2023年山东省德州市德城区中考一模数学试题

这是一份2023年山东省德州市德城区中考一模数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省德州市德城区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．﹣3的相反数是（   ）
A． B． C． D．
2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．温州博物馆 B．西藏博物馆 C．广东博物馆 D．湖北博物馆
3．一块直角三角板和一把直尺如图摆放，直尺的一边经过三角板的顶点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．与最接近的整数是（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ）

A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
6．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的主格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．3 D．6
7．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ）
A． B．
C． D．
8．关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，．小丽按照下列方法作图：
①作的角平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（    ）

A．点E是的外心 B．点E是的内心
C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等
10．已知整数，，，，满足下列条件：，以此类推，的值为( )
A． B． C． D．
11．如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（    ）

A． B． C．或 D．或
12．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
13．分解因式：_____．
14．若一元二次方程的两根互为相反数，则的值为______．
15．如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为_______．

16．在中，，，，以一条直角边所在直线为轴，把旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积最大值为______．
17．二次函数的部分对应值列表如下：
x
…

0
1
3
5
…
y
…
7



7
…
则一元二次方程的解为____________．
18．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是_______．


三、解答题
19．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
20．为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，长沙市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位旧学从A．“中国天眼”；B．“5G时代”；C．“夸父一号”；D．“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)九（1）班共有___________名学生；
(2)请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题？
(3)D主题所对应扇形圆心角的大小为___________；
(4)甲和乙从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
21．某综合实践小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．为了减小测量误差.小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题
测量旗杆的高度
成员
组长×××  组员：×××，×××，×××
测量工具
测量角度的仪器、皮尺等
测量示意图

说明：左图为测量示意图，线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内.点，，在同一条直线上，点在上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
的度数



的度数



，之间的距离




(1)任务一：两次测量，，之间距离的平均值是_______；
(2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助该综合实践小组求出学校旗杆的高度．
（参考数据：，，，，，）
22．【调查活动】
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．
【问题解决】
请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
23．如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使．

(1)求证：是半圆的切线；
(2)已知弧的中点，要求过作于．（尺规作图，保留作图痕迹）
(3)若，，求．
24．（1）【实验】如图①，点为线段的中点，线段与相交于点，当时，四边形的形状为________；
A．矩形    B．菱形    C．正方形     D．平行四边形
其理论依据是________．

（2）【探究】如图②，在平行四边形中，点是中点，过点作的垂线交边于点，连接，试猜想，，三条线段之间的数量关系，并给予证明．

（3）【应用】如图③，在中，点为的中点，若，，，求的面积．

25．如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接，交线段于点D，
①当与x轴平行时，求的值；
②当与x轴不平行时，求的最大值；
(3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形：在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形和原图完全重合，那么这个图形就叫做中心图形．
3．B
【分析】根据，求出，根据平行线的性质，求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4．C
【分析】由于，由此根据算术平方根的概念可以找到10接近的两个完全平方数，再估算与最接近的整数即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵15和16比较接近，
∴与4比较接近，
∴与5比较接近．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，熟练运用“夹逼法”是解题关键．
5．C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值在0.16—0.19的即符合题意；
【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
6．B
【分析】根据三阶幻方中的数字列方程求解即可．
【详解】解：由题意，可得，
解得，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用以及零指数幂，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，
，
，且为整数．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
8．A
【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得，
根据题意得：，
解得：．
所以的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
9．A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”，可得是底边BC的垂直平分线，进而即可得到答案．
【详解】∵在中，，
∴的角平分线也是底边BC的垂直平分线，
∵的垂直平分线，交于点E，
∴点E是的外心，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的外心的定义，掌握“三角形各边上的垂直平分线的交点是三角形的外心”是解题的关键．
10．D
【分析】分别求出，，，，，的值，观察其数值的变化规律，进而求出的值．
【详解】解：根据题意可得，
，




观察其规律可得，

．
故选：D．
【点睛】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数的数值观察其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
11．D
【分析】根据勾股定理求出OC，然后根据直角三角形的性质求出OP，进而分在第一象限和第三象限进行分类求解即可．
【详解】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），
∴，
∴由勾股定理可得，
∵AP为△AOC中线，
∴，
当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分：
①当在第一象限时，如图所示：

∴，
∴；
②当在第三象限时，如图所示：

∴，
∴；
综上所述：或；
故选D．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及位似，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及位似是解题的关键．
12．D
【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，

∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
13．
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
14．不存在．
【分析】根据题意可得，然后根据根与系数的关系可得，据此求出k的值．
【详解】解∶一元二次方程的两根互为相反数，



当时，方程为：，此时无解，
∴k的值不存在
故答案为∶不存在．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握两根之和与两根之积的关系式是解答本题的关键．
15．
【分析】直接根据平移的性质可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且，
∴点A是点D向左平移4个单位所得，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是找出平移的规律．
16．
【分析】根据勾股定理求出，结合圆锥的侧面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
当所在直线为轴，把旋转一周时，
圆锥的侧面积为：，
当所在直线为轴，把旋转一周时，
圆锥的侧面积为：，
∴该圆锥的侧面积最大值为．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理及圆锥侧面积，解题的关键是熟练掌握．
17．
【分析】利用时，；时，得到二方程一元二次方程的两根为，由于把一元二次方程可看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可．
【详解】解：对于二次函数，
∵时，；时，，
即方程一元二次方程的两根为，
把一元二次方程看作关于的一元二次方程，
∴或，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查通过表格确定二次函数图象与的交点坐标解一元二次方程．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和整体思想进行求解是解题的关键．
18．
【分析】根据正多边形与圆的对称性、垂径定理以及正多边形与圆的计算，可求出，，由直角三角形的边角关系求出、、，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接、、、，过点作，垂足为，

由圆的对称性可知，点、点是的三等分点，四边形是正方形，
，，
在中，，，
，，
在中，，，
，
，
个阴影三角形的面积和为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，理解正多边形和圆的对称性，掌握正多边形和圆的相关计算的方法是正确解答的前提．
19．，
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，x为不等式组的整数解和分式可以确定x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式


解不等式组：
得：
所以，不等式组的整数解为.
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．(1)50
(2)600
(3)
(4)

【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）求出D的人数，即可解决问题；
（3）由360°乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲和乙选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：九（1）班共有学生人数为：（名），
故答案为：50；
（2）解：D的人数为：（名），
（名）；
全校2000名学生大约有600人选择D主题
（3）D所对应扇形圆心角的大小为：，
故答案为：；
（4）解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，甲和乙选择相同主题的结果有4种，
∴甲和乙选择相同主题的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及折线统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．(1)5.5
(2)旗杆的高度为

【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）由题意可得，四边形，四边形都是矩形，设，则在中，由，可得；再在中由三角函数可得，结合可得，求解即可获得答案．
【详解】（1）平均值：，
故答案为：5.5；
（2）由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：旗杆的高度为．
【点睛】本题主要考查了平均数、矩形的性质、三角函数的应用等知识，理解题意，正确运用三角函数解决问题是解题关键．
22．问题：甲、乙两校的人数各是多少？甲、乙两校的人数各是900人、1000人；问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册
【分析】由题意可提问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人，根据题意可列方程，或者问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为人，根据题意可列方程，然后问题可求解．
【详解】解：方法一：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设乙校的人数为人，根据题意可列方程：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
人，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设乙校的人均图书册数为人，根据题意可列方程：
，
解得：，
经检验，是原方程得解，且符合题意，
册，
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)1

【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）以点为圆心，为半径画弧，与相交两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的长为半径，画弧，两弧交与一点，过点和这一点的直线交于点，即为所求垂线；
（3）连接交于，根据垂径定理，利用点为的中点得到，，易得，接着证明得到，然后计算即可．
【详解】（1）证明：为直径，
，
，
，
即，
，
是半圆的切线；
（2）解：如图，即为所求．

（3）解：如图，连接交于，

点为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
是直径，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂线的作法，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握知识点并正确作出辅助线是解题的关键．
24．（1）D；对角线相互平分的四边形是平行四边形；（2），证明见解析；（3）的面积为
【分析】（1）根据平行四边形的判定“对角线相互平分的四边形是平行四边形”，即可求解；
（2）延长交的延长线于，证明，由全等三角形的性质可得，，结合，可知为的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解；
（3）作，结合题意易得为的中位线，可求出的长；在中，由勾股定理可得，即可求出的长，进而可知的长，利用三角形面积公式即可求出的面积，结合与等底等高，由此即可求解．
【详解】（1）由对角线相互平分的四边形是平行四边形知，四边形是平行四边形，
故选：D；
其理论依据为：对角线相互平分的四边形是平行四边形；
故答案为：对角线相互平分的四边形是平行四边形
（2）．
证明：如下图，延长交的延长线于，连接，

∵四边形为平行四边形，点是中点，
∴，，
∴
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，作，

∴，
∵点为的中点，即，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵与等底等高，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，三角形中位线、垂直平分线、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
25．(1);;
(2)①；②
(3)存在点P，

【分析】(1)令x=0，则y=4，令y=0，则=0，所以x=-2或x=3，由此可得结论；
(2)①由题意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行线分线段成比例可知，．
②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y=-x+4．设点P的横坐标为m，则P(m，-)，Q(，-)．所以PQ=m-()=-，因为PQ∥AB，所以=，由二次函数的性质可得结论；
(3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．过点C作CFx轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M(8，0)，所以直线CM的解析式为：y=-x+4，令=-x+4，可得结论．
【详解】（1）解：令x=0，则y=4，
∴C(0，4)；
令y=0，则=0，
∴x=-2或x=3，
∴A(-2，0)，B(3，0)．
故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．
（2）解：①∵轴，，
∴，，
又∵轴，
∴△CPD∽△BAD
∴；
②过P作交于点Q，

设直线BC的解析式为，
把B(3，0)，C(0，4)代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴△QPD∽△BAD
∴，
∴当时，取最大值；
（3）解：假设存在点P使得，即，
过C作轴，连接CP，延长交x轴于点M，
∴∠FCP=∠BMC，

∵，
∴平分，
∴∠BCP=∠FCP，
∴∠BCP=∠BMC，
∴BC=BM，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，，，
设直线CM解析式为y=kx+b，
把C(0，4)，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或(舍)，
∴存在点P满足题意，即．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．