2023-2024学年广东省湛江市高三上学期摸底联考数学含答案

这是一份2023-2024学年广东省湛江市高三上学期摸底联考数学含答案，共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，若随机变量的密度函数为，则，已知椭圆的两个焦点分别为等内容，欢迎下载使用。
  2024届新高三摸底联考数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，若，则（    ）A．    B．    C．    D．2．若，则的虚部与实部之比为（    ）A．    B．1    C．    D．3．已知平面单位向量满足，则（    ）A．    B．    C．    D．4．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）A．    B．或1    C．1    D．25．设为公比为的等比数列的前项和，且，则（    ）A．    B．2    C．或    D．或2下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为（    ）A．    B．    C．    D．7．已知RL串联电路短接时，电流随时间的变化关系式为，电路的时间常数，当由减小到时，相应的时间间隔称为半衰期．若某RL串联电路电流从减少到的时间间隔为，则该电路的时间常数约为（    ）（参考数据：A．    B．    C．    D．8．已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，满足，则（    ）A．    B．1    C．    D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则（    ）A．新样本数据的样本平均数小于原样本数据的样本平均数B．新样本数据的标准差不大于原样本数据的标准差C．新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D．新样本数据的上四分位数不小于原样本数据的上四分位数10．若随机变量的密度函数为，则（    ）A．的密度曲线与轴只有一个交点B．的密度曲线关于对称C．D．若，则11．已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（    ）A．B．直线为曲线的一条对称轴C．若在单调递增，则D．曲线与直线有5个交点12．已知正方体的各顶点均在表面积为的球面上，为该球面上一动点，则（    ）A．存在无数个点，使得平面B．当平面平面时，点的轨迹长度为C．当平面时，点的轨迹长度为D．存在无数个点，使得平面平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，若，则______________．14．某学校准备举办一场运动会，其中运动会开幕式安排了3个歌舞类和3个语言类节目，所有节目依次出场，则恰有两个语言类节目相邻的概率为______________．15．设函数在单调递增，则的取值范围为______________．16．已知椭圆的两个焦点分别为．若为上关于坐标原点对称的两点，且的面积，则的离心率的取值范围为______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）记的内角的对边分别为的面积．（1）求；（2）若，求边上的中线的长度．18．（本小题满分12分）已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求；（2）证明：只有一个极值点．19．（本小题满分12分）已知数列的前项和满足．（1）证明：为等差数列；（2）若，证明：．20．（本小题满分12分）如图，在矩形中，是线段上的一点．将沿翻折到位置，且点不在平面内．（1）若平面平面，证明：；（2）设为的中点，当平面平面时，求此时二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知有甲，乙两个不透明盒子，甲盒子装有两个红球和一个绿球，乙盒子装有三个绿球，这些球的大小，形状，质地完全相同．在一次球交换的过程中，甲盒子与乙盒子中各随机选择一个球进行交换，重复次该过程，记甲盒中装有的红球个数为．（1）求的概率分布列；（2）求．22．（本小题满分12分）已知三个顶点均在抛物线上，为直角顶点，且．（1）记点，直线的斜率，试求面积的解析式；（2）当时，求函数的最小值．2024届新高三摸底联芳数学参考答案及解析一、选择题1．C  【解析】由题意可知，故．故选C．2．B  【解析】设，故，即．故选B．3．D  【解析】由可知，两边同时平方得，所以．故选D．4．C  【解析】易知关于轴的对称点为，由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过且与该圆相切，又在该圆上，故反射光线的斜率为．故选C．5．D  【解析】由题意得：，因为，所以，所以，解得或．故选D．6．B  【解析】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为；圆台的下底面面积为；圆台的母线长为，所以圆台的侧面面积为，则该组合体的表面积为．故选B．7．C  【解析】设半衰期为，依题意，两边取对数得，由得，即，所以，解得．故选C．8．A  【解析】设的焦距为，点，由的离心率为2可知，因为，所以，将代入的方程得，即，不妨取，所以，故．当时，．故选A．二、选择题9．BC  【解析】首先，设原样本数据的样本平均数为，故新样本数据的样本平均数为，其中与大小无法判断，故A错；设原样本数据的标准差为，故新样本数据的标准差为，故B对；新样本数据的极差为，故C对；设原样本数据的上四分位数为，故新样本数据的上四分位数为，其中与大小无法判断，故D错．故选BC．10．ACD  【解析】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确；的密度曲线关于直线对称，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选ACD．11．ABD  【解析】由题意，故，又的图象向左平移个单位得到，所以，且，故，A对；因为，且为极小值，所以直线为曲线的一条对称轴，B对；易知在单调递增，故，C错；直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，当时，，当时，，由对称性可知曲线与直线有5个交点，故D对．故选ABD．12．ACD  【解析】因为该球的表面积为，故半径，且正方体的棱长满足，故棱长为2．由题意可知平面平面，且平面，故平面，则的轨迹为正方形的外接圆，故有无数个点满足，A对；易知平面，且平面平面，且平面，故的轨迹为矩形的外接圆，其周长为，故B错误；因为平面，设过且与平面平行的平面为，则的轨迹为与外接球的交线，其半径为，周长为，故C正确；若平面平面，则点在以为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点满足，故D正确．故选ACD．三、填空题13．  【解析】因为，且，所以，故舍，故．故答案为．14．  【解析】节目出场顺序总数为，两个语言类节目相邻：，所以恰有两个语言类节目相邻的概率为．故答案为．15．  【解析】已知二次函数的对称轴为，由题意可知，即．故答案为．16．  【解析】不妨设的离心率为，焦距为分别位于第一、三象限，连接，，并结合图形对称性，可知四边形为对角线长度相等的平行四边形，即矩形，因此为直角，所以，且的面积与的面积相等，若椭圆上存在点使得为直角，则上顶点处应满足，也即，解得，又，所以，则的面积为，因此，即．所以的取值范围为．故答案为．四、解答题17．解：（1）由题意，所以，因为，所以．（2）由余弦定理：，又，所以，因为为边的中点，所以，所以，．18．解：（1）的定义域为，因为，所以；所以，将代入，故，则．（2），设，则，令，故或，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，又，故存在使得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以只有一个极值点．19．解：（1）因为，所以，作差得①，同理②，②-①得，所以为等差数列．（2）令，则，解得，设的公差为，故，所以，故，，所以．20．解：（1）因为平面平面，且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以．（2）设的中点为，连接，则，过作直线垂直于平面，如图所示，以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，易知，，设二面角为，则，则，，，设平面的法向量为，则，令，解得，即，设平面的法向量，则，令，解得，即，因为平面平面，所以，解得，则二面角的余弦值为．21．解：（1）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，且，，或，，所以的分布列为012（2）的所有可能取值为0，1，2，且,又，又，且，即，故，即，即为等比数列，且，所以．22．解：（1）由题意可得为斜边，为直角顶点，设，联立则，，同理，则，则（2），是奇函数，则求的最小值等价于求的最小值．，当且仅当时取等号．