第20讲 数学方法在物理解题中的应用（下）（解析版）

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第20讲 数学方法在物理解题中的应用（下）【方法指导】1.数列是高中数学的一个重点，日常生活中的很多实际问题都可以利用数列知识进行求解，物理情境中也有很多问题与数列有关．某一复杂物理过程中如果同一物理情境重复出现，往往会涉及数学归纳法和数列知识的应用．高中物理涉及的数列知识主要有等差数列、等比数列、通项公式和前n项和公式的应用等．解题的基本思路分三步：第一步，逐个分析开始阶段的几个物理过程；第二步，利用数学归纳法寻找变化物理量的通项公式；第三步，应用数列知识分析求解．2. 对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值，则当a＝b时，其积ab有极大值；若其积ab为一定值，则当a＝b时，其和a＋b有极小值．3. 在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为E＝BLv，感应电流I＝，受安培力为F＝BIL＝v，因为是变力问题，所以可以用微元法． 【例题精析】[例题1]             如图所示，在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB和“S”型光滑细管道BCDE平滑连接组成，两段圆弧半径相等，B、D等高，图中θ角均为37°，AB与圆弧相切，AM水平。直轨道AB底端装有弹射系统（弹簧长度很短，长度和质量不计，可以认为弹珠从A点射出），某次弹射系统将直径略小于管道内径的弹珠弹出，弹珠冲上直轨道AB后，到达B点的速度大小为vBm/s，然后进入“S”型光滑细圆管道，最后从管道出口E点水平飞出，落到水平面上的G点（图中未画出）。已知弹珠的质量为m＝5×10﹣3kg，B点的高度h＝0.9m，细圆管道圆弧半径R＝0.5m，弹珠与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.1，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10N/kg。（1）求弹射系统对弹珠做的功W0；（2）求弹珠落到水平面上的G点时EG的水平距离L；（3）若弹射系统对弹珠做的功W0不变，“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R可调，求弹珠落地点到E点的最大水平距离x；（4）若“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R不变，弹射系统对弹珠做的功可变化，小球每次返回A点时以原速度大小反弹，求弹珠在斜面上运动的最大路程s。【解答】解：（1）弹珠从发射到运动到B点的过程，由动能定理有：  W0﹣mgh﹣μmgcos37°•0解得弹射系统对弹珠做的功：W0＝0.0685J（2）由轨道BD关于竖直线CO1对称，知B、D等高，由几何关系可得，B、E间的高度差为：h1＝R（1﹣cos37°）＝0.2R弹珠B→E过程，由机械能守恒定律有：  mgh1E→G过程，由平抛运动的规律有：  L＝vEt  h﹣R（1﹣cos37°）解得弹珠落到水平面上的G点时E与G的水平距离为：L＝1.2m（3）若R可调，B→E过程，由机械能守恒有： 可得E→地面过程，由平抛运动有：  h﹣R′（1﹣cos37°）可得弹珠落地点到E点的水平距离根据数学知识可知，当7+4R′＝18﹣4R′，即 时，x取到最大值，且xmax＝1.25m（4）弹珠从C点返回到最终停在A点，弹珠在斜面上运动的总路程为s1，由动能定理可得  mg（R﹣Rcosθ+h）﹣μmgs1cos37°＝0解得s1＝12.5m弹珠在斜面上运动的最大路程为  s＝s1解得s＝14m答：（1）弹射系统对弹珠做的功W0为0.0685J；（2）弹珠落到水平面上的G点时EG的水平距离L为1.2m；（3）弹珠落地点到E点的最大水平距离x是1.25m；（4）弹珠在斜面上运动的最大路程s为14m。[例题2]             （2018•浙江）如图所示，一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可以调节的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速度释放，经过圆弧上的B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC段所受阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m。小球运动过程中可以视为质点，且不计空气阻力。（1）求小球运动至B点的速度大小；（2）求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；（3）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度；（4）小球落到P点后弹起，与地面多次碰撞后静止。假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等。求小球从C点飞出后静止所需的时间。【解答】解：（1）小球在B点受到的重力与支持力的合力提供向心力，则：代入数据可得：v0＝4m/s（2）A到B的过程中重力和阻力做功，则由动能定理可得：代入数据得：Wf＝2.4J（3）由B到C的过程中：则：从C点到落地的时间：sB到P的水平距离：代入数据，联立并整理可得：L＝4可知当vc＝1.6m/s时，P到B的水平距离最大，此时BC的长度为：LBC＝3.36m（4）由于小球每次碰撞机械能损失75%，由，则碰撞后的速度为碰撞前速度的，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等，则碰撞后竖直方向的分速度为碰撞前竖直方向分速度的，所以第一次碰撞后上升到最高点的时间等于从C点到落地的时间的，所以从第一次碰撞后到发生第二次碰撞的时间：s同理，从第二次碰撞后到发生第三次碰撞的时间：s从第n次碰撞后到发生第n+1次碰撞的时间：小球运动的总时间：t＝t0+t1+t2+…+tn由数学归纳法分可得：t＝2.4s答：（1）小球运动至B点的速度大小4m/s；（2）小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是2.4J；（3）为使小球落点P与B点的水平距离最大，BC段的长度是3.36m；（4）小球从C点飞出后静止所需的时间是2.4s。    【强化专练】（2021•台州二模）如图所示，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与长度为8R的固定于水平地面的AB竖直管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P。经过观察发现：轻弹簧自然伸长时，其上端离B点距离为5R，一质量为m的弹珠静止在弹簧上端时，测得此时弹簧形变量为。某次缓慢下拉手柄P使弹簧压缩后释放手柄，弹珠Q经C点被射出，弹珠最后击中水平地面的某位置（图中未标出），不计一切阻力，弹珠可视为质点，直管AB粗细不计。弹簧的弹性势能满足公式：Epkx2（k未知，x为弹簧形变量）求：（1）调整手柄P的下拉距离，可以使弹珠Q经BC轨道上的C点射出，落在水平地面上的不同位置，其中与A点最近距离是多少？（2）若弹珠Q落在水平地面上离A的距离为6R，求弹珠Q离开弹簧前的最大动能是多少？（3）若直管AB可以自由伸缩，且圆弧轨道下端始终和管上端保持相切相连，现下拉手柄P使弹簧的弹性势能为Ep＝10mgR，则弹珠Q弹出后击中水平面上的位置距A的最大值。【解答】解：（1）水平距离最近，即在C点抛出速度最小，满足mg＝m求得 平抛的时间为t，满足9R得t故最小的距离x＝v1t＝3R则离A距离的最小值为3R+R（2）弹珠在C点的速度为v2弹珠最大动能处即弹簧压缩量为处，设最大动能为Ekm，弹珠Q经C点时，根据弹簧、弹珠系统机械能守恒有 其中mg＝k联立求得Ekm（3）当下拉手柄P使弹簧的弹性势能为EP＝10mgR时，设弹簧最高点距离B点为h，在C点的速度为v3，根据Ep＝10mgRmg＝k可得此时的压缩量Δx＝R根据系统机械能守恒得10mgR＝mg（h+R+R）求得 又（3R+R+h）则平抛的时间为t水平位移x根据数学知识，当h＝2R时xm＝12R则最大值为12R+R＝13R答：（1）与A点最近距离是3R+R；（2）弹珠Q离开弹簧前的最大动能是；（3）距A的最大值13R。如图为某款弹射游戏的简化示意图，水平轨道OAB及EF处于同一水平面上，其中AB段粗糙，长度xAB＝3R，动摩擦因数μ，其余部分均光滑，EF段足够长。竖直平面内固定两光滑圆弧轨道BC、CD，半径分别为R和2R，其中R＝0.8m，BC、CD间存在缝隙，恰能使弹射小球无碰撞通过，间隙大小可忽略，圆弧BC与水平轨道AB相切于B点，E点恰好位于D点的正下方。已知弹射器的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比，可视为质点的弹射小球质量为m＝0.1kg，当弹簧压缩量为Δx时，恰能运动到C处，g取10m/s2，求：（1）压缩量为Δx时，弹簧的弹性势能Ep；（2）当弹簧压缩量增加到2Δx，小球运动到D点时对圆弧轨道CD的压力；（3）在（2）题条件下，调整CD弧的半径，求落点距E点的最远距离。【解答】解：（1）当压缩量为Δx时，根据功能关系可知，弹簧的弹性势能Ep＝μmgxAB+mgR代入数据解得：Ep＝1.6J（2）已知弹射器的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比，则当弹簧压缩量增加到2Δx，弹簧的弹性势能Ep′＝4Ep＝4×1.6J＝6.4J小球从开始释放至运动到D点的过程，由动能定理得：Ep′﹣μmgxAB﹣mg•3R在D点，对小球，由牛顿第二定律得  mg+FN＝m 由牛顿第三定律知小球运动到D点时对圆弧轨道CD的压力大小：FN′＝FN代入数据解得：FN′＝3N，方向竖直向上。（3）设CD弧的半径为r时，小球到达D点的速度为v，落点距E点的距离为x。小球从开始释放至运动到D点的过程，由动能定理得：Ep′﹣μmgxAB﹣mg（R+r）小球从D点飞出后做平抛运动，有R+r，x＝vt联立可得：x当rm＝2m时，x最大值，且最大值为xmax＝0.8m答：（1）压缩量为Δx时，弹簧的弹性势能Ep为1.6J。（2）当弹簧压缩量增加到2Δx，小球运动到D点时对圆弧轨道CD的压力为3N，方向竖直向上；（3）在（2）题条件下，调整CD弧的半径，落点距E点的最远距离为0.8m。如图所示，水平面AB段光滑、BC段粗糙，右侧竖直平面内有一呈抛物线形状的坡面OD，以坡面底部的O点为原点、OC方向为y轴建立直角坐标系xOy，坡面的抛物线方程为yx2，一轻质弹簧左端固定在A点，弹簧自然伸长状态时右端处在B点。一个质量m＝0.2kg的小物块压缩弹簧后由静止释放，从C点飞出落到坡面上。已知坡底O点离C点的高度H＝5m，BC间距离L＝2m，小物块与BC段的动摩擦因数为0.1，小物块可视为质点，空气阻力不计。（1）若小物块到达C点的速度为m/s，求释放小物块时弹簧具有的弹性势能；（2）在（1）问的情况下，求小物块落到坡面上的位置坐标；（3）改变弹簧的压缩量，弹簧具有多大的弹性势能时，小物块落在坡面上的动能最小？并求出动能的最小值。【解答】解：（1）设释放小物块时弹簧具有的弹性势能为Ep0．小物块从释放到C点的过程，根据能量守恒定律得：Ep0＝μmgL代入数据解得：Ep0＝0.9J（2）小物块离开C点后做平抛运动，则有：x＝vCthH﹣y结合题意得：yx2联立得小物块落到坡面上的位置坐标为（m、m）。（3）物块从B到C，由能量守恒定律得：Ep＝μmgL得：vC2＝10Ep﹣4小物块做平抛运动，有：x＝vCth又 y＝H﹣hx2联立得 h（或h）小物块落在坡面上的动能为 Ek＝mgh代入得：Ek＝0.1vC2（或Ek＝Ep﹣0.4）根据数学知识可知，当vC＝5m/s，即Ep＝2.9J时，动能最小，且Ekmin＝7.5J答：（1）释放小物块时弹簧具有的弹性势能是0.9J；（2）小物块落到坡面上的位置坐标是（m、m）；（3）改变弹簧的压缩量，弹簧具有2.9J的弹性势能时，小物块落在坡面上的动能最小，动能的最小值为7.5J。