2023年山西省忻州市河曲县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山西省忻州市河曲县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，三视图都是圆的为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为：，则这个正多边形是(    )

A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形

6.  如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，某海域中有，，三个小岛，其中在的南偏西方向，在的南偏东方向，且，到的距离相等，则小岛相对于小岛的方向是(    )

A. 北偏东
B. 北偏东
C. 南偏西
D. 南偏西

8.  某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9.  二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知方程，且关于的不等式只有个整数解，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，弦、相交于点若，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  把多项式分解因式的结果是______ ．

14.  写出一个比大且比小的整数______．

15.  如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．

16.  为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，少用分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为米分，那么满足的分式方程为______．

17.  关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则______．

18.  如图，已知，，，，的平分线交于点，且将沿折叠使点与点恰好重合．下列结论正确的有：______填写序号

点到的距离为

．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的非负整数．

20.  本小题分
求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．

21.  本小题分
年月，市从甲、乙两校各抽取名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从套不同的试卷中随机抽取套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩满分分如下表：

表中______；______．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为组，制成频数分布直方图，如图所示．








组：；组：；组：．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数．
【监测反思】
请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
若甲、乙两校学生都超过人，按照市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？

22.  本小题分
如图，菱形的边长为，，对角线、相交于点，点在对角线上，连接，作且边与直线相交于点．
求菱形的面积；
求证．

23.  本小题分
为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长沙益阳常德高铁，其中长益段将于年底建成开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了千米，运行时间为分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要分钟，平均速度是开通后的高铁的．
求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为：，计划天完成；施工天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早天以上含天完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

24.  本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
求反比例函数与一次函数的表达式；
点为轴上一个动点，若，求点的坐标．

25.  本小题分
如图，已知为的直径，直线与相切于点，直线经过上的点且，连接交于点．
求证：是的切线；
．

26.  本小题分
如图，已知点，在二次函数的图象上，且．
若二次函数的图象经过点．
求这个二次函数的表达式；
若，求顶点到的距离；
当时，二次函数的最大值与最小值的差为，点，在对称轴的异侧，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是负数，的相反数是
的绝对值是．
故选B．
正数的绝对值是它本身，的绝对值是，负数的绝对值是它的相反数．
本题考查绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查立体图形的三视图，掌握常见立体图形的三视图是解题关键．
根据各立体图形的三视图判断即可．
【解答】
解：在球、圆柱、圆锥、正方体中，只有球的三视图都是圆．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，逐一进行计算即可解答．
本题考查了整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分，在数轴上表示即可．
【解答】
解：不等式组
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示如图所示：
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为：，
设这个外角是，则内角是，
根据题意得：，
解得：，
边，
故选：．
设这个外角是，则内角是，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是即可求解．
本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解决问题的关键．根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案．
【解答】
解：过点作于点，的延长线于点，于点．

设，
平分，
，，
平分，
，，
．
，
，
，
．
在和中，

≌，
，
即．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：
，
，，
，
，
，
，
，
小岛相对于小岛的方向是北偏东，
故选：．
根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答．
本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：岁，
该足球队共有队员人，
则第名和第名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为岁，
故选：．
根据年龄分布图和平均数、中位数的概念求解．
本题考查了确定一组数据的平均数，中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，，
，
，故不符合题意．
由题意可知：，
，故符合题意．
将代入，
，
，
，故符合题意．
由图象可知：二次函数的最小值小于，
令代入，且直线与二次函数图像有两个交点，
有两个不相同的解，故不符合题意．
故选：．
根据二次函数图象的对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与的大小关系，然后由对称轴可知，从而可判断答案．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出、、的数量关系，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：分式方程去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为，
当时，由只有个整数解，得到．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，代入不等式组确定出的范围即可．
此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
 

12.【答案】 

【解析】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故选：．
根据沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．
本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
写出一个比大且比小的整数如答案不唯一；
故答案为：答案不唯一．
先对和进行估算，再根据题意即可得出答案．
此题考查了估算无理数的大小，估算出是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：总面积为个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积，
小球停在阴影部分的概率是，
故答案为：．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意有：．
故答案为：．
根据等量关系：原来参加米比赛时间经过一段时间训练后参加米比赛时间分钟，依此列出方程即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
，
，
，
，，
，
或，
不合题意，
故答案为：．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可．
 

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
等腰三角形的三线合一，故正确；
如图，过点作于点，于点，

，，
平分，
，
是的角平分线，
，，
，
，故错误；
由折叠性质可得：，，
设，则，
中，，
，
解得：，
，故错误；
设，则，，
，
，
，
，
，
，
解得：或舍去，
，
又，
，
，故正确，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质即可判断，根据角平分线的性质即可判断，设，则，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断，利用锐角三角函数可判断．
本题考查解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
且，
且，
，
则原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
 

21.【答案】解：【学科测试】
设套不同的试卷分别为，，，列表如下：

一共有种等可能的情况，而满足题意的有种情况，
小亮、小莹作答相同试卷的概率为；
将甲校样本学生成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
位于第个和第个的数据分别是和，
，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是，
，
故答案为：，；
由题意，甲、乙两校样本学生语文测试成绩的平均数相同，乙校方差小于甲校，
乙校成绩更加稳定；
【问卷调查】
由题意，甲校学生阅读课外书的平均数量为本，
乙校学生阅读课外书的平均数量为本；
【监测反思】
甲校样本学生阅读课外书的平均数量为本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为本；
从语文测试成绩来看，甲、乙两校平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看，虽然甲校学生阅读课外书数量的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校平稳；
综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能地增加课外阅读量；
甲、乙两校学生都超过人，不可以按照市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为市的抽样方法是各校抽取了人，样本容量较小，而甲、乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这个人的成绩来评估全校超过人的成绩． 

【解析】

【分析】
本题是统计综合题，解题的关键在于能结合频数分布直方图和数据统计表分析学生的成绩．
【学科测试】根据中位数和众数的概念分析求解，然后结合平均数、方差、中位数、众数的意义进行分析评判；
【问卷调查】根据平均数的计算公式分析计算；
【监测反思】根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性；统计调查中确定样本容量的大小时要考虑总体的大小，从而可得结果．
【解答】
解：【学科测试】
设套不同的试卷分别为，，，列表如下：

一共有种等可能的情况，而满足题意的有种情况，
小亮、小莹作答相同试卷的概率为；
将甲校样本学生成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
位于第个和第个的数据分别是和，
，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是，
，
故答案为：，；
由题意，甲、乙两校样本学生语文测试成绩的平均数相同，乙校方差小于甲校，
乙校成绩更加稳定；
【问卷调查】
见答案；
【监测反思】
见答案．  

22.【答案】解：作交于点，如图所示，
四边形是菱形，边长为，，
，，
菱形的面积是：，
即菱形的面积是；
证明：连接，
四边形是菱形，，
垂直平分，，
，，
，，
，
，
，且，
，
，且，
． 

【解析】根据锐角三角函数可以求得边上的高，然后根据菱形的面积底高，即可求得相应的面积；
连接，然后可以得到，再根据四边形内角和，可以求得，然后通过等量代换，即可证明结论成立．
本题考查菱形的性质、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
详解解：作交于点，如图所示，
四边形是菱形，边长为，，
，，
菱形的面积是：，
即菱形的面积是；
证明：连接，
四边形是菱形，，
垂直平分，，
，，
，，
，
，
，且，
，
，且，
．
 

23.【答案】解：设长益段高铁全长为千米，长益城际铁路全长为千米，
根据题意，
得：，
解得：，
答：长益段高铁全长为千米，长益城际铁路全长为千米．
设甲队后期每天施工千米，
甲原来每天的施工长度为千米，
乙每天的施工长度为千米，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲工程队后期每天至少施工千米，可确保工程提早天以上含天完成． 

【解析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组，和不等式组即可．
设长益段高铁全长为千米，长益城际铁路全长为千米，由题意得到二元一次方程组，求解即可．
设甲队后期每天施工千米，甲原来每天的施工长度为千米，乙每天的施工长度为千米，根据题意列出一元一次不等式即可．
 

24.【答案】解：把点代入，得，
则．
把点代入，得，
则点的坐标为．
由直线过点，点得，
解得，
则所求一次函数的表达式为．

如图，直线与轴的交点为，设点的坐标为，连接，，
则点的坐标为．
．
，
．
．
，．
点的坐标为或． 

【解析】把点的坐标代入，求出反比例函数的解析式，把点的坐标代入，得出的值，得出点的坐标，再把、的坐标代入直线，求出、的值，从而得出一次函数的解析式；
设点的坐标为，连接，，先求出点的坐标，得出，根据，求出的值，从而得出点的坐标．
此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，如图所示，
，
，
是的直径，
，
，
，，
，
，
是的切线；
由知是的切线，直线与相切，
垂直平分，
，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】先连接，然后根据题目中的条件可以得到，从而可以证明结论成立；
根据题目中的条件和中的结论，可以证明∽，然后即可得到结论成立．
本题考查相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件

【详解】证明：连接，如图所示，
，
，
是的直径，
，
，
，，
，
，
是的切线；
由知是的切线，直线与相切，
垂直平分，
，
，
，
，
，
∽，
，
．

26.【答案】解：二次函数经过，
，
，
二次函数的解析式为；
，
，关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线，且，
，，
当时，，
当时，顶点到的距离；
若，在对称轴的异侧，，
，
，
，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，
，
，
．
若，在对称轴的异侧，，，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，
，
，
，
，
．
综上所述，． 

【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
把点代入二次函数的解析式求出即可；
判断出，关于抛物线的对称轴对称，求出点的纵坐标，可得结论；
两种情形：若，在对称轴的异侧，，若，在对称轴的异侧，，，分别求解即可．