2021届广东省湛江市数学高三一模试卷及答案

这是一份2021届广东省湛江市数学高三一模试卷及答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三一模试卷
一、单项选择题
1. ，那么下面选项中一定成立的是〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
2.中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如下列图，那么该集训队考试成绩的众数与中位数分别为〔    〕

A. 85，75                               B. 85，76                               C. 74，76                               D. 75，77
3.圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，那么该圆锥的侧面积是〔    〕
A. 64π                                     B. 48π                                     C. 32π                                     D. 16π
4.将函数f(x)=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的 (ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，假设函数g(x)的最小正周期为6π，那么〔    〕
A. ω=                                    B. ω=6                                   C. ω=                                    D. ω=3
5.等比数列{an}的前n项和为Sn ， 那么“Sn+1>Sn〞是“{an}单调递增〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
6.抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，那么p=〔    〕
A. 4                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 10
， b=log25，c=log32，那么〔    〕
A. b>a>c                               B. c>b>a                               C. b>c>a                               D. a>b>c
8.椭圆 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1的直线交椭圆C于A，B两点，假设 =0，且｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，那么C的离心率为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
二、多项选择题
9.假设复数 ，那么〔    〕
A. |z|=2                     B. |z|=4                     C. z的共轭复数 = +i                     D. 
10.(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.〔    〕
A. 展开式中所有项的二项式系数和为22021             B. 展开式中所有奇次项系数和为
C. 展开式中所有偶次项系数和为                 D. 
11.函数f(x)=x3-3lnx-1，那么〔    〕
A. f(x)的极大值为0                                                 B. 曲线y=f(x)在〔1，f(1))处的切线为x轴
C. f(x)的最小值为0                                                 D. f(x)在定义域内单调
12.在梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2CB，将 沿BD折起，使C到C'的位置〔C与C'不重合〕，E，F分别为线段AB，AC'的中点，H在直线DC'上，那么在翻折的过程中〔    〕
A. DC'与平面ABD所成角的最大值为      B. F在以E为圆心的一个定圆上
C. 假设BH丄平面ADC'，那么        D. 当AD丄平面BDC'时，四面体C'-ABD的体积取得最大值
三、填空题
13.一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于 的直线方程为________.
14.假设某商品的广告费支出x(单位：万元〕与销售额y(单位：万元〕之间有如下对应数据：

2
4
5
6
8

20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 = x+1.5，据此预测，当投人10万元时，销售额的估计值为________万元.
15.y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，当 时，f(x)=2x ， 那么f(2021)=________.
16.假设向量 满足 ，那么 的夹角为________， ________．
四、解答题
17.如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD， ∠BAD= ，2AB=BD=4.

〔1〕求cos∠ADB；
〔2〕假设BC= ，求CD.
18.数列{an}满足 ，a2-a1=1.
〔1〕证明：数列 是等比数列；
〔2〕假设a1= ，求数列{an}的通项公式.
19.如图，平面ABCD⊥平面ABE，AD//BC，BC⊥AB，AB=BC=2AE=2，F为CE上一点，且BF⊥平面ACE.

〔1〕证明：AE⊥平面BCE；
〔2〕假设平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60°，求AD.
20.某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
活开工程
篮球
国画
排球
声乐
书法
要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.
〔1〕求甲选排球且乙未选排球的概率；
〔2〕用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望．
21.双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.
〔1〕求C的标准方程；
〔2〕假设O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.
22.函数f(x)=ex ， g(x)=2ax+1.
〔1〕假设f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；
〔2〕假设a>0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1 ， x2 ， 证明：
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】对于A选项，由 得 ，不妨设 ，那么 ，故不满足，A选项错误；
对于B选项，由 得 ，显然 ，满足，B选项正确；
对于C选项，由 得 ，由A选项知其不满足，C选项错误；
对于D选项，由 ，不妨设 ，显然 ，故不满足，D选项错误.
故答案为：B.

【分析】 对于选项A：可得出A⊆B，从而判断A错误；对于选项B：可得出B⊆A，从而判断B正确；对于选项C：可得出A⊆B，从而判断C错误；选项D显然错误．
2.【解析】【解答】解：由茎叶图知，出现的数据最多的是 ，故众数为 ；
由于数据总数为14个，故中位数为第七个和第八个数据的平均数，即：
故答案为：B.

【分析】 利用茎叶图中的数据信息，由中位数的定义以及众数的定义求解即可．
3.【解析】【解答】由题意可得，圆锥底面直径为，8半径为4，母线长为8，
圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长
扇形面积为：
故答案为：C

【分析】 利用圆锥的轴截面可以求出圆锥的底面半径，从而求出底面周长，利用侧面积公式求解即可．
4.【解析】【解答】由题意可知 ，由 ，解得
故答案为：A

【分析】根据图像的坐标变换求出解析式，再根据正弦函数的周期公式即可得出答案。
5.【解析】【解答】 ，例如 ，但是数列 不单调递增，故不充分；
数列 单调递增，例如 ，但是 ，故不必要；
故答案为：D

【分析】 根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
6.【解析】【解答】设 ，那么 ，解得
故答案为：A

【分析】 由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离及题意可得p的值．
7.【解析】【解答】


所以
故答案为：A

【分析】 利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
8.【解析】【解答】因为 ，所以
由｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设
在 中， ，解得
即
由椭圆的定义得 的周长为

即
在直角三角形 中， ， ，那么 ，故
即
故答案为：A

【分析】 由成等差数列，设首项，公差，再由数量积为0，求出首项和公差的关系，再由三角形ABF2的周长为4a可得，a与公差的关系，在直角三角形BF2F1中，由勾股定理求出a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】依题意 ，A选项正确，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项错误.
故答案为：AC

【分析】 利用复数模的定义即可判断选项A，B，利用共轭复数的定义即可判断选项C，利用复数的运算法那么求出z2 ， 即可判断选项D．
10.【解析】【解答】A .二项式系数之和为 ，A符合题意；
B.
当 ， ①
当 ， ②
①+②，可得当 ，B符合题意；
C.①-② ，C不符合题意；
D.
令 ，那么
令 ，那么
，D符合题意
故答案为：ABD

【分析】 由题意利用二项式系数的性质，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．
11.【解析】【解答】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为 ，
令 ，得 ，
列表得：
x
(0,1)
1
(1,+∞)

-
0
+
f(x)
单减
 
单增
所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；C符合题意，A、D不符合题意；
对于B:由f(1)=0及 ，所以y=f(x)在〔1，f(1))处的切线方程 ，即 .B符合题意.
故答案为：BC

【分析】 求导得分析导数的正负，f〔x〕单调性，极值，最值，逐个判断即可得出答案．
12.【解析】【解答】如图，在梯形 中，因为 ， 是 的中点，

所以 ，所以四边形 是菱形，所以 ，
由于 ，所以三角形 是等边三角形，
所以 ，故 ， .
在将 沿 翻折至 的过程中， 的大小保持不变，由线面角的定义可知， 与平面 所成角的最大值为 ，A符合题意.
因为 大小不变，所以在翻折的过程中， 的轨迹在以 为轴的一个圆锥的底面圆周上，而 是 的中位线，所以点 的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点 ，B不正确.
当 平面 时， .因为 ，所以 ，所以 ，C符合题意.
在翻折的过程中， 的面积不变，所以当 平面 时，四面体 的体积取得最大值，D符合题意.
故答案为：ACD

【分析】将 沿 翻折至 的过程中， 的大小保持不变，由线面角的定义可知， 与平面 所成角的最大值为 ，A符合题意；在翻折的过程中， 的轨迹在以 为轴的一个圆锥的底面圆周上，而 是 的中位线，所以点 的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点 ，B不正确；当 平面 时， .因为 ，所以 ，所以 ，C符合题意；在翻折的过程中， 的面积不变，所以当 平面 时，四面体 的体积取得最大值，D符合题意.
三、填空题
13.【解析】【解答】设该直线方程为
由距离公式可知 ，解得 或
那么该直线可为x-2y+9=0
故答案为：x-2y+9=0〔答案不唯一〕

【分析】 利用平行直线系方程设出所求的直线方程，然后利用两条平行线间的距离公式求解即可．
14.【解析】【解答】由题得
，
所以 =5 +1.5，所以 ，
所以 = x+1.5，
当 时， .


【分析】 先计算样本中心， 将其代入回归直线方程，可得的值，再代入x=10，求得 即可．
15.【解析】【解答】y=f(x)的图象关于坐标原点对称，那么
又 ，可得 ，即 的周期为

故答案为：

【分析】 根据题意，由奇函数的定义可得y=f〔x〕是奇函数，那么有f〔-x〕=-f〔x〕，由此可得f〔x+4〕=-f〔x+2〕=f〔x〕，那么f〔x〕是周期为4的周期函数，进而可得f〔2021〕=f〔1〕=-f〔-1〕，结合函数的解析式计算可得答案．
16.【解析】【解答】依题意 ， ，
解得 ，所以 .
.
故答案为： ；

【分析】 先根据数量积的运算公式求出  的值，然后代入夹角公式即可求出夹角，将 平方，然后结合即可求解．
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕由结合余弦定理可先求AD，进而可求cos∠ADB；
〔2〕由结合同角平方关系可先求sin∠ADB，然后结合诱导公式可求cos∠BDC，再由余弦定理即可求解．
18.【解析】【分析】 〔1〕先由题设得到：   ，再由  即可证明结论；
〔2〕先由〔1〕得到： ，再由累加法求得an ．
19.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面垂直的判定定理证明；
〔2〕用向量数量积计算二面角的余弦值，列方程求解．
20.【解析】【分析】 〔1〕利用古典概率计算公式可得：甲选排球的概率，乙未选排球的概率，再利用相互独立概率计算公式即可得出甲选排球且乙未选排球的概率;
〔2〕用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，X=0，1，2，3．乙，丙选排球的概率都为 ，利用相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望即可得出．
21.【解析】【分析】 〔1〕由离心率公式和a，b，c的关系，以及M的坐标满足双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
〔2〕求得M的坐标和椭圆D的方程，由直角三角形的勾股定理和角平分线的性质定理求得直线l的斜率和方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，计算可判断OP，OQ是否垂直．
22.【解析】【分析】 〔1〕 令  ， ，当a≤0，a＞0两种情况讨论，利用导数求得函数的单调性以及h〔x〕，由h〔x〕≥0，即可求解a的取值集合；
〔2〕不妨设 x1