上的位置得出、两点到原点距离的大小，进而可得出结论．
本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图如图：

共有种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于的有种，
两次摸出的卡片的数字之和等于的概率为，
故选：．
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡片的数字之和等于的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【解答】
解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
观察选项，只有选项符合题意．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：、有数条对称轴，
B、有条对称轴，
C、有无数条对称轴，
D、有条对称轴，
所以对称轴条数最少的是选项D．
故选：．
根据轴对称图形的定义，分别找出题干中的图形的所有对称轴条数，即可进行判断．
此题考查了利用轴对称图形的定义确定轴对称图形的对称轴的条数的灵活应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
，
，
，是一次函数，
，
的面积

，
，是二次函数，
故选：．
根据题意可得：，，从而可得，进而可得，然后根据三角形的面积公式可得的面积，从而可得，即可解答．
本题考查了函数关系式，一次函数的定义，正比例函数的定义，二次函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析列出函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
观察原式，找到公因式，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】
解：

．
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
反比例函数为常数的图象位于第一、三象限，
，
，
故答案为：．
先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：从平均数看，三人的平均数相同，
从方差看，甲方差最小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故答案为：甲．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的人参加即可．
本题考查了平均数和方差的含义，熟悉平均数和方差的意义并利用方差作决策是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作，垂足为，

平分，，
，
，，，



，
解得．
故答案为：．
过作，垂足为，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积可求解的长．
本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，证得是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
．
与相切，
，
．
，是的切线，
，
．
．
故答案为：．
因为是的直径，可知，再利用三角形内角和可求根据与相切可知，可以求出再根据切线长定理可知，进而可知，利用三角形内角和求出即可．
本题考查切线的性质和切线长定理，解题关键是结合图形利用切线的性质和切线长定理进行角的转化和计算．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
，
，，均为正整数，
若每轮比赛第一名得分为，则最后得分最高的为，
必大于，
又，
最小取，
，
，，，
小恩同学最后得分分，他轮第一，轮第二；
小王同学最后得分分，他轮第一，轮第二，轮第三；
又表格中第二轮比赛，小王第一，小奕第三，
第二轮比赛中小恩第二，
第三轮中小恩第一，小王第三，小奕第二，
小恩的第三轮比赛得分，
故答案为：．
根据三位同学的最后得分情况列出关于，，的等量关系式，然后结合且，，均为正整数确定，，的值，从而确定小恩同学第三轮的得分．
本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．
 

17.【答案】解：原式，
，
，
原式． 

【解析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：图形如图所示：

同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；． 

【解析】

【解答】
见答案；
证明：连接．
，
点在上．
，
同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，
由作图可知，，
．
．
故答案为：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，．
【分析】
根据题意画出图形即可；
利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．  

21.【答案】证明：，，分别为，，的中点，
、是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；

解：如图，

四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，分别为，的中点，
，，
，
由可知，四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、
勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
由三角形中位线定理得，，得四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
证是等边三角形，得，得，再由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，，即可解决问题．
 

22.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
一次函数解析式为，
当时，，
点坐标为；
时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，
当时，时，，即，
当时，函数的图象与函数的图象的交点只能在第四象限或平行，则，
的取值范围为． 

【解析】把个已知点的坐标分别代入中得到关于、的方程组，再解方程组求出、，从而得到以此函数解析式，然后计算自变量为对应的函数值得到点的坐标；
根据题意，当，时，函数的函数值比的函数值小，所以；当时，函数的图象与函数的图象的交点只能在第四象限或平行，所以．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象与系数的关系．
 

23.【答案】证明：连接，如图所示：

是的直径，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，为半径，
直线为的切线；
解：如图所示：

在中，
，
，
，，
，
由可知，
，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：负根舍去，
． 

【解析】连接，由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证；
由可知，则有，然后可得，则可知∽，进而可得，最后根据勾股定理建立方程可进行求解．
本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】       

【解析】解：由题意，；
故答案为：；
当时，；
故答案为：；
函数图像如图所示：
观察图象可知，当约为时，需要的材料最省，
当时，约为，
故答案为：，．
根据长方体的表面积公式求解即可；
求出时，的值即可；
利用描点法画出函数图像即可；
利用图象法判断即可．
本题考查了二次函数的应用，长方体的性质，函数图像等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
，
抛物线的顶点坐标为，
点到的距离为，
故答案为：．
将代入得，
解得或，
当时，点关于对称轴的对称点为在对称轴左侧，
时，抛物线与有两个交点，
将代入得，
解得或，
时，抛物线与线段有两个交点，
当时，抛物线与线段只有一个交点．
，
顶点坐标为，
点到轴的距离为，
，
解得或，
当时，总满足，
当抛物线开口向下时，点，在对称轴左侧，当抛物线开口向上时，点，在对称轴右侧，
当时，，
令，
整理得，
抛物线与直线有两个交点，
，
解得，
当抛物线顶点在直线上时，，
解得，
，
不符合题意，
当时，抛物线开口向下，，
令，
整理得，
，
解得，
当顶点在直线上时，
解得，
，
又，
满足题意．
由可得抛物线顶点坐标，进而求解．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴及顶点坐标，从而可得抛物线的运动规律，将，坐标代入解析式求解．
由点到轴的距离为可得，分类讨论抛物线开口方向，由时，总满足，可得点，在抛物线对称轴的一侧，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

26.【答案】解：依题意补全图形，如图所示：

，，，
，，，
，
，
，
，
，
；
，证明如下：
连接，

，，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
过点作，则，

，
∽，
，
为的中点，，，
，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】根据题意作图，根据等腰三角形的性质和角的和差即可求解；
根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出；再根据等腰直角三角形的判定和性质得出，连接，可证明是直角，进而证明∽，根据相似三角形的性质求解即可；
过点作，通过证明∽，再利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质进行求解即可．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：由题意知，，
，
如图，点即为所求；

证明：连接，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，并延长至，使，延长到，使，

由题意知，，，，
，
，
，
，
，
的最小值为，的最大值为，
长的最大值与最小值的差为． 

【解析】根据定义，先求出的坐标，从而得出的位置；
连接，利用三角形中位线定理得，从而证明结论；
连接，并延长至，使，延长到，使，由题意知，，，，利用三角形中位线定理得的长，从而求出的长，在中，，则的最小值为，的最大值为，从而解决问题．
本题考查圆的综合，掌握待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识是解题的关键．