二、数学方法在物理中的应用学案

这是一份二、数学方法在物理中的应用学案，共8页。学案主要包含了三角函数法，均值不等式，利用二次函数求极值，数学归纳法和数列法等内容，欢迎下载使用。
借助数学方法，可使一些复杂的物理问题，显示出明显的规律性，能快速简捷地解决问题．可以说任何物理试题的求解过程实际上都是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论的过程．下面是几种物理解题过程中常用的数学方法．
一、三角函数法
1．三角函数求极值
(1)y＝sin α，当α＝90°时，ymax＝1；
(2)y＝cs α，当α＝0时，ymax＝1.
例1 如图1所示，底边AB恒定为b，当斜面与底边夹角θ为多大时，物体沿此光滑固定斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短？
图1
答案 见解析
解析 设斜面长度为L，有：L＝eq \f(b,cs θ)，
a＝gsin θ，且有L＝eq \f(1,2)at2，
解得：t＝eq \r(\f(2b,gsin θcs θ))＝eq \r(\f(4b,gsin 2θ))，
故当θ＝45°时，所用时间最短，最短时间为tmin＝eq \r(\f(4b,g)).
2．辅助角求极值
三角函数：y＝acs θ＋bsin θ
y＝acs θ＋bsin θ＝eq \r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中tan α＝eq \f(a,b).
当θ＋α＝90°时，有极大值ymax＝eq \r(a2＋b2).
例2 (2020·山西临汾市模拟)如图2所示是一旅行箱，它既可以在地面上推着行走，也可以在地面上拉着行走．已知该旅行箱的总质量为15 kg，一旅客用斜向上的拉力拉着旅行箱在水平地面上做匀速直线运动，若拉力的最小值为90 N，此时拉力与水平方向间的夹角为θ，重力加速度大小为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，旅行箱受到地面的阻力与其受到地面的支持力成正比，比值为μ，则( )
图2
A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53°
C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37°
答案 D
解析 对旅行箱受力分析，如图所示，根据平衡条件，
水平方向，有：Fcs θ－Ff＝0，
竖直方向，有：FN＋Fsin θ－G＝0，
其中：Ff＝μFN，故F＝eq \f(μG,cs θ＋μsin θ)，
令μ＝tan α，则F＝eq \f(Gsin α,csα－θ)；
当α－θ＝0时，F有最小值，故F＝Gsin α＝90 N，
则α＝37°，故μ＝tan 37°＝0.75，θ＝37°，选D.
3．正弦定理
在如图3所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
图3
例3 (2020·山东日照市模拟)如图4所示，两个质量分别为eq \r(3)m、m的小圆环A、B用不可伸长的细线连着，套在一个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O.系统平衡时，细线所对的圆心角为90°，大圆环和小圆环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列判断正确的是( )
图4
A．小圆环A、B受到大圆环的支持力之比是eq \r(3)∶1
B．小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15°
C．细线与水平方向的夹角为30°
D．细线的拉力大小为eq \f(\r(3),2)mg
答案 A
解析 对小圆环A和B进行受力分析，根据平行四边形定则作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于细线的拉力的大小，设A、B所受的支持力与竖直方向的夹角分别为α和β，如图所示：
根据正弦定理可以得到：
eq \f(\r(3)mg,sin 45°)＝eq \f(FT,sin α)，eq \f(mg,sin 45°)＝eq \f(FT′,sin β)，
由于FT＝FT′，α＋β＝90°
整理可以得到：α＝30°，β＝60°，FT＝FT′＝eq \f(\r(6),2)mg
再次利用正弦定理：eq \f(FNA,sin180°－45°－30°)＝eq \f(\r(3)mg,sin 45°)，
eq \f(FNB,sin180°－45°－60°)＝eq \f(mg,sin 45°)
整理可以得到：eq \f(FNA,FNB)＝eq \f(\r(3),1)，故选项A正确，B、D错误；由图根据几何知识可知，细线与水平方向的夹角为90°－(45°＋30°)＝15°，故选项C错误．
4．余弦定理
在如图5所示的三角形中，
图5
有如下三个表达式：
a2＝b2＋c2－2bc·cs A
b2＝a2＋c2－2ac·cs B
c2＝a2＋b2－2ab·cs C
例4 (多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为eq \f(\r(3),3)F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A.eq \f(\r(3)F,3) B.eq \f(\r(3)F,2) C.eq \f(2\r(3)F,3) D.eq \r(3)F
答案 AC
解析 如图所示，因为F2＝eq \f(\r(3),3)F>Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由余弦定理可得：
F22＝F2＋F12－2FF1cs 30°，
化简可得：F12－eq \r(3)FF1＋eq \f(2,3)F2＝0，解得：F11＝eq \f(\r(3),3)F，F12＝eq \f(2\r(3),3)F，故选项A、C正确．
二、均值不等式
由均值不等式a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)可知：
(1)两个正数的积为定值时，当两数相等，和最小；
(2)两个正数的和为定值时，当两数相等，积最大．
例5 如图6所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为多少？(不计空气阻力，重力加速度大小为g)
图6
答案 eq \f(v2,8g)
解析 设小物块到轨道最高点时速度为v0，对小物块由动能定理得：－2mgr＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv2
小物块从轨道上端水平飞出后做平抛运动，则有
2r＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，
可得x＝eq \r(－16r2＋\f(4v2r,g))＝eq \r(4r\f(v2,g)－4r)≤eq \f(v2,2g)
故4r＝eq \f(v2,g)－4r，即r＝eq \f(v2,8g)时，水平位移最大．
三、利用二次函数求极值
二次函数：y＝ax2＋bx＋c
(1)当x＝－eq \f(b,2a)时，有极值ym＝eq \f(4ac－b2,4a)(若二次项系数a>0，y有极小值；若a