广东省湛江市2023届高三数学一模试卷【含答案】

 高三数学一模试卷

一、单选题

1．已知为虚数单位，若，则实数（　　）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

2．已知R为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A． B．

C． D．

3．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（　　）

A．16 B．24 C．166 D．180

4．在平行四边形中，为边的中点，记，，则（　　）

A． B． C． D．

5．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（　　）

A． B．

C． D．

6．已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（　　）

A．1 B．4 C．8 D．16

7．已知，则（　　）

A． B． C． D．

8．已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（　　）

A．13 B．16 C．25 D．51

二、多选题

9．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：

由表中数据制作成如下所示的散点图：

由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（　　）

A． B． C． D．

10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（　　）

A．平面

B．与所成的角为30°

C．平面

D．平面截正方体的截面面积为

11．已知，函数，下列选项正确的有（　　）

A．若的最小正周期，则

B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象

C．若在区间上单调递增，则的取值范围是

D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是

12．已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有（　　）

A．

B．

C．

D．若，且，则双曲线C的离心率

三、填空题

13．已知为等差数列的前项和，若，则　     　．

14．　     　．

15．若函数存在两个极值点，且，则　     　．

16．已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则　          　；除以17的余数是　     　．

四、解答题

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若△ABC的面积为，，求a．

18．已知，为数列的前n项和，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设数列的前n项和为，证明：．

19．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为平行四边形，且，，．

（1）证明：点在平面的正投影在直线上；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

20．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：

参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）

（1）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．

（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：

利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．

（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．

，，，．

21．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

22．已知函数．

（1）证明：函数只有一个零点；

（2）在区间上函数恒成立，求a的取值范围．

1．A

2．C

3．B

4．D

5．C

6．B

7．A

8．C

9．A,C

10．A,B,D

11．A,C,D

12．A,B

13．-16

14．

15．

16．；0

17．（1）解：，

所以，故．

由正弦定理得，又，

所以，

故，

，，所以，即，，故．

（2）解：，所以．

由余弦定理可得，

所以

18．（1）证明：，，．

由，得，

，

所以，故，

所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．

（2）解：，

故，

所以

．

19．（1）证明：

证明：如图，过点在平面内作垂直于，交的延长线于点，连接．

因为，，

所以．

又，平面，且，

所以平面．

又平面，

所以，即．

因为，，

所以

又因为，

所以，故．

因为为等边三角形，所以．

又，

所以．

又，

所以．

又平面，且，

所以平面，

所以点为点在平面的正投影，

又点在直线上，

所以点在平面的正投影在直线上．

（2）解：由（1）得两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意可得．

又，

所以，，，，

所以，，．

设为平面的法向量，

所以 ，即，

令，可得．

设为平面的法向量，

所以，即，

令，可得，

所以，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

20．（1）解：（i）由（1）可知，，

所以，，

显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．

（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，

所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，

故，所以，

X的数学期望．

21．（1）解：由题意，椭圆的离心率为，可得，

又由椭圆的定义，可知，所以，所以，

又因为，所以，

所以椭圆E的标准方程为．

（2）解：设，直线的方程为，

由，整理得，

则有，，

故，

又由直线的方程为，设，，

联立方程组，整理得，

则有，，

则，

所以四边形的面积：

，

因为，

当且仅当时，等号成立，

所以，

综上，四边形ACBD面积的最小值为．

22．（1）证明：由可得，

当时，，，所以，

故，故在区间上无零点．

当时，，而，，且等号不会同时取到，

所以，

所以当时，函数单调递增，所以，

故函数在区间上有唯一零点0，

综上，函数在定义域上有唯一零点.

（2）解：由在区间上恒成立，得，

即在区间上恒成立．

设，则在区间上恒成立，

而，

，则．

设，则，当时，，

所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，

即在区间上，

设函数，则，

所以函数在区间上单调递增，

故在区间上，即在区间上，，

所以在区间上，，即，

所以在区间上函数单调递增．

当时，，故在区间上函数，

所以函数在区间上单调递增．

又，故，即函数在区间上恒成立．

当时，，

，

故在区间上函数存在零点，即，

又在区间上函数单调递增，

故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减，

又，所以在区间上函数，与题设矛盾．

综上，a的取值范围为.