2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（二模三模）含解析

这是一份2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（二模三模）含解析，共56页。试卷主要包含了3×103B， 已知函数y＝， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（二模）
一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 元月份某，北京市的气温为﹣6℃，长泰县的气温为15℃，那么这长泰县的气温比北京市的气温高（　　）
A. 15℃ B. 20℃ C. ﹣21℃ D. 21℃
2. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　)
A 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108
3. 下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4. 在社会中，四名同学分别就同一种商品的价格变化情况，给了如下四幅图，为了更直观、清楚地体现该商品的价格增长势头，你认为比较理想的是（　　）
A. B. C. D.
5. 若 a、b 是一元二次方程 x2+3x -6＝0 两个没有相等的根，则 a2﹣3b 的值是（ ）
A. -3 B. 3 C. ﹣15 D. 15
6. 已知函数y＝（k﹣2）x+k没有第三象限，则k的取值范围是（　　）
A. k≠2 B. k＞2 C. 0＜k＜2 D. 0≤k＜2
7. 已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（ ）
A. 5条 B. 6条 C. 8条 D. 10条
8. 下列运算正确的是（ ）
A. （x3）2=x5 B. （﹣2x）2÷x=4x
C. （x+y）2=x2+y2 D. =1
9. 如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE， ③tan∠OCD = ，④ 中，正确的有【 】

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图所示，向一个半径为、容积为的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
　
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 要使分式和都有意义，则x的取值范围是 _____．
12. 如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，则∠F的度数是__．

13. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆成这样的图形，至少需用_____块小正方体．

14. [x]表示没有超过x的整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，若y=x﹣[x]，下列命题：①当x=﹣0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y随着x增大而一直增大．其中正确命题有_____（只填写正确命题的序号）．
15. 已知△ABC与△ABD没有全等，且AC＝AD＝1，∠ABD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则CD＝_____．
16. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个没有规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在没有远处向圈内掷石子，且记录如下：
依此估计此封闭图形ABC的面积是_____m2．
三．解 答 题（共9小题，满分72分）
17. （1）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+6tan30°；
（2）先化简，再求值：（）÷，其中x=﹣1．
18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，
（1）若∠BDO=∠CEO，求证：BE=CD．
（2）若点EAC中点，问点D满足什么条件时候，．

19. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
　　
　　
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
　　
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率．

20. 某种水果的价格如表：
购买的质量（千克）
没有超过10千克
超过10千克
每千克价格
6元
5元
张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于次），共付款132元．问张欣次、第二次分别购买了多少千克这种水果？
21. 已知关于的没有等式的解是，求m的值.
22. 随着人们经济收入的没有断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

23. 如图，象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C坐标；
（3）sin∠ABC的值．

24. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB=　 　°，理由是：　 　；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．

25. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（二模）
一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 元月份某，北京市的气温为﹣6℃，长泰县的气温为15℃，那么这长泰县的气温比北京市的气温高（　　）
A. 15℃ B. 20℃ C. ﹣21℃ D. 21℃
【正确答案】D

【详解】分析：
根据题意列出式子按有理数减法法则计算即可.
详解：
由题意可得：（℃）.
故选D.
点睛：本题考查的是有理数减法的实际应用，解题的关键是根据题意列出正确的算式.
2. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　)
A. 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108
【正确答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】解：5300万=53000000=.
故选C.
在把一个值较大数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
3. 下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：
根据轴对称图形的定义进行判断即可.
详解：
A选项中的图形没有是轴对称图形，没有能选A；
B选项中的图形没有是轴对称图形，没有能选B；
C选项中的图形没有是轴对称图形，没有能选C；
D选项中的图形是轴对称图形，可以选D.
故选D.
点睛：本题考查的是轴对称图形的识别，解题的关键是正确理解轴对称图形的定义：“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”，这样对照定义进行判断即可得到正确答案了.
4. 在社会中，四名同学分别就同一种商品的价格变化情况，给了如下四幅图，为了更直观、清楚地体现该商品的价格增长势头，你认为比较理想的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】分析：
按照画折线统计图的规范要求进行判断即可.
详解：
因为绘制折线统计图时，首先要确定好横轴与纵轴的单位长度，然后根据具体数量通过向横轴和纵轴作垂线的方式确定好各点的位置，再顺次连接所描各点即可得到所求折线，
所以对比四位同学所画折线统计图可知，符合画折线统计图的规范的，比较理想的是C.
故选C.
点睛：本题考查是绘制折线统计图，解题的关键是理解画折线统计图的步骤和注意事项.
5. 若 a、b 是一元二次方程 x2+3x -6＝0 的两个没有相等的根，则 a2﹣3b 的值是（ ）
A. -3 B. 3 C. ﹣15 D. 15
【正确答案】D

【分析】根据根与系数的关系可得a+b=﹣3，根据一元二次方程的解的定义可得a2=﹣3a+6，然后代入变形、求值即可．
【详解】∵a、b是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个没有相等的根，∴a+b=﹣3，a2+3a﹣6=0，即a2=﹣3a+6，则a2﹣3b=﹣3a+6﹣3b=﹣3（a+b）+6=﹣3×（﹣3）+6=9+6=15．
故选D．
本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相进行解题．
6. 已知函数y＝（k﹣2）x+k没有第三象限，则k的取值范围是（　　）
A. k≠2 B. k＞2 C. 0＜k＜2 D. 0≤k＜2
【正确答案】D

【详解】直线没有第三象限，则第二、四象限或、二、四象限，当第二、四象限时，函数为正比例函数，k=0
当、二、四象限时， ,解得0 综上所述，0≤k<2．故选D
7. 已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（ ）
A. 5条 B. 6条 C. 8条 D. 10条
【正确答案】C

【详解】解：如图，AB是直径，OA=10，OP=6，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．由垂径定
理知，点P是CD的中点，由勾股定理求得，PC=8，CD=16，则CD是过点P最短的弦，长为16；AB
是过P最长的弦，长为20．所以过点P的弦的弦长可以是17，18，19各两条．总共有8条长度为整数
的弦．故选C．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. （x3）2=x5 B. （﹣2x）2÷x=4x
C. （x+y）2=x2+y2 D. =1
【正确答案】B

【分析】按照幂的相关运算法则、乘法公式和分式的相关运算法则进行计算，再判断即可得到答案．
【详解】A．因为，所以该选项计算错误；
B．因为，所以该选项计算正确；
C．因为，所以该选项计算错误；
D．因，所以该选项计算错误．
故选：B．
本题是一道考查整式和分式相关运算的题目，正确理解相关运算的运算法则是正确解答本题的关键．
9. 如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE， ③tan∠OCD = ，④ 中，正确的有【 】

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．
∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3．
在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）．
∴∠CFD=∠BEC．∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°．
∴∠DOC=90°．故①正确．
如图，连接DE

若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE．
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误．
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC．
∴tan∠OCD=tan∠DFC=．故③正确．
∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD．
∴S△EBC－S△FOC=S△FCD－S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故④正确．故选C．
10. 如图所示，向一个半径为、容积为的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A

详解】试题分析：观察可得，只有选项B符合实际，
故答案选A.
考点:函数图象.
　
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 要使分式和都有意义，则x的取值范围是 _____．
【正确答案】x=﹣4或x＞4．

【详解】x应满足①x2+2x≥0；
②|x|﹣4≥0；
③x2﹣2x≥0；
④x+4≥0；
⑤；
⑥x2﹣x﹣2≥0；
⑦x2+x﹣2≥0；
⑧≠2，
依次解得：①x≤﹣2或x≥0；
②x≤﹣4或x≥4；
③x≤0或x≥2；
④x≥﹣4；
⑤x≠4，x≠﹣1；
⑥x≤﹣1或x≥2；
⑦x≤﹣2或x≥1；
⑧x≠﹣3，x≠2，
∴综合可得x=﹣4或x＞4．
故答案为x=﹣4或x＞4．
点睛：本题考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母没有等于0，二次根式有意义的条件是被开方式大于且等于0.
12. 如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC的角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，则∠F的度数是__．

【正确答案】11°．

【详解】分析：本题考查的是平行线的内错角相等，角平分线的性质和三角形外角的性质.
解析：∵AB//CD，∠DCE=118°，∴∠AEC=118°, ∵∠AEC的角平分线EF与GF相交线于点F, ∴∠AEF=∠FEC=59°, ∵∠BGF=132°, ∴∠F=11°.
故答案为11°.
13. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆成这样的图形，至少需用_____块小正方体．

【正确答案】5

【详解】由题图可得：第二层有2个小正方体，层至少有4个小正方体，故至少需用6个小正方体．
14. [x]表示没有超过x的整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，若y=x﹣[x]，下列命题：①当x=﹣0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y随着x增大而一直增大．其中正确命题有_____（只填写正确命题的序号）．
【正确答案】①．

【分析】由[x]表示没有超过x的整数可知取值代入检验即可判断出几个命题的正误.
【详解】①∵[x]表示没有超过x的整数，
∴在y=x﹣[x]中，当x=-0.5时，y=-0.5-(-1)=0.5，
∴命题①成立；
②∵[x]表示没有超过x的整数，
∴，
∴在y=x﹣[x]中，y ∴在y=x﹣[x]中，y的取值范围是：，
∴命题②错误；
③∵在y=x﹣[x]中，当x=-3时，y=-3-(-3)=0；当x=4时，y=4-4=0；
而此时-3<4，但0=0，
∴命题③错误.
综上所述，正确的命题是：①.
故答案为①.
本题是一道考查“新运算”的题目，解题的关键是：（1）读懂题中对新运算的定义；（2）对于第3个命题采用取值法进行验证说明比较简单.
15. 已知△ABC与△ABD没有全等，且AC＝AD＝1，∠ABD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则CD＝_____．
【正确答案】1或．

【分析】根据题意分两种情形分别求解即可．
【详解】解：如图，

当CD在AB同侧时，∵AC＝AD＝1，∠C＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AC＝1，
当C、D在AB两侧时，∵△ABC与△ABD没有全等，
∴△ABD′是由△ABD沿AB翻折得到，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠AD′B＝ADB＝120°，
∵∠C+∠AD′B＝180°，
∴∠CAD′+∠CBD′＝180°，
∵∠CBD′＝90°，
∴∠CAD′＝90°，
∴CD′＝．
当D″在BD′的延长线上时，AD″＝AC，也满足条件，此时CD″＝BC＝ ，此时△ABD≌△ABC，没有符合题意，
故答案为1或．
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填 空 题中的压轴题．.
16. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个没有规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在没有远处向圈内掷石子，且记录如下：
依此估计此封闭图形ABC的面积是_____m2．
【正确答案】3π．

【详解】分析：
由表中记录的数据通过计算可知，随着投掷石子次数的增加，石子落在阴影内的次数与落在⊙O内(包括⊙O上)的次数之比逐渐稳定在2：1左右，由此说明S阴影=2S⊙O这样已知即可求出整个图形的面积了.
详解：
由表中数据可得：当投掷石子50次时，；当投掷石子150次时，；当投掷石子300次时，；
∴石子落在阴影部分的概率大约是落在⊙O内(包括和⊙O上)的概率的2倍，
∴S阴影=2S⊙O，
又∵S⊙O=,
∴S阴影=，
∴此封闭图形ABC的面积是：m2.
故答案为.
点睛：读懂题意，明白“石子落在阴影部分和圆内（包括圆上）部分的概率之比等于两部分图形的面积之比”是正确解答此题的关键.
三．解 答 题（共9小题，满分72分）
17. （1）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+6tan30°；
（2）先化简，再求值：（）÷，其中x=﹣1．
【正确答案】（1）10+；（2）2x+8，6

【详解】试题分析：(1)先计算－2、0次方、去值符号和将tan30°＝代入计算，再加减；
（2）先化简，再将x=-1代入计算即可；
试题解析：
（1）原式＝9－1＋2－＋6×
＝10－＋2
＝10＋.
(2)解：原式＝[]·
＝
＝
＝2x＋8，
当x＝－1时，原式＝2×(－1)＋8＝6.
18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，
（1）若∠BDO=∠CEO，求证：BE=CD．
（2）若点E为AC中点，问点D满足什么条件时候，．

【正确答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【详解】分析：
（1）由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，∠BDO=∠CEO和BC=CB可得△DBC≌△ECB，由此可得BE=CD；
（2）由E为AC中点可知，若此时D为AB的中点，则由三角形中位线定理可得DE∥BC，DE=BC，从而可得△DEO∽△BCO，由此即可得到.
详解：
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBC与△ECB中， ，
∴△DBC≌△ECB，
∴BE=CD；
（2）当点D为AB的中点时，，理由如下：
∵点E为AC中点，点D为AB的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△DEO∽△BCO，
∴.
点睛：本题是一道考查三角形全等和相似三角形判定和性质的几何题，解题的关键有两点：（1）熟悉等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法；（2）熟悉三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质.
19. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
　　
　　
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
　　
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率．

【正确答案】（1）的总数是：50（户），6≤x＜7部分的户数是： 6（户），4≤x＜5的户数是：15（户），所占的百分比是：30%．（2）279（户）；（3）.

【分析】(1)根据组的频数是2,百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解：
(2)利用总户数450乘以对应的百分比求解;
(3) 在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解.
【详解】解：（1）的总数是：2÷4%=50（户），
则6≤x＜7部分的户数是：50×12%=6（户），
则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：×=30%．
    
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
15
30%
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
6
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%

（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．
   
则抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率是：=．
本题主要考查统计表和条形统计图,树状图求概率,较为容易，需注意频数、频率和总数之间的关系.
20. 某种水果的价格如表：
购买的质量（千克）
没有超过10千克
超过10千克
每千克价格
6元
5元
张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于次），共付款132元．问张欣次、第二次分别购买了多少千克这种水果？
【正确答案】张欣次、第二次购买这种水果的质量分别为7千克、18千克．

【详解】分析：
由题意设张欣次和第二次购买这种水果的量分别位x千克和y千克，由题意可知x<12.5 详解：
设张欣次、第二次购买了这种水果的量分别为x千克、y千克，因为第二次购买多于次，则x＜12.5＜y．
①当x≤10时， ，
解得 ；
②当10＜x＜12.5时：，此方程组无解．
综上所述，张欣次、第二次购买了这种水果的量分别为7千克和18千克.
答：张欣次、第二次购买了这种水果的量分别为7千克、18千克．
点睛：本题的解题的关键是抓住题目中“两次共购买水果25千克，且第二次的购买量多于次”分别设两次购买水果的数量为x和y，从而得到x＜12.5＜y，再分x≤10和10＜x＜12.5两种情况解答即可.
21. 已知关于的没有等式的解是，求m的值.
【正确答案】m无值．

【分析】把原没有等式化简整理可得：（12m﹣2）x≥4m+3，题中所给原没有等式的解集为：，可得①及②，由①可得，由②可得，综合即可得到满足题中条件的m的值没有存在.
【详解】原没有等式可化为：4m+2x≤12mx﹣3，
即（12m﹣2）x≥4m+3，
又∵原没有等式的解为，
∴有①、②，
∵由①解得，由②解得，
∴满足条件的m的取值没有存在，即本题无解.
本题解题的关键是由“原没有等式化简所得式子（12m﹣2）x≥4m+3原没有等式的解集为”得到m需同时满足两个条件：①可得；②可得，特别要注意没有要将第1个条件忽略了.
22. 随着人们经济收入的没有断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

【正确答案】坡道口的限高DF的长是3.8m．

【详解】试题分析：首先根据AC∥ME，可得∠CAB=∠AE28°，再根据三角函数计算出BC的长，进而得到BD的长，进而求出DF即可．
试题解析：∵AC∥ME，
∴∠CAB=∠AEM，
在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，
∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），
∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），
在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，
∴∠BDF=∠CAB=28°，
∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），
答：坡道口的限高DF的长是3.8m．
23. 如图，象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）sin∠ABC的值．

【正确答案】（1）y=；（2）点C的坐标为（0，1）；（3）sin∠ABC=．

【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把点A的坐标代入所设解析式中求得k的值，即可求得所求解析式；
（2）如图，过点A作AF⊥x轴于点E，交BC于点F，则由题意易得CF=2，tan∠ACB=可解得AF=3，从而可得EF=AE-AF=1，由此即可得点C的坐标为（0，1）；
（3）由（1）（2）可求得点B的坐标，从而可得BC的长，进而可得BF的长，AF的长即可在Rt△ABF中解得AB的长，由此AF的长即可求得sin∠ABC的值了.
【详解】解：（1）设反比例函数解析式为，
将点A（2，4）代入，得：k=8，
∴反比例函数的解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，

又∵tan∠ACB=，
∴AF=3，
∴EF=AE-AF=4-3=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
（3）∵点C的坐标为（0，1），BC∥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
∵ 当y=1时，在由1=可得x=8，
∴点B的坐标为（8，1），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB=，
∴sin∠ABC=．
本题是一道反比例函数与几何图形和锐角三角函数相的题目，解题的关键是作出如图所示的辅助线，这样构造出两个直角三角形，已知条件和正切函数及正弦函数的意义即可求出所求量了.
24. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB=　 　°，理由是：　 　；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．

【正确答案】（1）90°；直径所对的圆周角是直角；（2）证明见解析；（3）

【详解】试题分析：（1）根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论；
（2）根据∠ABC平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE是⊙O的切线得到∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等腰三角形．
（3）证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到（3x+6）2+（4x）2=82解得x后即可求得BD的长．
试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
（2）△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．
（3）解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴，
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2
即：（3x+6）2+（4x）2=82，
解得：x=﹣2（舍去）或x=
∴BD=5x=.
点睛：本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上.
25. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．


















2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（三模）
一、选一选(每小题4分，满分40分)
1. －|－2018|等于(　　)
A. 2018 B. ﹣2018 C. 1 D. 0
2. 某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（　　）
A. m B. m C. m D. m
3. 下列计算正确是(　　)
A. (2a－1)2=4a2－1 B. 3a6÷3a3＝a2
C. (－ab2) 4＝－a4b6 D. －2a＋(2a－1)＝－1
4. 从棱长为2a正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（    ）

A. B. C. D.
5. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）

A. 30° B. 25°
C. 20° D. 15°
6. 下列命题中，真命题是(　　)
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
C. 等边三角形既是轴对称图形又是对称图形
D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
7. 某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
成绩（分）

35

39

42

44

45

48

50

人数（人）

2

5

6

6

8

7

6


根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A. 该班一共有40名同学
B. 该班学生这次考试成绩的众数是45分
C. 该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D. 该班学生这次考试成绩的平均数是45分
8. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°， 则∠D=【 】

A. 250 B. 350 C. 550 D. 700
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a－b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是( )

A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①④
10. 我们知道，一元二次方程x2=－1没有实数根，即没有存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i2=－1(即方程x2=－1有一个根为i)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=－1，i3=i2·i=(－1)(－1)·i=－i，i4=(i2)2=(－1)2=1，从而对任意正整数n，则i6=(　　)
A. －1 B. 1 C. i D. －i
二、填 空 题(每小题4分，满分32分)
11. 分解因式：=______．
12. 已知x=1是关于x的方程x2+x+2k=0的一个根，则它的另一个根是______ ．
13. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是__________．
14. 没有等式6x﹣4＜3x+5整数解是 _________．
15. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则值为_________．

16. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．

17. 现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处没有重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为_____．


18. 如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，没有在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是_____．

三、解 答 题(本大题共8小题，满分78分)
19. 计算：．
20. 先化简：，然后从－2，－1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．
21. 近几年永州市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会．某校随机了九年级a名学生升学意向，并根据结果绘制如图的两幅没有完整的统计图．

请你根据图中信息解答下列问题：
（1）a= ；
（2）扇形统计图中，“职高”对应的扇形的圆心角α= ；
（3）请补全条形统计图；
(4)若该校九年级有学生900名，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高．
22. 如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F．

（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若BP=6，求PF的长．
23. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）


甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货？
24. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝2CD•OE；
（3）若，求OE的长．

25. 如图，Rt△ABO两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(﹣3，0)、(0，4)，抛物线y=x2+bx+c点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取值时，点M的坐标．

26. 请阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△G，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．

请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙没有重叠)，则这个新正方形的边长为_________；
（2）求正方形MNPQ的面积；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的长．


















2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（三模）
一、选一选(每小题4分，满分40分)
1. －|－2018|等于(　　)
A. 2018 B. ﹣2018 C. 1 D. 0
【正确答案】B

【详解】分析：根据值的性质解答即可.
详解：
∵负数的值等于其相反数，－2018的相反数为2018，
∴－|－2018|=－2018.
故选B.
点睛：本题主要考查了值的性质，熟知正数的值等于其本身，负数的值等于其相反数，0的值等于0是解题的关键.
2. 某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（　　）
A. m B. m C. m D. m
【正确答案】A

【详解】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定
0.000 000 94=9.4×10-7．
故选A．
3. 下列计算正确的是(　　)
A. (2a－1)2=4a2－1 B. 3a6÷3a3＝a2
C. (－ab2) 4＝－a4b6 D. －2a＋(2a－1)＝－1
【正确答案】D

【详解】A. ； B. 3a6÷3a3＝
C. (－ab2) 4＝ D. 正确.故选D.
4. 从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（    ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故答案选B.
考点：几何体的三视图.
5. 如图，把一块含有45°角直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）

A. 30° B. 25°
C. 20° D. 15°
【正确答案】B

【详解】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，
∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
故选：B．

6. 下列命题中，真命题是(　　)
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
C. 等边三角形既是轴对称图形又是对称图形
D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【正确答案】D

【详解】A. 两条对角线相等的平行四边形四边形是矩形；B. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形；C. 等边三角形是轴对称图形；D正确.故选D.
7. 某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
成绩（分）

35

39

42

44

45

48

50

人数（人）

2

5

6

6

8

7

6


根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A. 该班一共有40名同学
B. 该班学生这次考试成绩的众数是45分
C. 该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D. 该班学生这次考试成绩的平均数是45分
【正确答案】D

【详解】试题解析：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，
得45分的人数至多，众数为45，
第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=45，
平均数为： =44.425．
故错误的为D．
故选D．

8. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°， 则∠D=【 】

A. 250 B. 350 C. 550 D. 700
【正确答案】B

【详解】∵∠AOC=110°，∠BOC与∠AOC邻补角，
∴∠BOC=70°．故选B．
又∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得．故选B．
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a－b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是( )

A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①④
【正确答案】D

【详解】试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①当x=1时，图象y=a+b+c＜0，故此选项正确；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；
③由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴为1＞x=﹣＞0，
∴2a＞﹣b，
即2a+b＞0，
故本选项错误；
④对称轴为x=﹣＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故本选项正确；
∴正确结论的序号为①④．
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
10. 我们知道，一元二次方程x2=－1没有实数根，即没有存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i2=－1(即方程x2=－1有一个根为i)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=－1，i3=i2·i=(－1)(－1)·i=－i，i4=(i2)2=(－1)2=1，从而对任意正整数n，则i6=(　　)
A. －1 B. 1 C. i D. －i
【正确答案】A

【详解】解： .
故选A.
二、填 空 题(每小题4分，满分32分)
11. 分解因式：=______．
【正确答案】x（x+2）（x﹣2）．

【详解】解：==x（x+2）（x﹣2）．
故答案为x（x+2）（x﹣2）．
12. 已知x=1是关于x的方程x2+x+2k=0的一个根，则它的另一个根是______ ．
【正确答案】-2

【详解】试题分析：对于一元二次方程a+bx+c=0的两根和，则+=－，根据题意可得：1+=－1，则=－2，即方程的另一个根为－2.
考点：韦达定理
13. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是__________．
【正确答案】

【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可．
【详解】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是，
故．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机A的概率P（A）＝A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14. 没有等式6x﹣4＜3x+5的整数解是 _________．
【正确答案】

【详解】解没有等式得： 则的整数解为 .
15. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为_________．

【正确答案】

【详解】 DE∥BC

即
16. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．

【正确答案】2

【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，

∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
17. 现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处没有重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为_____．


【正确答案】18°

【详解】试题分析：根据圆锥的展开图的圆心角计算法则可得：扇形的圆心角=×360°=90°，则θ=108°－90°=18°.
考点：圆锥的展开图
18. 如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，没有在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是_____．

【正确答案】

【详解】试题分析：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，
故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是，
P6的纵坐标为，
故答案为．
考点：1、等边三角形性质的应用；2、规律题
三、解 答 题(本大题共8小题，满分78分)
19. 计算：．
【正确答案】2．

【详解】试题分析：直接利用角的三角函数值以及值、零指数幂的性质分析得出答案．
试题解析：原式=1+﹣1+2﹣=2
20. 先化简：，然后从－2，－1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．
【正确答案】， 时，原式=－2．

【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里面的通分，再把除法转化为乘法约分化简，选取使分式有意义的x的值代入进行计算即可.
【详解】原式



∵x=﹣2，0，1，2时分母0，无意义，
∴x只能取﹣1，
当x=﹣1时，原式=﹣1﹣1=﹣2．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握计算法则是解题关键.同时要注意取的数要使分式有意义.
21. 近几年永州市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会．某校随机了九年级a名学生升学意向，并根据结果绘制如图的两幅没有完整的统计图．

请你根据图中信息解答下列问题：
（1）a= ；
（2）扇形统计图中，“职高”对应的扇形的圆心角α= ；
（3）请补全条形统计图；
(4)若该校九年级有学生900名，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高．
【正确答案】（1）40； （2）108°； （3）补图见解析；(4)该校共有270名毕业生的升学意向是职高．

【详解】解：（1）40．（2）108°．
（3）∵普高：60%×40=24（人），职高：30%×40=12（人），∴补全条形统计图如图：

（4）∵900×30%=270（名），
∴该校共有270名毕业生的升学意向是职高．
（1）用其他的人数除以所占的百分比，即为九年级学生的人数a：4÷10%=40（人）．
（2）职职高所占的百分比为1-60%-10%，再乘以360°即可：
（1－60%－10%）×360°=30%×360°=108°．
（3）根据普高和职高所占的百分比，求得学生数，补全图即可．
（4）用职高所占的百分比乘以900即可．
22. 如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F．

（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若BP=6，求PF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2） PF=3．

【详解】证明(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，
∠BAD=∠ACE=60°，
在△ABD和△CAE中，
AB=CA，
∠BAD=∠ACE，
AD=CE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)．
(2) ∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°
∴∠BPF=∠APD=60°
在Rt△BFP中，∠PBF=30°，
∴BP=2PF，
∵BP=6，
∴PF=3．
23. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）


甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货？
【正确答案】（1）甲种商品购进100件，乙种商品购进60件；（2）有两种购货，一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件

【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100；
（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量<4300；甲总利润+乙总利润>1260．
【详解】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得： ．
解得：．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．
根据题意得 ．
解没有等式组，得65＜a＜68．
∵a为非负整数，∴a取66，67．
∴160﹣a相应取94，93．
∴有两种购货∶
一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
本题考查的一元没有等式组和二元方程组，熟练掌握两者的应用是解题的关键．
24. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝2CD•OE；
（3）若，求OE的长．

【正确答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =．

【分析】（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；
（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
【详解】解：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：
连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC2=AC•CD．
∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，
∴sin∠BAC=，
又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，
∴AC=．
又∵AC=2OE，
∴OE=AC=．
本题考查切线的判定；相似三角形的判定与性质及三角函数.
25. 如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(﹣3，0)、(0，4)，抛物线y=x2+bx+c点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取值时，点M的坐标．

【正确答案】（1）所求函数关系式为：y=；（2）点C和点D在所求抛物线上； （3） l =，l=时，点M的坐标为．

【分析】（1）设二次函数顶点式，把B点坐标代入可算出二次函数解析式.
(2)利用菱形的性质，可以得到，C，D坐标.
(3)利用待定系数求出CD的解析式，设出M,N,坐标，纵坐标作差，就可以得到l与t的函数关系，它们的关系是二次函数，配方，可得值，从而求解.
【详解】解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为，
∴,
∴
∴所求函数关系式为：；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4， 
∴=5
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，

当x=2时，

∴点C和点D在所求抛物线上；
（3）设直线CD对应的函数关系式为，
则
解得： ，
∴
∵MN//y轴，M点的横坐标为t， 
∴N点的横坐标也为t，
则 , 
∴
∵ , ∴当t=时，，此时点M的坐标为（,）.
（1）求二次函数的解析式，利用待定系数法，列方程组求解.通常需要判断利用二次函数的一般式或者二次函数的顶点式,如果题中有“顶点”，“最值”，“对称轴”就常用顶点式，可以带来方便，其它则利用一般式.
(2)求函数的解析式，通常利用待定系数法，列方程组求解.
(3) 二次函数与图象综合题没有仅要熟练各种四边形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，还需要掌握解析法：设出图像中每个点的坐标（没有能写出来的，可以用字母表示），建立二次函数关系，利用配方求二次函数最值即可，其中要注意函数定义域问题.
26. 请阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△G，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．

请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙没有重叠)，则这个新正方形的边长为_________；
（2）求正方形MNPQ的面积；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的长．
【正确答案】（1）a （2）S正方形MNPQ =2
（3）AD的长为

【分析】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；
（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
【小问1详解】
解：四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
每个等腰直角三角形的面积为：a×a=a2，
则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，
故这个新正方形的边长为：a．
【小问2详解】
解：∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△F=4S△ARE=4××12=2，
答：正方形MNPQ的面积为2．
【小问3详解】
解：如图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．没有妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，

在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a，
∴S△RSF=a×a=a2．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，
∴S△ADS=SD•AN=×x×x=x2．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，等于△ABC的面积，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴=3×x2，得x2=，
解得x=或x=-（没有合题意，舍去）
∴x=，
答：AD的长为．
本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、解直角三角形多个知识点，通过本题我们可以体会到运用等积变换的数学思想，没有仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．